2022-2023学年四川省达州市外国语学校高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年四川省达州市外国语学校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式即可求解.

【详解】.

故选：B.

2．已知平面向量，，且， 则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】直接根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】解：因为，，且

所以，解得

故选：B

3．半径为2，圆心角为的扇形所夹的弓形（如图所示的阴影部分）面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据扇形面积公式求扇形面积，再求三角形面积，作差即可得解.

【详解】半径为2，圆心角为的扇形面积为，

空白三角形的面积为.

所以弓形（如图所示的阴影部分）面积为.

故选：A.

4．要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】A

【分析】根据余弦函数图象的变换性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位，

故选：A

5．已知向量的夹角为，且，则

A． B． C．2 D．

【答案】B

【详解】向量的夹角为，且，，又，，，故选B.

6．已知，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为，结合及，得，又，所以，所以

故选D．

【解析】1、同角三角形的基本关系；2、两角差的正弦公式；3、拆角凑角法.

【思路点睛】本题考查了同角三角形的基本关系、两角差的正弦公式与拆角凑角法在三角函数中的应用，

重点考查学生综合知识的能力和创新能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据同角三角函数的基本

关系并结合已知条件可求出的值，然后运用拆角公式并结合两角差的正

弦公式即可计算出所求的结果.

7．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．

【解析】1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．

8．如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】用，表示，由，，三点共线得出，的关系，消去，得到关于的函数，利用导数求出的最小值．

【详解】解：．

∵，，三点共线，

∴．即．由图可知．

∴．

令，得，

令得或（舍）．

当时，，当时，．

∴当时，取得最小值 .

故选D．

【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．

二、多选题

9．在下列向量组中，不能把向量表示出来的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ABD

【分析】根据平面向量基本定理，只需判断四个选项中的每两个向量是否共线即可得正确选项.

【详解】对于A：是零向量与共线，而与不共线，所以和不能表示，故选项A符合题意；

对于B：，故和共线，则和只能表示与它们共线的向量，而与和不共线，所以和不能表示，故选项B符合题意；

对于C：因为，所以，不共线，则和能表示，故选项C不符合题意；

对于D：，所以和共线，则和只能表示与它们共线的向量，而与和不共线，所以和不能表示，故选项D符合题意；

故选：ABD.

10．已知函数为奇函数，则的一个取值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的奇偶性进行求解即可.

【详解】，

因为该函数是奇函数，

所以有，

当时，解得，所以选项A不正确；

当时，解得，所以选项B正确；

当时，解得，所以选项C正确；

当时，解得，所以选项D不正确；

故选：BC

11．已知函数在上单调，且曲线关于点对称，则（    ）

A．以为周期

B．的图象关于直线对称

C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数

D．函数在上有两个零点

【答案】BD

【分析】结合三角函数的周期性，对称性，奇偶性，零点逐一求解即可.

【详解】对于A，因为函数在上单调，所以的最小正周期T满足，即，所以，因为的图象关于点对称，所以，得，所以当时，，所以，故A错误；

对于B，当时，，故B正确；

对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，不是偶函数，故C错误；

对于D，令，当时，，直线与的图象在上有两个交点，故D正确．

故选：BD.

12．某摩天轮共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1~33号（因忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘客在乘坐舱距离底面最近时进入，在后距离地面的高度，已知该摩天轮的旋转半径为60m，最高点距地面135m，旋转一周大约30min，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15min时，乙距离地面的高度为，则乙所乘坐的舱号为（    ）

A．6 B．7 C．15 D．16

【答案】BD

【分析】先由最小正周期求出，进而由最高点和最低点与地面的距离求出，由甲乘坐摩天轮15min时，距底面为最大高度，求出，得到解析式，令求出min或min，求出每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔，分别求出min和min时，甲乙相差的乘坐舱个数，得到答案.

【详解】由题意得：min，故，

摩天轮最低点距底面m，

故，解得：，

故，

由于min，故甲乘坐摩天轮15min时，距地面为最大高度，

即，

故，

因为，所以，故，

解得：，

故，

令，其中，

解得：，

令，，解得：，，

因为，所以，解得：，

此时

令，，解得：，，

因为，所以，解得：，

此时

综上：min或min，

每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为，故每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔为，

当min时，乙比甲晚出发min，甲乙相差个乘坐舱，

由于没有13号乘坐舱，故乙在16号乘坐舱，

当min时，乙比甲早出发min，甲乙相差个乘坐舱，

故乙在7号乘坐舱.

