四川省达州市外国语学校2022-2023学年高二数学（文）下学期期中考试试题（Word版附解析）

达州外国语学校高二年级第二学期期中考试（文数）

考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，.

故选：B

2. 已知复数，则z的虚部是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由复数运算法则可得z代数形式，后可得其虚部.

【详解】，则z的虚部是.

故选：C

3. 某学校为组建校运动会教师裁判组，将100名教师从1开始编号，依次为1，2，…，100，从这些教师中用系统抽样方法等距抽取10名教师作为裁判．若23号教师被抽到，则下面4名教师中被抽到的是（    ）

A. 1号教师 B. 32号教师

C 56号教师 D. 73号教师

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，系统抽样的定义求出被抽到的编号作答.

【详解】依题意，将100名教师编号后，从1号开始每10个号码一组，分成10组，显然第23号在第3组，

因此其它各组抽到的编号依次为，A，B，C不正确；D正确.

故选：D

4. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．

【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，

所以恰有2只做过测试的概率为，选B．

【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．

5. 若命题，命题，，则p是q的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】,则异号，故前者无法推后者，而可以推出前者，即可得到答案.

【详解】当，则异号，故存在两种情况或，故无法推出，

当，此时，故能推出，所以是的必要不充分条件.

故选：B.

6. 已知函数，则（    ）

A.  B.  C. 7 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得，令可得，进而即得.

【详解】因为，

所以，

所以，

解得，

则，

故.

故选：D.

7. 研究变量得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法中错误的是（    ）

A. 若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强

B. 用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位

D. 经验回归直线至少经过点中的一个

【答案】D

【解析】

【分析】根据相关系数、决定系数和线性回归方程逐项理解判断.

【详解】对A：若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强，A正确；

对B：用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B正确；

对C：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，C正确；

对D：经验回归直线必过样本中心点，但不一定过样本点，D错误.

故选：D.

8. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据离心率可得，可得出、的等量关系，由此可得出双曲线的渐近线方程.

【详解】由已知可得，则，故，

所以，双曲线的渐近线方程为.

故选：C.

9. 如图是求的程序框图，图中空白框中应填入

A. A= B. A= C. A= D. A=

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．

【详解】执行第1次，是，因为第一次应该计算=，=2，循环，执行第2次，，是，因为第二次应该计算=，=3，，否，输出，故循环体为，故选A．

【点睛】秒杀速解  认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为．

10. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出导函数，由于函数在区间上单调递增，可得在区间上恒成立，解出即可．

【详解】，

函数在区间单调递增，

在区间上恒成立，

，

而在区间上单调递减，

，

的取值范围是：，

故选：D．

11. 如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）

A. 平面

B.

C. 直线MN与平面ABCD所成的角为60°

D. 异面直线MN与所成的角为45°

【答案】C

【解析】

【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出线面角、线线角判断CD作答.

【详解】在正方体中，取棱中点，连接，

因为M，N分别为AC，的中点，则，

因此四边形为平行四边形，则平面，

平面，所以平面，A正确；

因为平面，则，所以，B正确；

显然平面，则是与平面所成的角，又，

有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；

因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确.

故选：C

12. 已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，转化为两函数的交点问题，再利用导数研究函数的大致图象进行求解判断.

【详解】函数恰有5个零点等价于关于的方程有5个不同的实根．

由，得或．

因为，所以，

由，得或，由，得，

则在和上单调递增，在上单调递减．

因为，，当时，，当时，，

所以可画出大致图象：

由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，故，故A，C，D错误.

故选：B.

第II卷（非选择题）

二、填空题

13. 已知函数，则________．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据导函数的定义及求导公式求出答案.

【详解】由题意知，.

故答案为：

14. 已知复数虚数单位，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．

【详解】因为，

所以．

故答案为：．

15. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.

【答案】0．98.

【解析】

【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．

【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为．

【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．

16. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.

【详解】抛物线： ()的焦点,

∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,

因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，

所以的准线方程为

故答案为：.

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

三、解答题

17. 内角的对边分别为，若，求：

（1）的值；

（2）和的面积．

【答案】（1）   

（2），三角形面积为

【解析】

【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可；

（2）由同角三角函数平方关系求，应用正弦定理求，三角形面积公式求的面积.

【小问1详解】

由余弦定理得：，解得．

【小问2详解】

由，则，

由正弦定理得，又，则，

．

18. 为了解学生每天的运动情况，随机抽取了100名学生进行调查，下图是根据调查结果绘制的学生每天运动时间的频率分布直方图，并将每天运动时间不低于40分钟的学生称为“运动达人”．

（1）根据题意完成下面的列联表：

（2）能否有的把握认为“运动达人”与性别有关？

独立性检验临界值表：

参考公式及数据：，其中．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）有的把握认为“运动达人”与性别有关；

【解析】

【分析】（1）由频率直方图计算出运动达人与非运动达人的人数，然后补充表格；（2）计算卡方，对照独立性检验临界值分析判断.

【小问1详解】

由频率分布直方图可得，每天运动时间低于40分钟的学生人数为

人，不低于40分钟的学生人数为人，

所以列联表为：

【小问2详解】由（1）知，

所以有的把握认为“运动达人”与性别有关.

19. 已知等差数列的前项和为，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得即可、，即可求出通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.

【小问1详解】

设公差为，由，，得，解得，

所以.

【小问2详解】

由（1）可得，

所以

，

故数列的前项和为.

20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）要证平面，只要证明平明于平面内一条直线即可；

（2）根据平面关系进行转化可得，代入数值即可得解.

【小问1详解】

取中点，连接，

由分别为棱中点，

所以，且，

又且，

所以且，

所以为平行四边形，

所以，

又平面且平面，

所以平面.

【小问2详解】

由平面可得，

又，，

所以，由，

所以平面，

又，所以平面，

由平面可得，

由（1）知平面可得

.

21. 已知椭圆的长轴长为4，点在上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值.

【答案】（1）       （2）

【解析】

【分析】

（1）由题可得，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；

（2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方程，即可求出k值.

【详解】（1）解：由题意得 ，

又点在上，所以，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：设，的坐标为，，依题意得，

联立方程组消去，得.

，所以

，，

，

∵，所以，则，

所以.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.

22. 已知函数.

（1）若在处取得极值，求实数的值；

（2）讨论在上的单调性；

（3）证明：在（1）的条件下.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据极值的性质求出实数的值，再根据极值的定义进行验证即可；

（2）根据分类讨论法，结合导函数的正负性进行求解即可.

（3）构造新函数，利用导数的性质通过数学运算证明即可.

【详解】（1）解：因为，

在处取得极值，则，

所以，解得，

当时，，当时，单调递减，当时，

单调递增，所以是函数的极值，因此；

（2）解：，

当时，上，恒成立，单调递减；

当时，令，解得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增.

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（3）证明：由（1）知，则，

令，，在上单调递增，

当时，，当时，，

则，使，即，

则当时，单调递减，当时，单调递增，

所以，

令，，所以单调递减，

所以，

所以，

所以，得证.

【点睛】关键点睛：根据不等式的特征构造函数，利用导数性质证明是解题的关键.