2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知函数，则=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】求得解析式，代入数据，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以.

故选：A

2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84

【答案】C

【分析】根据对称性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.

【详解】∵随机变量服从正态分布，

∴

故选：C.

3．下列命题中正确的为（    ）

散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；

经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；

线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越弱；

同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据变量间的相关系数，一一判断即可．

【详解】解：对于，散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系，故正确；

对于，回归直线也可能不过任何一个点，故错误；

对于，线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个变量线性相关性越强，故错误；

对于，同一组样本数据中，决定系数越大的模型拟合效果越好，故正确．

故选：C．

4．某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学共有（    ）种不同的方法．

A．30 B．48 C．120 D．60

【答案】D

【分析】先选出2名同学安排到甲社区，再把剩下的3名同学分成两组，分配到其他两个社区即可.

【详解】先选出2名同学安排到甲社区，再把剩下的3名同学分成两组，分配到其他两个社区：

．

故选：D．

5．的展开式中x的系数为（    ）

A．－280 B．－40 C．40 D．280

【答案】A

【分析】根据二项式定理求出展开式中的系数和常数项，由乘法法则可得结论．

【详解】展开式通项公式为，

含的项的系数为，常数项是，

所以所求系数为，

故选：A．

6．在归国包机上，孟晩舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处.”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抺绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途，”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】A选项结合等差数列的前项和公式求出前项和，进而解方程即可判断；B选项结合裂项相消法求出前项和，进而解方程即可判断；C、D选项结合分组求和法求出前项和，进而解方程即可判断.

【详解】A选项：因为，设数列的前项和为，

所以，

令，方程无正整数解，故A错误；

B选项：因为，设数列的前项和为，

则，

令，方程无正整数解，故B错误；

C选项：因为，设数列的前项和为，

当为偶数时，

，

，所以当为偶数时，和不可能为1028；

当为奇数时，

，

，

令，方程无正奇数解，故C错误；

D选项：因为，设数列的前项和为，则，令，解得，故数列的前项的和为1028，故D符合题意.

故选：D

7．设，随机变量的分布列为：

则当在上增大时（    ）

A．单调递增，最大值为

B．先增后减，最大值为

C．单调递减，最小值为

D．先减后增，最小值为

【答案】D

【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.

【详解】由题知，解得，

所以

所以

由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，有最小值.

故选：D

8．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．

【详解】由双曲线知渐近线方程为，

又双曲线与双曲线有相同的渐近线，

，，双曲线方程为，

设，，

，，

，

又弦的中点为，

，，设，

，解得，，解得，

所以双曲线的方程为，

由圆的方程可得，

圆心为，半径为，

．

当且仅当，，三点共线时取等号．

故选：D．

二、多选题

9．某校高三班有学生人，其中共青团员人．全班平均分成个小组，其中第一组有共青团员人．从该班任选一人作为学生代表，下列说法错误的是（    ）

A．选到的是第一组的学生的概率为

B．选到的是第一组的学生的概率为

C．已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为

D．已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为

【答案】AC

【分析】由古典概型的概率可判断选项A、B；再由条件概率可判断选项C、D.

【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”，

由题意，，故选项A错误，选项B正确；

要求的是在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，

在事件发生的条件下即已所选到的学生是共青团员为前提，有种不同的选择，

其中属于第一组的有种选择，

因此，故选项C错误，选项D正确.

故选：AC．

10．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　）

A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上

C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上

【答案】BCD

【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解

【详解】当时，，所以，

则，即P在棱上，故A错误；

同理当时，则，故P在棱上，故B正确；

当时，，所以，即，

故点P在线段上，故C正确；

当时，，故点在线段上，故D正确．

故选：BCD．

11．关于变量x，y的个样本点，，…，及其线性回归方程：，下列说法正确的有（    ）

A．相关系数的绝对值越小，则表示x，y的线性相关程度越弱

B．线性回归方程中的是变量x，y正相关的充要条件

C．线性回归方程中的是变量x，y负相关的充分不必要条件

D．若，，则点一定在回归直线上

【答案】ABD

【分析】根据定义进行判断，得出正确结论.

【详解】对A，根据线性相关系数的意义可知，当的绝对值越接近于0时，两个变量的相关性越弱，故A正确；

对B，若，则变量x，y正相关，若变量x，y正相关，则，所以是变量x，y正相关的充要条件，故B正确；

对C，若，则变量x，y负相关，若变量x，y负相关，则，所以是变量x，y负相关的充要条件，故C错误；

对D，样本的中心点一定在回归直线上，故D正确.

故选：ABD.

12．对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（    ）

A．函数的图象关于y轴对称

B．

C．函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等

D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且

【答案】ABD

【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确；构造函数，求导判断单调性，进而求得最值可判断B；由的图象与轴的交点坐标为且可判断C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：因为函数的定义域为，

所以为偶函数，图象关于轴对称，故选项A正确；

对于B：由A知为偶函数，当时，，

若即只需证，

令，，

因为，所以，

所以在上单调递增，所以，

即，所以恒成立，故选项B正确；

对于C：令，可得，所以函数的图象与轴的交点坐标为且，交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为. 故选项C错误；

对于D：，

即，即，

当时，，，

区间长度为，所以对于任意常数，存在常数，，使在上单调递减且，故选项D正确；

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：

（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；

（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.