故选：BD

三、填空题

13．已知，，，则在方向上的数量投影为        ．

【答案】/2.4

【分析】根据题意，结合向量投影公式直接计算即可.

【详解】记向量与的夹角为，

所以在方向上的数量投影为.

故答案为：

14．已知角的终边经过点，则=          ．

【答案】－

【详解】试题分析：由已知，，所以由余弦函数的定义得

15．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是                   ．

【答案】且

【详解】试题分析：， ，若与的夹角为钝角，则，即：，又不共线，则,即：，则且

【解析】1．向量的夹角；2．向量的数量积；3．共线向量；4．向量的坐标运算公式；

16．若，函数的值域为，则的取值范围是        .

【答案】

【分析】首先利用辅助角公式对化简，可得，再利用的值域，可求出的范围，即得，再结合余弦函数的单调性，，，即可求出的取值范围.

【详解】

，其中，，

因为，所以，

令，则的值域为，可得的值域为

又因为，所以，

即，且单调递减，

因为，

，

所以的取值范围是

故答案为：

【点睛】本题主要考查了三角函数求值域，涉及了辅助角公式，二倍角公式，三角函数的单调性，属于中档题.

四、解答题

17．已知，

(1)设，的夹角为，求的值；

(2)若向量与互相垂直，求k的值

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；

（2）根据平面向量的坐标运算以及垂直的坐标表示即可解出．

【详解】（1）因为，所以.

（2）由，可得，

，因为向量与互相垂直，

所以，即，解得：.

18．已知

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将条件等式变形，用正切表示，求得的值；

（2）首先利用，将原式写成齐次分式的形式，再利用正切表示，即可化简求值.

【详解】（1）由，得，即．

（2）因为，

所以

.

19．已知

（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（2）若，，求的值．

【答案】（1），，;

（2）

【分析】（1）由三角函数的恒等变形得:,再根据正弦函数的性质求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（2）由（1）可知，由题设得，可根据，利用同角三角函数的基本关系求出的值．

【详解】（1）∵，

∴，

∴函数的最小正周期为，

∵，∴，

∴，；

（2）由（1）可知，则，，

又∵ ，∴，∴，

即 ．

20．如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．

【分析】根据锐角三角函数定义，结合矩形的面积公式、辅助角公式、正弦型函数的最值进行求解即可.

【详解】解：在中，，，，

在中，，

∴，

∴，

设矩形ABCD的面积为S，则

，

由，得，

所以当，即时，，

因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．

21．已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2．

（1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；

（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【详解】试题分析 ：（1）首先由两角和的正弦公式可得，进而即可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示；

对于（2），首先由的取值范围，求出的取值范围，再对已知进行恒等变形可得在区间上恒成立，据此即可得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围.

试题解析：

（1），

因为，所以，其中，

即，．

（2）由（1）知，当时，，   

又在区间上单调递增，

所以，从而，

要使不等式在区间上恒成立，只要，   

解得：．    

点晴:本题考查的是求函数的解析式及不等式恒成立问题. （1）首先，可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示;(2)先求二次函数，再解不等式.

22．函数

同时满足下列两个条件：

①图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形;

②是的一个对称中心;

(1)当x∈[0，2]时，求函数的单调递减区间；

(2)令若g（x）在时有零点，求此时的取值范围．

【答案】(1)和

(2)

【分析】（1）化简的解析式，根据条件①②求得，利用整体代入法求得的单调递减区间.

（2）化简的解析式，通过分离常数法，结合三角函数的值域求得的取值范围.

【详解】（1）

.

的最大值是，

由于图象最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形，

所以，，

由于是的一个对称中心，

所以，

所以，

由于，所以，

则，

由，

解得，

由于，所以的单调递减区间是和.

（2），

，

所以，

依题意，在时有零点，

即方程在时有解，

即在时有解，

，

，

，，

所以.