2023届安徽省滁州市定远县育才学校高三上学期1月期末考试数学试题（Word版含答案）

定远县育才学校2022-2023学年高三上学期1月期末考试

数学

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知命题，则命题为(    )

A.  B.
C. ， D. ，

3.    若，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    函数的图象大致是(    )

A. B.
C. D.

5.    函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是(    )

A. 的最小正周期是
B. 在上单调递增
C. 在上单调递增
D. 直线是曲线的一条对称轴

6.    设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.    若存在两个正实数，使得等式成立其中，是以为底的对数，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知椭圆，过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    下列命题正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，，则
C.
D. 若，则有最小值

10. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是(    )

A. 的单调递减区间为
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 的单调递增区间为

11. 已知单调递增数列满足，其前项和为，则下列说法正确的是(    )

A. 若为方程的两根，则
B. 若，，则是数列中最大的负数项
C. 若，则
D.

12. 如图，在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面或内部一点，直线，与底面所成的角分别记为，，且，记动点的轨迹与棱的交点为，则下列说法正确的是(    )

A. 为中点
B. 线段长度的最小值为
C. 存在一点，使得平面
D. 若在正四棱柱表面，则点的轨迹长度为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 定义是向量和的“向量积”，其长度为，其中为向量和的夹角．若，，则          ．
14. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是          ．
15. 若的图象关于直线对称，且当取最小值时，，使得，则的取值范围是          ．
16. 设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

设正项数列满足，且．

证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

设，求证：数列的前项和．

18. 已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
    求函数与的解析式；
    若，是第一象限的角，且，求的值．
19. 
    给定区间，集合是满足下列性质的函数的集合：任意，．
     已知，，求证：；
     已知，若，求实数的取值范围；

 已知，，讨论函数与集合的关系．

20. 12分

如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点．

若二面角的余弦值为，求的值；

在的条件下求直线与平面所成角的正弦值．

21. 12分

已知椭圆：的焦距为，且过点．

求椭圆的方程；

设在椭圆上，且与轴平行，过作两条直线分别交椭圆于，两点，直线平分，且直线过点，求四边形的面积．

22. 12分

已知函数，其中为非零实数．

讨论的单调性；

若函数为自然对数的底数有两个零点．

求实数的取值范围；

设两个零点分别为、，求证：．

答案和解析

1. 【解析】集合，，
则，故选：．
2. 【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
则为：，，故选：
3. 【解析】，
，
，
，，的大小关系为．故选：．
4. 【解析】由于函数，定义域为，
且，
故函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除；
对于时，当时，，
当时，，，故，
当时，，，，
故排除．故选C．

5. 【解析】由图可知，，该三角函数的最小正周期，故A项正确；
由，则，
因为，所以该三角函数的一条对称轴为，
将代入，得，解得，所以，
令，
得，所以函数在上单调递增，故B项正确；
令，得，
所以函数在上单调递减，故C项错误；
令，
得，则直线是的一条对称轴，故D项正确．故选：．

6. 

【解析】在中，
，

由正弦定理得即，
，
又，
，
，
又的面积为，
即，
是边的中点，
，
．故选B．

7. 

【解析】可化为，
令，则，令，
则，令，可得，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
即，
故．故选：．

8. 

【解析】由题可知，，设，则，
而，则，
又，
令，则，
所以，
由，可得，函数单调递减，由，可得，函数单调递增，
故，即时，取最小值，
此时．故选：．
9. 

【解析】取，满足，不满足，A错误；
若，，故，，故，则，B正确；
，即成立，C正确；
，当即时等号成立，等号成立条件不满足，D错误；
故选：．
10. 

【解析】对于，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；
对于，当时，，B正确；
对于，当时，，C正确；
对于，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误．故选：．
11. 

【解析】由，则，所以数列为等差数列，且数列单增，则公差，
对于，若为方程的两根，且，则 ，故，所以，则，故A错误；
对于，因为数列为等差数列，，，故，由数列单增，则是数列中最大的负数项，故B正确；
对于，因为数列为等差数列，所以成等差数列，令，又，则，所以，则，故C正确；
对于，因为数列为等差数列，所以成等差数列， 故，化为，故D错误．
故本题选BC．

12. 