三、填空题

13．在等比数列中，，，则等于      ．

【答案】

【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．

【详解】设等比数列的公比为，因为等比数列中，，，

故，

则．

故答案为：．

14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为，射击次数为，若的数学期望，则的取值范围是 

【答案】

【详解】由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，

则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，

解得p>或p<，又p∈(0，1)，所以p∈.

15．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则           ．

【答案】

【分析】根据杨辉三角的性质，结合组合数的计算性质，可得答案.

【详解】由“杨辉三角”性质，得：

.

故答案为：．

16．已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】根据给定分段函数，求出函数的解析式，确定给定方程有两个不等实根的a的取值范围，再将目标函数用a表示出即可求解作答.

【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，，

当，即时，，且，

当，即时，，且，

当，即时，，且，

因此，在坐标系内作出函数的图象，如图，

再作出直线，则方程有两个不等实根，当且仅当直线与函数的图象有两个不同交点，

观察图象知方程有两个不等实根，当且仅当，

此时，且，即，且，则有，

令，求导得，令，

当时，，即函数在上单调递增，

当时，，即，因此函数在上单调递增，

，而，于是当时，，有，

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.

四、解答题

17．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组随机抽取了高二年级名学生，对他们的数学期中测试成绩和使用手机情况进行了调查，并制成下面的列联表：

参考公式：，其中．

附表：

(1)试根据小概率值的独立性检验，分析经常使用手机是否对数学学习成绩有影响；

(2)现要从这名同学中随机抽取名同学进行家访，已知“他她的这次数学期中测试成绩不及格”的条件下，求“他她经常使用手机”的概率．

【答案】(1)有影响

(2)

【分析】（1）根据独立性检验的概念计算即可；

（2）根据条件概率公式计算即可．

【详解】（1）由列联表可知，

，

根据小概率值的独立性检验，认为经常使用手机对数学学习成绩有影响；

（2）事件为数学成绩不及格，则，

事件为经常使用手机，则，

．

18．已知函数 的图像在处的切线斜率为，且 时， 有极值.

(1)求的解析式；

(2)求在上的最大值和最小值.

【答案】(1)；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）由题得①，②，解方程组即得解；

（2）令解得或，再列表得解.

【详解】（1）解：求导得，

因为在出的切线斜率为，则，即①

因为时， 有极值，则.即②

由①②联立得 ，所以.

（2）解：由（1），令解得或，

列表如下：

所以，在［－3，2］上的最大值为，最小值为.

19．如图，在四棱锥中，平而平面，，，．

(1)求证：∥平面；

(2)求点到平面的距离：

(3)求平面与平面的夹角．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)30°

【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出的方向向量和平面的法向量，通过计算其向量垂直来证明线面平行；

（2）利用向量法求点到面的距离；

（3）利用法向量的夹角求二面角.

【详解】（1）由已知可得：，，

如图以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

设，则由，，

可得方程组，解得．

可得．由于，可得．

所以，设平面的法向量，

由，解得平面的法向量是，

∴，EF不在平面SAB内，

故平面．

（2）设点到平面的距离为，

∵由，∴

点到平面的距离是．

（3）设平面的法向量为，

由可得平面的法向量为，

设平面与平面的夹角为．

则，则

故平面与平面的夹角为30°．

20．为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.

(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；

(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；

(3)根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)有效，理由见解析

【分析】（1）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；

（2）分析可知变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；

（3）求出满足的成绩有人，求出，即可得出结论.

【详解】（1）解：设该名学生的考核成绩优秀为事件，

由茎叶图中的数据可知，名同学中，有名同学的考核成绩为优秀，故.

（2）解：由可得，

所以，考核成绩满足的学生中满足的人数为，

故随机变量的可能取值有、、、，

，，，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，.

（3）解：由可得，由茎叶图可知，满足的成绩有个，

所以，因此，可认为此次冰雪培训活动有效.

21．已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)（ⅰ）求证：直线过定点；

（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.

【答案】(1)

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）

【分析】（1）根据点在抛物线的准线上可得，即可求出抛物线方程

（2）（ⅰ）设直线的方程为，与抛物线联立方程组得到，再写出直线的方程，根据两点式写出 ，整理消去 ，即可求出直线所过定点

（ⅱ）因为，根据（ⅰ）中的结论和弦长公式求出，再根据列出关于的不等式，解出的范围即可

【详解】（1）由题意可知C：（）的准线方程为：，

即，所以.

抛物线C的标准方程为

（2）设，，，

（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，

与抛物线方程联立

，化简得：，根据韦达定理可得：

即，

，直线方程为，整理得：.

又因为，即.

将代入化简可得：，

代入整理得：

故直线过定点

（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在

，

由（ⅰ）知

所以，又因为

即，化简得或

又由，得：且，即或

综上所述，

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有两个极值点，，且，当时，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出导数，然后讨论在上的符号即可；

（2）求出导数的两个根，并结合韦达定理找到根与系数之间的关系，然后将表示为关于的函数，再求值域即可．

【详解】（1）解：的定义域为，

，令，

当，即时，在上恒成立，故此时是增函数；

当，即时，有两个正根，，或，显然，

此时的单调递增区间为，，单调递减期间为；

同理当时，在上恒成立，故此时是增函数；

综上可知：当时，是增函数；时，的两根为，或，

此时的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（2）解：由（1）知，，再令

当，的两个极值点为的两个互异实根，，

且，，则，即，

显然，由整理得，所以，

而，

将代入上式整理得，

再将代入上式得：，，

令，，

在上恒成立，故在上单调递减，

，，且，

即的取值范围为.