2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年四川省成都市城厢中学校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】，，

.

故选：A

2．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A．2 B．－2 C． D．4

【答案】A

【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值．

【详解】解：由是纯虚数，得，解得．

故选：A.

3．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角和的正弦公式求解.

【详解】解：因为，

，

，

故选：D

4．命题：“向量与向量的夹角为锐角”是命题：“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断

【详解】若向量与向量的夹角为锐角，则，

当时，向量与向量的夹角可能为，

所以命题是命题的充分不必要条件，

故选：A

5．如图所示，正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.

【详解】由题意，，

所以.

故选：D.

6．已知函数，为了得到函数的图象，只需（    ）

A．先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位

B．先将函数图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位

C．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的

D．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍

【答案】B

【分析】直接利用三角函数图像变换可得.

【详解】对于A：先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到，故A错误；

对于B：先将函数图象上点的横坐标变为原来的，得到，再右移个单位，得到，即为，故B正确；

对于C: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的，得到，故C错误；

对于D: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到，故D错误；

【点睛】：

关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a.

7．在中，角的对边分别为，已知 则（    ）

A．45°或135° B．135°

C．45° D．60°或120°

【答案】C

【分析】根据正弦定理求解即可.

【详解】由正弦定理得：得：，

因为，所以，所以.

故选：C

8．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设可得，应用正弦定理求得，进而求.

【详解】由题设且，在测得泰姬陵顶端处仰角为，

所以，则，

所以，故.

故选：A

二、多选题

9．下列说法中错误的是（    ）

A．单位向量都相等

B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上

C．若为非零向量，则表示为与同方向的单位向量

D．若，，则

【答案】ABD

【分析】根据单位向量概念判断A，根据共线向量关系判断B，由向量的模及方向判断C，由特例可判断D.

【详解】对A，单位向量方向不一定相同，故A错误；

对B，向量与是共线向量，A、B、C、D不一定在一条直线上，故B错误；

对C，为非零向量，则模长为1，方向与同向，故C正确；

对D，若时，，，但推不出，故D错误.

 故选：ABD

10．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的有（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的单调递增区间为

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．函数图象的一个对称中心为点

【答案】ABC

【分析】根据函数图象的变换关系求出，利用正弦函数的图象性质求解即可.

【详解】函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，

再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，

得到函数的图象，

所以函数的最小正周期为，A正确；

令，

解得，

所以函数的单调递增区间为，B正确；

是函数的最大值，

所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确，D错误，

故选:ABC.

11．已知向量，，则（    ）

A． B．与向量共线的单位向量是

C． D．向量在向量上的投影向量是

【答案】AC

【分析】利用向量垂直的坐标形式可判断A的正误，利用向量的模长公式和投影向量的公式可判断CD的正误，利用模长可求与向量共线的单位向量，从而可判断B的正误.

【详解】因为，，故，

故，故成立，故A正确.

与向量共线的单位向量为即、，故B错误.

，故，故C正确.

向量在向量上的投影向量是，故D错误.

故选：AC.

12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）．

A．若，则

B．若，则是钝角三角形

C．若，则为等腰三角形

D．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个

【答案】ABD

【分析】由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出可判断D.

【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有，

又因为正弦定理，所以，故A正确；

对B选项，由可得，

∴，为钝角三角形，故B正确；

对C选项，由可得，∴，

∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；

对D选项，由，

则，解得，

故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确.

故选：ABD．

三、填空题

13．已知复数，则=        ．

【答案】

【详解】试题分析：，所以

【解析】复数模的概念与复数的运算.

14．已知向量， 则         .

【答案】

【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式即得答案.

【详解】由题意向量，则

则，

故答案为：

15．已知在△ABC中，＝＝，则角C的度数为        .

【答案】120°

【分析】由已知条件，结合正弦定理可得,不妨设,利用余弦定理求得，进而得解.

【详解】由已知得,

由正弦定理的,

∴,

不妨设,则 ,

∴=120°，

故答案为：120°.

16．下列命题：

①若，，，为锐角，则实数的取值范围是；

②若非零向量，且，则为等边三角形；

③若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时，；

④已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点一定通过的重心；

⑤如果内接于半径为的圆，且，则的面积的最大值为.

其中正确的序号为                       ．

【答案】②④⑤

【分析】由为锐角，则且不共线，列式求解可判断①；由条件可知的角平分线与垂直，为等腰三角形，又，所以，即可判断②；，利用二次函数的性质求解可判断③；记BC中点为E，则，故与共线，而直线AE过的重心，即可判断④；由条件结合正弦定理得，可得角C，由余弦定理结合基本不等式可得，进而由三角形面积公式求解可判断⑤.

【详解】对于①，由，

得，，

因为为锐角，故且不共线，

所以，解得且，故①错误；

对于②，因为非零向量，所以的角平分线与垂直，

为等腰三角形，又，

又，所以，所以为等边三角形，故②正确；

对于③，，

当时，取得最小值，故③错误；

对于④，已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，

记BC中点为E，则，则，故与共线，

而直线AE过的重心，故动点P一定通过的重心，故④正确；

对于⑤，∵，

∴根据正弦定理，得，可得，

∴，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为，

∵，∴由余弦定理，

可得，当且仅当时等号成立，

∴，

∴，即面积的最大值为，故⑤正确.

故答案为：②④⑤.

四、解答题

17．已知，，且与夹角为求：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由平面向量的数量积的定义求解即可；

（2）由平面向量的数量积的运算律求解即可.

【详解】（1）因为，，且与夹角为，

所以.

（2）.

18．已知复数.

(1)若为实数，求的值；

(2)若为纯虚数，求的值；

(3)若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)2

(3)

【分析】若为实数，则虚部为0，列出方程求解即可；

若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，列出方程组求解即可；

若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，列出不等式组求解即可。

【详解】（1）若为实数，则虚部为0，

所以，

解得或

（2）若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，

所以解得

（3）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，

所以解得

19．已知函数.

（1）求；

（2）求的最小正周期和单调递增区间.

【答案】（1）0；（2）最小正周期，单调递增区间为，．

【分析】（1）先结合二倍角公式，辅助角公式先进行化简，然后把代入即可求解，

（2）结合正弦函数的周期公式可求，然后利用整体思想，，解不等式可求的范围，即可求解．

【详解】解：（1），

，

，

所以

所以，

（2）函数的最小正周期，

令，，

解得，

故的单调递增区间，．

20．已知在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．

(1)求角；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；

（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.

【详解】（1）解：因为向量，，且

所以，由正弦定理得，

又，则，即，又，所以；

（2）解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），

所以的面积.

21．在中，角所对的边分别为．已知 ．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；

（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

，

又因为，所以；

（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；

（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，

进而，

所以.

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

22．已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，求的最大值．

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）先把整理为，直接求出的单调递增区间；

（2）由，求出，由余弦定理结合均值不等式即可得出答案.

【详解】（1）

由解得：，

故函数的单调递增区间为.

（2），，

又，，，

又，所以，

又因为，所以，

所以，当且仅当“”时取等

所以的最大值为.