安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

定远育才学校2022-2023学年第一学期期末考试

高二数学

一、选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列命题正确的是（    ）

A. 若与共线，与共线，则与共线

B. 向量，，共面，即它们所在的直线共面

C. 若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ

D. 零向量是模为0，方向任意的向量

【答案】D

【解析】

【分析】假设为零向量，可判断选项A；

根据向量的特征，可判断选项B；

根据向量共线定理，可判断选项C；

根据零向量定义，可判断选项D.

【详解】由于零向量与任意向量共线，所以若为零向量，则与关系不确定，A错；

因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面，B错；

共线向量定理中，当不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使=λ，否则λ可能不存在，C错；

根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确.

故选：D.

2. 已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．

【详解】因为，，，

所以.

故选：D.

3. 已知空间向量，，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.

【详解】.

故选：B.

4. 已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用两点之间线段最短，先求点关于直线对称的点，可得

，当A、P、三点共线时,可得答案.

【详解】点B关于直线对称的点为．

,

当且仅当当A、P、三点共线时，等号成立．

此时取最小值，直线的方程为，

即，令，得．

所以点P的坐标为：

故选:A．

【点睛】本题主要考查了解析几何中的最值问题，利用几何意义和平面几何中的常用结论，非常巧妙，属于中档题.

5. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.

【详解】由可知圆心为，

又因为直线与直线垂直，

所以直线的斜率为，

由点斜式得直线，

化简得直线的方程是．

故选：D．

6. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意画出图形，可得，再由结合离心率公式求解．

【详解】如图，

由题意可得，，即，则，

∴，即．

故选：D．

7. 动点分别与两定点，连线斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（    ）

A. 4 B. 8 C.  D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短.

【详解】设动点 的坐标为 ，则

整理后得： ，动点 的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为 ，

，如下图所示，当经过点时，最短，此时

故选：B

8. 已知双曲线的右顶点为，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的面积为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出点A的坐标，设出过点A的直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出直线方程，从而可求出的面积

【详解】双曲线的右顶点为，设过点的直线方程为，

因为直线与圆相切，

所以，解得或，

不妨设直线与圆交于

由，得解得，得，

同理可得

所以的面积为，

故选：A

二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（    ）

A. 直线与直线所成的角为

B. 直线与平面所成角的余弦值为

C. 平面

D. 点到平面的距离为

【答案】ABC

【解析】

【分析】如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，由可判断A；证明，可得，，由线面垂直的判定定理可判断C；计算的值可得线面角的正弦值，再由同角三角函数基本关系求出夹角的余弦值可判断B；利用向量求出点到平面的距离可判断D，进而可得正确选项.

【详解】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

则， ，，，

对于A：，，

因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；

对于C：因为 ，，，

所以，，所以，，

因为，所以平面，故选项C正确；

对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；

对于D：因为，平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，故选项D不正确

故选：ABC.

10. 下列选项正确的是（  ）

A. 过点且和直线平行的直线方程是

B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

C. 若直线与平行，则与的距离为

D. 直线的倾斜角的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由直线的点斜式方程可判断A，由两直线垂直对应的斜率关系可判断B，由两平行线的距离公式可判断C，由斜率和倾斜角的关系可判断D.

【详解】对于A，直线的斜率为，

所以过点且和直线平行的直线方程为，

即，A正确；

对于B，时，直线的斜率，直线的斜率，满足，所以两直线垂直，

而当时，直线也与直线垂直，

故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，B错误；

对于C，直线与平行，则，

则直线与的距离为，C正确；

对于D，直线的斜率，

即，所以，D正确.

故选：ACD

11. 已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（    ）

A. 椭圆的长轴长为

B. 椭圆的离心率

C. △的周长为

D. 的取值范围为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据椭圆的方程，求出，，，判断A，B，C的正误，对于D，设出，表示出的解析式，求出其范围，判断正误即可.

【详解】椭圆，

，

椭圆的长轴长为，故A正确，

椭圆的离心率，故B错误，

的周长为：，故C正确，

设，则，且，

故，

又，则，

故，

故的取值范围是，故D正确，

故选：ACD.

12. 已知直线l与抛物线（）交于A，B两点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若点D的坐标为，则

B. 直线过定点

C. D点轨迹方程为（原点除外）

D. 设与x轴交于点M，则的面积最大时，直线的斜率为1

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A由条件求出直线方程，利用设而不求法结合条件求出，判断A，对于BCD，设直线的方程为，利用设而不求法证明，由此判断B，再由，求出D点的轨迹方程，判断C，结合D点的轨迹方程确定的面积最大时，直线的斜率，判断D.

