2022-2023学年四川省成都外国语学校高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年四川省成都外国语学校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若函数的最大值为 ，则a的值等于（    ）

A．2 B．  C．0 D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的性质即可求解.

【详解】由于，所以时，取最大值，故 ，所以，

故选：D

2．（　　）

A． B．0 C．1 D．

【答案】C

【分析】根据正弦两角和公式的逆用即可得结果.

【详解】.

故选：C.

3．设P是△ABC所在平面内的一点，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量的加减法运算化简即可得解.

【详解】,移项得．

【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题.

4．函数的最小值和最小正周期分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【分析】根据三角函数有界性可知其最小值为，周期即可求解.

【详解】三角函数，所以其最小值为，周期.

故选：B

5．已知函数(,)的部分图像如图所示，则的值分别是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】通过函数图像可计算出三角函数的周期，从而求得w，再代入一个最低点即可得到答案.

【详解】, ，

又，

，，

又，，

故选B.

【点睛】本题主要考查三角函数的图像，通过周期求得w是解决此类问题的关键.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦的二倍角公式计算即可.

【详解】由余弦的二倍角公式可得：.

故选：C

7．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】利用，确定点O的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解.

【详解】因为，

所以,

所以

取的中点,则, .

，即为中线的中点,如图所示，

则的面积为，的面积为，

.

所以.

故选：A

8．在梯形ABCD中，，，，E为BC的中点，F为AE的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】方法一：建立坐标系，求向量的坐标，根据数量积的坐标运算公式求解；

方法二：利用向量表示，根据数量积的定义及运算律求解.

【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，

所以，

故选：B．

方法二：

，

，

所以．

故选：B．

二、多选题

9．关于平面向量，下列说法中错误的是（    ）

A．若为非零向量且且与不共线，则的夹角为钝角

B．若为非零向量，则表示与同方向的单位向量

C．若，则

D．若，，则

【答案】CD

【分析】根据向量夹角与数量积的关系、与同向的单位向量的表示法、向量数量积的运算律和向量平行的性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，且为非零向量，，

又与不共线，，即夹角为钝角，A正确；

对于B，，表示与同方向的单位向量，B正确；

对于C，由得：，，C错误；

对于D，当时，由，无法得到，D错误.

故选：CD.

10．下列等式成立的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】AD

【详解】利用两角和差公式和二倍角公式依次判断各个选项即可．

【解答过程】对于A，，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AD.

11．已知函数，则下列描述中正确的是（    ）．

A．函数的图象关于点成中心对称

B．函数的最小正周期为2

C．函数的单调增区间为，

D．函数的图象没有对称轴

【答案】BD

【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．

【详解】对于A：令，令得，不是整数，故A不正确；

对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝，故B正确；

对于C：令，解不等式可得函数的单调递增区间为，故C错误；

对于D：正切函数不是轴对称图形，故D正确．

故选：BD．

12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ）

A．若为斜三角形，则

B．若，则为的内心

C．已知中，，，，为的外心，若，则的值为

D．在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为

【答案】AB

【分析】A选项：利用三角形内角和，两角和的正切公式可得；

B选项：根据向量证明在三角形内角的角平分线上即可；

C选项：根据向量的线性运算和等量关系，求出，即可判断；

D选项：根据，即向量的数量积运算，得到，的关系，再利用基本不等式即可判断.

【详解】A选项：因，

所以，

得，

整理得，

故A正确.

B选项：

，，

又，

即

整理得，

因，分别为，方向上的单位向量，

故在的角平分线上，

同理可证也在和的角平分线上,

故为的内心，

故B正确

C选项：

如图：为的外心，，，，，

则，

因，共线，，共线，

所以，，

即， ，

因，所以，

所以，，

由，

得，

得

故，

故C错误

D选项：

因，，

所以，，，

由得

，

即，

因与线段交于点，故，，

故，

即，当且仅当时等号成立，

故D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．若，，且与的夹角为，则______．

【答案】－1

【分析】根据平面向量数量积公式计算即可；

【详解】由于.

