2022-2023学年宁夏固原市第五中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年宁夏固原市第五中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】，则

故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的解析式列出使得函数有意义的不等式，即可求得答案.

【详解】要使得函数有意义，

需满足，

即函数的定义域是，

故选：D

3．在中，M是的中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加法法则计算．

【详解】如图，作平行四边形，因为M是的中点，所以M也是的中点，则.

故选：C.

4．复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据虚数单位的性质以及复数的乘法运算，即得答案.

【详解】由题意得.

故选：D

5．已知，且，则等于（    ）

A． B． C．9 D．1

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示，列式求解，即得答案.

【详解】由题意知，且，

故，

故选：C

6．在中， ，则（    ）

A．9 B． C． D．3

【答案】D

【分析】根据余弦定理即可求得答案.

【详解】由题意知中，，

故

，

故，

故选：D

7．函数的部分图象如图所示，则

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【详解】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.

【解析】三角函数的图象与性质

【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．

8．如果棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可知球的直径等于正方体的体对角线，由正方体的棱长求出体对角线长，从而可求出球的表面积.

【详解】根据题意可知球的直径等于正方体的体对角线，

设球的半径为，

因为球内接正方体的棱长为，

所以，解得，

所以球的表面积，

故选：

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．一个八棱柱有10个面

B．任意面体都可以分割成个棱锥

C．棱台侧棱的延长线必相交于一点

D．矩形旋转一周一定形成一个圆柱

【答案】ABC

【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验．

【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A正确；

对于选项B：任意面体，在面体内取一点为，将点与面体的各个顶点连接，即可构成个棱锥，故B说法正确；

对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；

对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D错误；

故选：ABC．

10．函数与的图像如图所示，则实数a的值可能为（        ）

A． B． C． D．3

【答案】AB

【分析】由对数函数、幂函数的性质判断即可.

【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误；由图像可知函数为奇函数，则C错误，AB正确；

故选：AB

11．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．设为非零向量，若，则

B．设为非零向量，若，则的夹角为锐角

C．设为非零向量，则

D．若点为的重心，则

【答案】AD

【分析】根据，平方后可得，可判断A；根据数量积的意义结合向量的夹角含义判断B；根据数量积的意义判断C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D.

【详解】对于A，为非零向量，若，则，

即，A正确；

对于B，当时，，

故，则的夹角为锐角或零角，B错误；

对于C，为非零向量，则表示与共线的向量，

表示与共线的向量，而不一定共线，故不成立，C错误；

对于D，如图设D为的中点，点为的重心，

则，即即，D正确，

故选：AD

12．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的图象关于点对称

C．的图象关于对称 D．在上的最大值是1

【答案】ABC

【解析】先由最小正周期求出，再根据函数的变换求出，结合三角函数的性质即可判断.

【详解】因为最小正周期为，，解得，

，

将的图象向左平移个单位长度得，

再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得，即，

则，故A正确；

，的图象关于点对称，故B正确；

，的图象关于对称，故C正确；

当时，，则，即，故在上的最大值为，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】结论点睛：判断对称轴和对称中心的方法：对于，若函数满足，则关于点对称；若函数满足，则关于对称.

三、填空题

13．的值为          ．

【答案】

【分析】直接利用诱导公式化简求值.

【详解】,

故答案为:.

【点睛】本题考查诱导公式的应用,属于基础题.

14．复数z在复平面内对应点的为，则        .

【答案】/

【分析】由复数的坐标表示写出复数，再由共轭复数定义得结论．

【详解】由题意，∴，

故答案为：．

15．已知与的夹角为60°，，，               .

【答案】1

【分析】根据平面向量数量积的定义计算即可求解.

【详解】由题意知，

.

故答案为：1.

16．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为        ．

【答案】

【详解】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.

详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．

四、解答题

17．已知复数，且为纯虚数.

(1)求复数；

(2)若，求复数以及模.

【答案】(1)；

(2)，．

【分析】（1）由复数的乘法法则化简后，根据复数的分类求解；

（2）由复数除法法则计算出，再由复数模的定义计算．

【详解】（1）由题意，它为纯虚数，

则，∴，

∴；

（2），

．

18．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知，且.

(1)求原平面图形的面积；

(2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的体积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将直观图复原为原图，确定相关线段长度，即可求得答案；

（2）确定形成的几何体的形状，根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案.

【详解】（1）将直观图复原为原图，如图，作，

则，，

则，，

即原图形为直角梯形，

故原平面图形的面积为.

（2）将原平面图形绕旋转一周，

所形成的几何体是一个以为底面半径的圆锥和一个以为底面半径的圆柱组成的组合体，

其体积为.

19．已知向量．

(1)当时，求向量的坐标；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)；(2)．

【分析】（1）根据向量坐标的运算计算即可求解；

（2）根据两向量平行的坐标公式及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式即可求解..

【详解】(1)因为，所以，又因为，

所以.

(2)因为，所以,解得，

又因为，所以.

所以.

20．如图，正方体中，分别为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）根据线面平行的判定定理即可证明结论.

【详解】（1）连接交于点O，连接，

因为四边形为正方形，故O为的中点，

而E为的中点，故，

平面，平面,

故平面；

（2）连接，分别为的中点.，

故，而，为的中点.，

故，即四边形为平行四边形，

故，平面，平面，

故平面.

21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．

（1）求角B的大小；

（2）若，，求c．

【答案】(1) ．(2) ．

【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角；

（2）把，，代入，化简后根据一元二次方程的解法求出的值．

【详解】解：（1）因为，

所以．

因为，所以，

所以．

因为，且，

所以．

（2）因为，，

所以由余弦定理，

得，

即．

所以．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．

22．已知点，点，且函数（为坐标原点）.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的最小正周期及最大值，并求出取得最大值时的集合.

【答案】(1)

(2)；4；

【分析】（1）根据向量的数量积的坐标表示，结合三角函数辅助角公式化简，即可求得的解析式；

（2）利用三角函数周期公式，可得的最小正周期；结合正弦函数性质即可求得的最大值，并可得取得最大值时的集合.

【详解】（1）由题意可得,

故

；

（2）由于，故其最小正周期为；

当时，取得最大值4，

此时，即，

故取得最大值时的集合为.