【详解】，由知直线方程为，联立，

消去x有，设，，

则，由，∴，故A正确；

对选项BCD，可设直线：，代入有，

则，由，

故直线的方程为，所以直线过定点，即，故B正确；

由，得D在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；

当时，面积最大，此时，有，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. ，，则，的夹角为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】直接根据向量夹角公式的坐标表示求解即可.

【详解】解：因为，，

所以，

因为，

所以

故答案为：##

14. 已知的顶点，的平分线所在的直线方程为，边的高所在的直线方程为，则直线的方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得所在直线方程为，进而得，再求解点关于直线对称的点的坐标即可得直线的方程.

【详解】解：因为边的高所在的直线方程为，

所以，，边所在直线方程为，

因为的平分线所在的直线方程为，

所以，，解得，即.

因为，的平分线所在的直线方程为，

所以，点关于直线对称的点在直线上，

所以，解得，即

所以，直线的方程为

故答案为：

15. 已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据直线的对称性得圆得方程为：，再根据直线过定点，且在圆内得当直线与过点和的直线垂直时，有最小值，当直线过圆心时，有最大值，最后计算即可得答案.

【详解】解：由圆得圆心，半径，

设圆的圆心为，

因为圆与圆关于直线对称，

所以有，整理得，解得：，

所以圆得方程为：，

将直线方程变形为：，

所以直线过定点，易知其在圆内，

所以当直线与过点和的直线垂直时，有最小值，

此时最小值为：，

显然当直线过圆心时，弦有最大值，

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】本题考查点关于线的对称性问题，圆的弦长的取值范围问题，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.

16. 设、分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，，若，则椭圆的标准方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据椭圆的定义、勾股定理以及已知条件可求得、的值，由此可求得所求椭圆的标准方程.

【详解】，，，

又，.

由椭圆定义可知，

，，，

因此，所求椭圆的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.

四、    解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知向量，.

（1）求的值；

（2）求向量与夹角的余弦值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；

（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.

【小问1详解】

∵，，

∴，，

∴；

【小问2详解】

设与的夹角为，则，

，，，，

∴，

∴向量与夹角的余弦值为.

18. 在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.

（1）求二面角的正弦值；

（2）试在平面上找一点，使得平面.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到 各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出二面角的正弦值.

（2）设，根据平面法向量定义得，即， ,再利用 建立方程求得，，进而求得点的坐标.

【小问1详解】

因为底面，过作，则，

以为坐标原点，方向为轴的正半轴，

方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，

设平面的法向量为，则，

，解得，又平面的法向量为，

所以，

所以.

即所求二面角的正弦值为.

【小问2详解】

设点的坐标为，因为平面，

所以，即，也即，，

又，，，

所以 ，

所以得，，即，

，，所以，

所以点的坐标为.

19. 已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点的直线与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为的中点，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设点，，，得到，，根据题意得的，，两式相加，即可求解；

（2）设，，得到，解得，，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】（1）设点，，，

因为点P为的中点，可得，，

又由，，

两式相加，可得，所以，即，

所以曲线C的方程为.

（2）根据题意，设，，

因为点为的中点，所以，解得，，

即，所以直线的方程为，整理得，

即直线的方程.

20. 已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.

（1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；

（2）求过点M的圆O1的切线方程.

【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.

【解析】

【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d=，解可得a的值，即可得答案；

（2）根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案.

【详解】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心(1，2)，半径r=2，

若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=，

又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0，

则有d=，解得；

（2）根据题意，分2种情况讨论：

当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件，

当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)，

圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0，

所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0.

【点睛】本题考查直线与圆相交性质，涉及弦长的计算，属于基础题.

21. 已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：

（1）椭圆的标准方程

（2）的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；

利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.

【小问1详解】

设椭圆的标准方程为，

由已知得解得，，，

故椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

如图，由椭圆的定义可得，

由余弦定理可得，

整理得，

又，

所以，

故．

22. 如图平面直角坐标系中，直角三角形，，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为，若双曲线以、为焦点，且经过、两点．.

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若一过点（m为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，定点

【解析】

【分析】（1）设出双曲线方程，由双曲线定义和题干条件得到，，，，求出，，由此能求出双曲线的方程，从而求出其渐近线方程．

（2）设在x轴上存在定点，直线的方程为，由，得，由得到，两式联立得，联立直线方程和，得到两根之和，两根之积，代入中，求出，从而求出定点的坐标.

【小问1详解】

解：设双曲线的方程为，

则，，．

由，得，即.

由双曲线定义可知：①，

因为的周长为，所以②，

解得，，

因为，所以，

即，解得，，．

双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为．

【小问2详解】

解：设在轴上存在定点，使．

因为直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点，所以直线的斜率不为，

设直线的方程为，，．

由，得．

即①，

，，

．

即②．

把①代入②，得③，

把代入，并整理得，

其中且，即且．

所以，．

代入③得，

化简得．

当时，上式恒成立．

因此，在轴上存在定点，使．