2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

定远县民族中学2022-2023学年高三上学期期末考试

数学

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数，，，则的共轭复数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，第六组，得到如下频率分布直方图．则该名考生的成绩的平均数和中位数保留一位小数分别是(    )

A.    B.    C.    D.   

5.  若双曲线的两条渐近线与直线围成了一个等边三角形，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数若存在个零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是(    )

A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积和的面积相等

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数，则下列关于此函数的描述准确无误的有(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 函数的一个单调增区间为
C. 函数的一个对称中心是
D. 函数的一条对称轴是

10.  已知向量，，，，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则有最小值
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值为
D. 若，则的值为

11.  已知点，为坐标原点，，为曲线上的两点，为其焦点下列说法正确的是(    )

A. 点的坐标为
B. 若为线段的中点，则直线的斜率为
C. 若直线过点，且是与的等比中项，则
D. 若直线过点，曲线在点处的切线为，在点处的切线为，则

12.  已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是(    )

A. 若，且，则的解集为
B. 若，且，则函数有极小值
C. 若，且，则不等式的解集为
D. 若，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  已知向量，，若，则实数          ．

14.  已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项，则数列的通项公式          ．

15.  已知变量，，且，若恒成立，则的最大值为          ．

16.  已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

记首项为的数列的前项和为，且当时，
证明：数列是等差数列；
若恒成立，求实数的取值范围．

18.  本小题分

在中，内角，，的对边分别是，，，且B.

求

若是边的中点，且，求面积的最大值．

19.  本小题分

如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．

求证：平面

求平面与平面所成角的余弦值．

20.  本小题分

已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是．

求在上的增区间；

若在上有两解，求实数的取值范围．

21.  本小题分

已知椭圆：，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．

求椭圆的标准方程；

若在轴上存在点，过点的直线分别与椭圆相交于、两点，且为定值，求点的坐标．

22.  本小题分

已知函数，．

求函数的单调区间

是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1. 【解析】集合，，
，
．故选D．

2. 【解析】，所以．

3. 【解析】若，则，

若，则，故，

若“”能推出“”，

但“”推不出“”，

故“”是“”的充分不必要条件，故选：．

4. 【解析】名考生成绩的平均数，

因为前三组频率直方图面积和为，前四组频率直方图面积和为，

所以中位数位于第四组内，设中位数为，则，

解得：．故选C．

5. 【解析】由题可知，则的离心率．

6. 【解析】圆即，
表示以为圆心，以为半径的圆，
由题意可得圆心在直线上，故，
即，，
当且仅当时等号成立，则的最小值为．故选C  

7. 

【解析】依题意，函数的图象与直线有两个交点，

作出两函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，故选：．

8. 【解析】如图所示，
对于，平面，又平面，
，故A正确；
对于，平面，又、在直线上运动，
平面与平面重合，
平面，故B正确；
对于，由于点到直线的距离不变，故的面积为定值；
又点到平面的距离为，故为定值，C正确；
对于，点、到直线的距离不相等，
的面积与的面积不相等，故D错误．故选：．

9. 【解析】函数的最小正周期为，故选项A正确；
当 时，，函数单调递减，故选项B错误；
当时，，所以函数的一个对称轴是，故选项C错误；
当时，，所以函数的一条对称轴是，故选项D正确．故选AD．

10. 【解析】，，．

对：若，，则，

当且仅当，即，时取得等号，故选项A正确；

对：若，，则，

当且仅当，时取得等号，故选项B正确；

对：若，则，即，，，当且仅当时取得等号，

则，故选项C错误；

对：，则，又因为，

所以这样的，不存在，故选项D错误．故选AB．

11. 【解析】由得，则焦点坐标，故A错误，
当直线垂直于轴，的中点在轴上，不满足题意，
当直线不垂直于轴，
设，，
直线：，，
代入得，
则，
为线段的中点，，
即，得，故B正确，
若直线过点，且是与的等比中项，
则，
设过点的直线：，代入得，
则，，
又抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，，
，
，
，
代入，
得，
得，满足判别式，
则，故C正确，
，，则，，
设在处切线斜率为，在处切线斜率为，
则在处切线方程为，
与联立，可得，
由，可得，
同理可得，
则，由选项C知，，
则，即，故D正确．故选：．

  12. 【解析】对于、令，则．
因为，所以，即函数是增函数．
又因为，所以，
因此的解集为，
即的解集为，所以A正确；
对于、令，则．
又因为，即，
所以当时，则，函数是增函数；
当时，则，函数是减函数，
因此当时，函数取得极小值，
即函数有极小值为，所以B正确；
对于、令，则，
单调递增，
又，
即为的解集为，
即的解集为，
故C错误；
对于、令，则．
又因为，所以，
因此函数在上是增函数，
所以，即，
因此，所以D正确．
故选ABD．

13. 【解析】因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
因为，所以．
故答案为．

14.形式不唯一 

【解析】设等比数列的公比为，依题意：有，

又，将代入得，

，

，解得或

又为递减数列，

，，

．
故答案为．

15. 

【解析】对不等式两边同时取对数得，
即，
即恒成立，
设，，
，，则函数在上为增函数，
函数的导数，
由得得，
得，
即函数的最大增区间为，
则的最大值为故答案为．

16. 

【解析】求导函数，可得，
当，，
所以在上单调递减，
，
，在上单调递增，
，
对任意的，都有成立，
，
，
故答案为．

17.解：当时，，即．

即故，所以     

易知，所以数列是首项为，公差为的等差数列．       

由可知，所以．
所以                                  ，  
所以                                                

18.解：因为，所以，

所以，，

因为，所以；

因为是边的中点，所以，

所以，

因为，且，所以，

因为，所以，所以，

则的面积

19.证明  如图，取的中点，连接，，

 

因为是的中点，

所以，且．

又是的中点，

所以．

由四边形是矩形，得，，

所以，且，

从而四边形是平行四边形，

所以．

又平面，平面，

所以平面．

解  如图，



在平面内，过点作因为，所以又因为平面，所以，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，．

因为平面，所以为平面的法向量设为平面的法向量．

又，，

由得

取，得．

从而，，

所以平面与平面所成角的弦值为．

20.解：由的相邻两条对称轴的距离是，则，

，

函数的图像关于原点对称，，，

所以，，

由， 得，，

令得，得，

在增区间是；

令，则所以，

若有两解，即在上有两解，
由的图象可得，，即，

 

的取值范围是

21.解：由题意可得：，，，

联立解得：，，，
椭圆的标准方程为：

设，，．

当直线的斜率不为时，设直线的方程为，

联立，化为，
，

，，

，
同理可得：，

，

为定值，
必然有，解得，

此时为定值，

当直线的斜率为时，设，，，，

此时，把代入可得：为定值

综上可得：为定值，．

22.解：函数的定义域为，
．
  当时，，
，  ，
函数单调递增区间为
当时，令得，      
(ⅰ)当，即时， ，
函数的单调递增区间为
(ⅱ)当，即时，
方程的两个实根分别为，，
若，则，，此时，当时，，
函数的单调递增区间为，
若，则，此时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为 
 由得当时，函数在上单调递增，故函数无极值；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
则有极大值，其值为，
其中，而，
，
设函数，则，
则在上为增函数．
又，故等价于，
因而 等价于  
即在时，方程的大根大于，
设，由于的图象是开口向下的抛物线，且经过点，
对称轴，
则只需，即，
解得，而，
故实数的取值范围为