2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．若复数满足，则的虚部是（    ）

A．1 B．－1 C． D．

【答案】A

【分析】由复数的除法求得，设，利用共轭复数的定义及复数相等求的虚部即可.

【详解】由题设，，

令，则，

∴，得，故的虚部是1．

故选：A.

2．以下说法正确的是（    ）

A．零向量与任意非零向量平行 B．若，，则

C．若(为实数)，则必为零 D．和都是单位向量，则

【答案】A

【分析】根据向量的性质和定义即可逐一判断.

【详解】解：对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；

对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误；

对于C,时，或，故错误；

对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误．

故选：A．

3．已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中错误的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】B

【分析】利用线面平行的性质定理判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用线面垂直的判定定理判断C，利用面面平行的判定方法判断D．

【详解】解：对于A：若，，，根据线面平行的性质定理可得，故A正确；

对于B：若，，则或，即B错误；

对于C：设、的法向量分别为、，若，则，，又，，则，，所以，即C正确；

对于D：若，，则，又，则，即D正确．

故选：B

4．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，得出三角形是直角三角形，求出两直角边的长，再计算三角形面积即可求解.

【详解】由直观图作出原图如图所示：

直观图中：是等腰直角三角形，， 所以

在原图中，，，且，

所以原三角形面积是，

故选：B

5．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（    ）

A．①用简单随机抽样法，②用分层随机抽样法

B．①用简单随机抽样法，②用简单随机抽样法

C．①用分层随机抽样法，②用简单随机抽样法

D．①用分层随机抽样法，②用分层随机抽样法

【答案】C

【解析】根据调查对象的特点合理选择抽样方法即可.

【详解】对于①，∵社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，∴要从中抽一个样本量是100的样本应该用分层随机抽样法；

对于②，由于样本量不大，且抽取的人数较少，故采用简单随机抽样法.

故选：C.

【点睛】本题考查了抽样方法的判断，属于基础题.

6．“冰墩墩”“雪容融”分别是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，它们形象活泼可爱，分别代表着创造非凡、探索未来、点亮梦想、温暖世界，体现了运动员的拼搏精神.现从分别印有“冰墩墩”“雪容融”“福娃贝贝”“福娃晶晶”“福娃欢欢”“福娃迎迎”“福娃妮妮”的这7个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出从个图案的卡片中随机选取张的基本事件总数，再求出“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内包含的基本事件个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】现从分别印有“冰墩墩”“雪容融”“福娃贝贝”“福娃晶晶”“福娃欢欢”“福娃迎迎”“福娃妮妮”的这个图案的卡片卡片的形状、大小，质地均相同中随机选取张，基本事件总数，

“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内包含的基本事件个数，

则“冰墩墩”和“雪容融”卡片都在内的概率为．

故选：C

7．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.

【详解】由题意得，得，，

所以两个球冠的表面积之和为，

灯笼中间球面的表面积为．

因为上下两个圆柱的侧面积之和为，

所以围成该灯笼所需布料的面积为．

故选：B.

8．已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据与的面积之比为可得，再以为基底表达，结合向量共线的性质求解即可

【详解】因为与的面积之比为，易得.故，即，整理得.因为，且均不共线，故，解得

故选：D

二、多选题

9．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的共轭复数为

C．的实部与虚部之和为 D．在复平面内的对应点位于第一象限

【答案】ACD

【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.

【详解】由题得，复数，

可得，则A正确；

的共轭复数为，则B不正确；

的实部与虚部之和为，则C正确；

在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确.

故选：ACD

10．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（    ）

A．若，且与同向，则 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据向量的性质及数量积的运算、模的运算及比较大小的方法可判断.

