四川省达州市外国语学校2022-2023学年高二下学期5月月考文科数学试题

达州外国语学校

高2024届高二下学期5月考试文科数学试题

考试时间:120分钟;试卷满分:150分 

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（    ）.

A．   B．    C．      D．

2.复数在复平面对应的点的坐标为（　　）.

A．     B．      C．  D．

3.命题“”的否定为（　　）.

A．          B．       

C．        D．

4.“”是“对任意恒成立”的（　　）.

A．充分不必要条件         B．充要条件

C．必要不充分条件    D．既不充分又不必要条件

5.已知抛物线的焦点为，准线方程为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（   ）.

A．16        B．32        C．24        D．48

6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ）.

A．          B．

C．          D．

7.已知关于，的不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一点，则的概率为（   ）.

A．   B．        C．     D．

8.已知中，角所对的边分别为.若，，，则的面积为（   ）.

A．        B．       C．         D．

9.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，则的最小值是（  ）.

A．     B．     C．    D．

10.执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内可填入的条件是（   ）.

A．  B．   C．　　D．

11.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率（   ）.

A．  B．   C．   D．

12.已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）.

A.       B.          C.        D.      

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.为了调研甲、乙、丙三个地区公务员的平均工资，研究人员拟采用分层抽样的方法在这三个地区中抽取m名公务员进行调研.已知甲、乙、丙三个地区的公务员人数情况如下表所示，且甲地区的公务员被抽取了15人，则丙地区的公务员被抽取了_________人.

14.在边长为的正方形中，点在线段的延长线上，且，若与交于点，则________________．

15.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．若圆柱的内切球的体积为，则该球的内接正方体的表面积为________________．

16.已知函数的图象在点处的切线斜率为，若命题“对，使得成立”是假命题，则实数的最小值为____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.

(1)求与的通项公式；

(2)求的前项和.

18.（12分）人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，借助人工智能和大数据技术打造一个智能化教育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年一2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用表示年份代码年用1表示，2018年用2表示，依次类推），用表示市场规模（单位：百万元）．

(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；

(2)该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：

完成列联表，并判断是否有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关？

附1：线性回归方程：，其中，；

附2：，．

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，.

（1）证明：平面平面；

（2）点M在平面内，直线平面，求四棱锥的体积.

20.（12分）已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

21.（12分）已知椭圆过点，长轴的长为4.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过左焦点，作互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与圆交于两点，R为的中点，求面积的最大值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求C的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若与C交于A，B两点，，求的值.

[选修4—5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

高二下5月考试文科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

三、解答题

17．解：（1）依题意，是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，

设的公差为，的公比为（），

∵  ∴…………2分

解得（负根舍去），…………4分

所以…………6分

（2）…………9分

所以…………12分

18．解:（1）由题意得，，…………1分

…………2分

…………3分

…………4分

…………5分

所以关于的线性回归方程为…………6分

（2）由题意得如下列联表：…………8分

…………11分

所以有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．…………12分

19．解：（1）连接交于点O，

∵底面平面，∴…………2分

又∵，，平面  ∴面…………4分

∵平面，∴平面平面…………6分

（2）连接，过A作交于点N，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，所以重合…………8分，

因为，所以

又，，, 所以，所以，

∴点M到底面的距离为…………10分

又

∴…………12分

20．解：（1）因为定义域为，且…………1分

当，恒成立，所以该函数在上单调递增…………2分

当，令，解得，令，解得，

所以该函数的单调增区间为，单调减区间为…………4分

综上，当，的单调递增区间为；当，的单调增区间为，单调减区间为.…………5分

（2）若要，只需，

即需要恒成立.…………7分

设，，

由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以………8分

于是需要，恒成立，即，恒成立…………9分

设，，则恒成立，

所以…………11分

则，即…………12分

21．解】（1）由题意知，解得

所以椭圆的方程为…………4分

（2）由（1）可得左焦点

当直线的斜率为0时，则直线与圆无交点…………5分

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则

这时直线的方程为，可得MN的中点为，

…………6分

当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，

直线的方程为，，联立，

得

………8分

∵，∴，∴点到等于点到的距离为…………9分

点到的距离为，所以

，

令，则，.…………11分

所以面积的最大值为…………12分

22.解：（1），

所以C的普通方程为…………3分

l的极坐标方程可化为，

所以l的直角坐标方程为.…………5分

（2）点在上…………6分

可设l参数方程为（t为参数）…………7分

代入，化简得…………8分

设点A，B对应的参数分别为，，

则.…………10分

23.解:（1）当时，…………1分

当时，令，解得…………2分

当时，恒成立…………3分

当时，令，解得…………4分

综上，当时，不等式的解集为…………5分

（2）因为…………7分

当且仅当即时等号成立，

所以，解得或…………9分

故实数a的取值范围为…………10分