【解析】选项：如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，设，
过点作平面，垂足为，连接，，
则，，由题意可知，
所以，因为，，
所以，
即，
所以点的轨迹是以为球心，以为半径的球在正四棱柱内部含表面的部分，
由题意得当为中点时，，
代入点轨迹方程，则，不满足题意，故A错误；
选项：设球心，
则，
所以线段长度的最小值为，故B正确；
选项：由题意可知，，
过点作交于点，过点作交于点，
所以，，
因为平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，，平面，所以平面平面，
所以，
设球与棱的交点为，与的交点为，
，
所以球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，
所以与球没有点以外的交点，
所以不存在点，使得平面，故C错误；
选项：因为球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，球与正方形的交线为弧，
由于，
所以，
所以弧弧，
弧，
由点在正四棱柱表面，
则点的轨迹的长度为，故D正确．故选：．

13. 

【解析】因为，，
所以，
又，所以，
设与的夹角为，则，
所以，
所以．
故答案为：．

14. 

【解析】函数在上是单调增函数，
，解得：，
故答案为：．

15. 

【解析】的图象关于直线对称，
所以，解得，；
当时，．
所以
由于，
所以，
所以，
即的范围为．
故答案为．

16. 

【解析】圆：的圆心坐标为，半径为，
直线与圆：相交于，两点，且，
圆心到直线的距离，
，
解得：，
故圆的半径．
故圆的面积，
故答案为．

17.因为，所以，又，故，所以是首项为，公差为的等差数列，故，则，因为数列是正项数列，所以．
由得，当时，当时，，所以
综上：． 

18.由函数的周期为，可得，
又曲线的一个对称中心为，，
故，求得，所以．
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可得的图象；
再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
，
由，得到，因为是第一象限角，，． 

19.证明：因为，所以恒成立，
即，所以．
因为，，且，
所以当时，恒成立，
即恒成立，       
所以恒成立．       
因为函数在区间上单调递减，
所以当时，       
所以，
故的取值范围为                                        
，．
若，      
则当，恒成立，       
即恒成立，     
即恒成立．                               
记，       
当，即时，
，即       
又因为，
所以；             
当，即时，
恒成立，
所以；                               
当，即时，
，即           
又，所以           
综上得                           
所以当时，；
当或时， 

【解析】本题考查函数的最值的求法，考查转化思想、分类讨论思想以及计算能力．
通过验证即可．
通过得当时，恒成立，整理得恒成立，通过最值求解即可．
若，则当， 恒成立，即恒成立．记，通过讨论时或时或时，解不等式即可得解．
 

20.以点为原点，作的垂线为轴，以，分别为轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，
设，则，
所以，，，，
在直角梯形中，，，
所以，即，
又平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，即即为平面的一个法向量，
设为平面的法向量，
则，即，取，，，
则，
依题意，，解得．
由可得，．
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为． 

21.因为椭圆：的焦距为，

所以，

又椭圆经过点，所以，

因为，

解得，

所以椭圆方程为：；

因为在椭圆上，且与轴平行，所以，

因为直线过点，且斜率存在，设直线的方程为，

与椭圆方程联立
得，
 

设，

则，

因为与轴平行，且直线平分，
所以，即，

整理得，
则

化简得，解得，

所以，

则，

所以四边形的面积是．

22.由题，，
若，则当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
若，则当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
综上，若，则当时，单调递增；
当时，单调递减．
若，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
由已知得有两个不等的正实根，
所以方程，即，即有两个不等正实根．
设，易知在上为单调递增函数，则有两个不等根，又为非零实数，
即 有两个不等根，
由知，函数在递增，在递减，有极大值，
又时，；时，．
若 有两个不等根，则 ，即实数的取值范围是．
要证，只需证，即证．
令，，所以只需证．
由得，，
所以，，
消去得，只需证．
设，令，则，所以只需证．
令，，则，
所以，即当时，成立．
所以，即，即．