【详解】对于A，由于向量不能比较大小，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，可能小于0，C错误；

对于D，因为，所以，D正确．

故选：BD

11．下列命题正确的是（    ）

A．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件

B．点是边的中点，若，则在的投影向量是

C．点是边的中点，若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为

D．已知平面内的一组基底，，则向量，不能作为一组基底

【答案】ABC

【分析】对A，根据向量平行的性质与数量积的运算判断即可；对B，根据平行四边形法则，结合单位向量的方法可得是以为直角的等腰直角三角形，进而判断；对C，根据、、三点共线，设，将替换为后与已知式子对比，用t表示，根据二次函数性质即可判断；对D，根据基底向量的性质结合平行四边形法则判断即可

【详解】对A，若存在负数，使得，则成立；

当时，可能夹角为钝角，不满足，故A正确；

对B，由，结合平行四边形法则，可得与同向的单位向量和与同向的单位向量，

和与同向的单位向量构成正方形的两边与对角线.故，且为的角平分线.又是边的中点，

由三角形三线合一可得是以为直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.

故B正确；

对C，如图所示：

∵在上，即、、三点共线，

则可设，

又∵，∴，

∵，则，，

令，

时，取得最大值为，故C正确

对D，已知平面内的一组基底，，则向量，为以，为边的平行四边形的两条对角线，

故，一定不共线，故能作为一组基底，故D错误；

故选：ABC

12．在棱长为的正方体中，已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则下列选项正确的是（    ）

A．平面

B．平面平面

C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为

D．动点的轨迹所形成区域的面积是

【答案】ABD

【分析】对A,根据面面平行即可判断线面平行，对B，由线线垂直可证线面垂直，进而可得面面垂直,对C，由正方体的特征可得截面为正六边形，即可求面积，对D,由面面平行可得点的运动轨迹，进而可求面积.

【详解】对于A,在正方体中，由平面，平面，平面，

同理可得平面，又，所以平面平面,而平面,故平面，故A对,

对于B,因为,所以平面,又平面,

因此,同理可得,又,故平面,因为平面，故平面平面，所以B对，

对于C,可知过三点平面截正方体所得的截面为正六边形,且正六边形的变长为,所以截面正六边形的面积为，故C错，

对于D,由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形边上以及内部运动，而三角形是边长为的正三角形，故面积为，故D对，

故选：ABD

三、填空题

13．设是圆上不同的两点.且.则      .

【答案】6

【分析】设点为的中点，则，再根据数量积的定义计算即可.

【详解】如图，设点为的中点，则，

则.

故答案为：.

14．若复数，则等于          .

【答案】

【分析】利用复数的四则运算计算可得答案．

【详解】，则

故答案为：

15．某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为            .

【答案】

【分析】根据平均数和方差的计算方法可列出关于和的方程组，解之即可．

【详解】平均数为，即①，

方差为，

即②，

由①②解得，或，，

所以当，时，；当，，

故答案为：．

16．在四面体中，，二面角的大小为，则四面体外接球的半径为          ．

【答案】

【详解】画出图象如下图所示,其中为等边三角形边的中点,为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方,也在点的正上方.依题意知,在中,所以外接圆半径.

【点睛】

四、解答题

17．（1）设复数z满足，求复数；

（2）若复数z满足，求复数z；

（3）已知复数，当实数m为何值时，复数z对应的点Z在第四象限.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；

（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；

（3）复数的几何意义得出点Z的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解.

【详解】（1），

∴

（2）设，则，

化简得，

根据对应相等得：，解得，，

所以.

（3）由，得

，

因为Z对应的点在第四象限，

所以解得：，

故而当时，复数Z对应的点在第四象限.

18．如图，平面平面，在矩形中，，四边形为菱形，为线段的中点，.

(1)证明：平面.

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；

(2)9.

【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，再根据线面垂直、菱形及等边三角形性质可得，进而有，最后由线面垂直的判定证结论.

（2）由线面平行判定有面，则到面的距离相等，根据线面垂直有到面的距离为，最后由及棱锥的体积公式求体积.

【详解】（1）因为面面，面面，面，

所以平面，平面，则.

在菱形中，为线段的中点，，易证：.

因为，所以.

因为，面，所以面.

（2）由是矩形，即，面，面，

所以面，故到面的距离相等，

由（1）知：平面，故到面的距离为，

又，则.