故答案为：－1.

14．在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．

【答案】米

【分析】设米，在直角三角形中表示出，利用的长求得，从而得．

【详解】由，易得

，，

设，

则，

，

，

．

15．已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为______．

【答案】

【分析】根据投影向量公式可得.

【详解】因，为单位向量，

，

所以在方向上的投影向量为，

故答案为：.

16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的恰有一个，则实数b的取值范围为______．

【答案】

【分析】利用正弦定理表示为的函数，即可求解.

【详解】由正弦定理可得,,

又，，

所以在有唯一解，

故或

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量.

(1)求与的夹角的余弦值；

(2)若向量与互相垂直，求实数的值.

【答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）由数量积公式，得夹角余弦值为；（2），所以。

试题解析：

(1)∵向量，

∴.

∴向量与的夹角的余弦值为.

(2)∵向量与互相垂直，

∴.

又.∴.

点睛：本题考查数量积的应用。数量积公式，学生要熟练掌握数量积公式的应用，能够转化到求夹角公式。两向量垂直，则数量积为零。本题为基础题型，考查公式的直接应用。

18．已知，且，求下列各式的值．

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解方程求出，化简即得解；

（2）化简即得解.

【详解】（1）由，解得或，

又因为，．

则．

（2）．

．

19．在①，②，③（，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．

在中，角，，所对的边分别为，，，且 ．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】选择见解析；（1）；（2）．

【分析】（1）选①，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，得到，结合，可得；

选②，利用三角恒等变换化简已知等式，得到，结合，可得；

选③，由正弦定理可将已知条件转化为，再由余弦定理得到，结合，可得.

（2）由余弦定理可得，由三角形面积公式可得，进而可得，最后可得△的周长为.

【详解】解：（1）选①，由正弦定理得，

即．

因为，所以，所以．

又，从而得．

选②，因为

，

所以，．

又因为，所以．

选③，因为，

所以，

即，

所以，

．

因为，所以，

（2）由余弦定理，得，

由，得，则

所以，，

所以，

故△的周长为．

【点睛】思路点睛：解三角形的基本思路：

（1）利用正弦定理实现“边化角”；

（2）利用余弦定理实现“角化边”.

20．已知，均为锐角，且，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用凑角的方法，，代入即可求得;(2)借助第一问的结论，用正弦的和差角公式计算.

【详解】（1）由，得，

．

（2）由，得，从而

又因为，

．

21．已知在中，角所对的边分别是，且

(1)求的大小；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理即可得，可求得；

（2）利用正弦定理计算得，再由三角形内角和可知，根据辅助角公式整理得，根据三角函数单调性和值域即可得.

【详解】（1）根据，由正弦定理得，

整理得，即，

又，所以；

即A的大小为.

（2）因为,

所以，又，所以；

所以

又因为，

则，所以（当且仅当时，等号成立），

可得，

即的取值范围是

22．已知向量，．设函数，．

(1)求函数的解析式及其单调减区间；

(2)若将的图像上的所有点向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，且使对都有成立，求实数k的最小值．

【答案】(1)，，（）；

(2).

【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得函数的解析式，再解不等式，，即得单调减区间；

（2）先求出，再对分类讨论，求出的解析式，再利用三角函数的图象和性质求解.

【详解】（1）由题意可知

，

∴．

由，，可得，，

∴函数的单调减区间为，（）

（2）将的图像上的所有的点向左平移个单位，

可得函数，

再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），

得到函数，

∴，

∵，∴

①若，，，

此时；

②若，，，

此时

∴综上.

当时，，所以，所以即

时，

当时，有，所以，即

即时，所以

所以实数k的最小值为．

【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是求函数的解析式，其二利用三角函数的图象和性质求解三角函数的最值.