19．某市为广泛开展垃圾分类的宣传､教育和倡导工作，使市民树立垃圾分类的环保意识，学会垃圾分类的知识，特举办了“垃圾分类知识竞赛".据统计，在为期1个月的活动中，共有两万人次参与网络答题.市文明实践中心随机抽取100名参与该活动的市民，以他们单次答题得分作为样本进行分析，由此得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求图中a的值及参与该活动的市民单次挑战得分的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；

（2）若垃圾分类答题挑战赛得分落在区间之外，则可获得一等奖奖励，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得，若某人的答题得分为96分，试判断此人是否获得一等奖；

（3）为扩大本次“垃圾分类知识竞赛”活动的影响力，市文明实践中心再次组织市民组队参场有奖知识竞赛，竞赛共分五轮进行，已知“光速队”与“超能队”五轮的成绩如下表：

①分别求“光速队”与“超能队”五轮成绩的平均数和方差；

②以上述数据为依据，你认为"光速队”与“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩谁更稳定？

【答案】（1），(分)；（2）此人获得一等奖；（3）①“光速队”平均数为，方差，“超能队”平均数为，方差为；②“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩更稳定.

【分析】（1）由各组的频率和为1求出a的值；平均成绩等于各组的中间值与其频率积的和；

（2）将（1）求出的平均值和代入，从而可判断96是否在此区间；

（3）①由表中的数据直接求平均数和方差即可；②比较两个方差的大小，方差小的成绩更稳定.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得；

参与该活动的市民单次挑战得分的平均值的平均成绩为(分).

（2）由（1）知，区间，而，

故此人获得一等奖；

（3）①“光速队”五轮成绩的平均数为，

方差为.

“超能队”五轮成绩的平均数为，

方差为.

②评价：从方差数据来看，“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩更稳定.

【点睛】此题考查频率分布直方图，求平均数、方差，利用方差的大小进行判断稳定程度，属于基础题.

20．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标．设向量在斜坐标系中的坐标分别为（2，1），（－3，2）．

(1)求；

(2)求与的夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)－

【分析】（1）由题意得，则代入，即可求出答案.

（2）分别求出，代入向量的夹角公式即可得出答案.

【详解】（1）由题意得．

所以

（2）因为，

，．

所以，

所以，

即与的夹角的余弦值为．

21．的内角、、的对边分别为、、，若.

(1)求的值；

(2)若，．求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化简可得的值；

（2）利用平面向量数量积的定义可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.

【详解】（1）解：由及正弦定理可得，

即，

，则，所以，.

（2）解：由平面向量数量积的定义可得，则，

由余弦定理可得，所以，，

因此，的周长为.

22．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.

(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；

(2)求异面直线与所成角的正切值；

(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）根据三角形中位线可得线线平行，进而可得线面平行，由线面平行可证明面面平行，

（2）利用线线平行，即可找到异面直线所成的角，进而在三角形中进行求解即可，

（3）根据线线垂直，可得线面垂直，即可找到的位置.

【详解】（1）分别取AB，BC的中点M，N，连接MN，NE，

则平面MNE//平面PAC

证明：在中，M，E分别为AB，PB的中点，

所以ME//AP，同理，NE//PC，

又平面平面

所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC

又ME，所以平面MNE //平面PAC  

（2）连接，，

因为分别是的中点，所以，

故为异面直线与所成的角或其补角．

因为，，平面，

所以平面．又平面，所以．

设四棱锥的底面边长为，

取中点为,连接由于,故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故，

在中,，

所以，

 所以；

（3）存在点F符合题意，且AF=AD，

证明：取OB得中点Q，连接，

在中，Q，E分别为BP，BO的中点，所以QE//PO，

所以QE⊥平面ABCD，

因为BC平面ABCD，所以QE⊥BC,

又在中，，,

所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,

所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF

在，PF= =,BF= =

所以，故

又

所以平面PBC,所以存在点F符合题意。

所以存在这样的F点，且