2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高一下学期期中测试数学试题含解析

2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高一下学期期中测试数学试题

一、单选题

1．若且为第三象限角，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.

【详解】因为且为第三象限角，

所以，

则.

故选C

【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.

2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）

A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱

【答案】C

【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断．

【详解】对于A ，不是由棱锥截来的，所以①不是棱台，故A错误；

对于B，上、下两个面不平行，所以②不是圆台；故B错误；

对于C，底面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，所以③是棱锥，故C正确.

对于D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故D错误.

故选：C．

3．已知i为虚数单位，复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据除法运算求出复数，得到，即可确定点的位置.

【详解】由可知，，

，

∴在复平面内对应的点坐标为，故点位于第四象限，

故选：D.

4．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.

【详解】因为，

所以，

又，所以，

因为，由正弦定理得，

则，

则，

所以为有一个角为的直角三角形.

故选：B.

5．在中，角的对边分别为，若，则（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】在中，由正弦定理可得，即，解得，

又由可知，

所以，

故选：B

6．已知向量，，，若，则（    ）

A． B．3 C． D．5

【答案】B

【分析】先求出的坐标，再利用列方程求.

【详解】由已知得，

，且，

，

解得.

故选：B.

7．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为，扇面所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，那么这把折扇的扇面面积为（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】A

【分析】先分别计算出大的扇形和小的扇形面积，两个求差就是扇面面积.

【详解】由扇形的面积公式可知大的扇形面积为，

小的扇形面积为，

所以扇面的面积为.

故选：A

8．在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求，，进而可求．

【详解】解：如图，连接

则，

∴，，则.

故选：A.

二、多选题

9．设，复数，则下列说法正确的是（    ）

A．若是实数，则 B．若是虚数，则

C．当时，的模为 D．当时，在复平面上对应的点为

【答案】AC

【分析】根据复数的概念判断A、B，根据复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D.

【详解】因为，，

对于A：若是实数，则，解得，故A正确；

对于B：若是虚数，则，解得，故B错误；

对于C：当时，所以，故C正确；

对于D：当时，在复平面上对应的点为，故D错误；

故选：AC

10．下列说法中正确的是（    ）

A．非零向量和满足，则与的夹角为

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C．若，则在方向上的投影向量的模为

D．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

【答案】BC

【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A，由即可判断B，根据投影的定义判断C，根据且与不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.

【详解】对于A：由，，

所以，即，

所以，

所以，所以与的夹角为，故A错误；

对于B：由，，所以，则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确；

对于C：，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；

对于D：由，，则，

若与的夹角为锐角，则且与不能同向，

即，解得且，故D正确；

故选：BC．

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则△ABC是钝角三角形

C．若，，则△ABC面积的最大值是

D．若，则△ABC为直角三角形

【答案】ABC

【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，当时，由正弦定理得，

在三角形中，大角对大边，所以，所以A选项正确.

B选项，当时，由正弦定理得，

所以，所以为钝角，故三角形是钝角三角形，B选项正确.

C选项，由余弦定理得，

当且仅当时等号成立，所以，

所以三角形面积的最大值是，C选项正确.

D选项，若，则，

，所以D选项错误.

故选：ABC

12．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位

C．函数在区间上单调递增

D．函数在区间上的取值范围是

【答案】AC

【分析】由图得、，点在图象上求得及的解析式可判断A；根据图象平移规律可判断B；利用正弦函数的单调性可判断C；根据的范围求得可判断D.

【详解】由图得，所以，，

所以，因为点在图象上，所以，

，因为，所以，可得，故A正确；

对于B，将的图象向左平移个单位，得到的图象，故B错误；

对于C，由得，

所以函数在区间上单调递增，故C正确；

对于D，时，，所以，

函数在区间上的取值范围是，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为_____________.

【答案】

【分析】用余弦定理求得后可得周长．

【详解】已知，，，

由余弦定理得，

所以，即

，则，

三角形周长为．

故答案为：．

14．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】解不等式,即得解.

【详解】由题意得.

解得.

故答案为：.

15．已知且求的值___________.

【答案】

【分析】根据角的范围，求出，再根据展开求解即可.

【详解】解：∵ 且

故答案为：

【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．

（2）也可根据给定角与要求的角之间的关系，利用诱导公式转化求三角函数值.

16．已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解作答.

【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，

等边的边长为，则，又，设，

因此，

，

因为，有，则当时，

当时，，

所以的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知，，且与夹角为，求：

(1)；

(2)与的夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用来计算求；

（2）设与的夹角为，先求出，再利用向量夹角公式来计算即可.

【详解】（1）由已知可得，

；

（2）设与的夹角为，

又，

.

18．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.

(1)求的值；

(2)求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角函数定义可直接构造方程求得；

（2）根据三角函数定义可得，利用诱导公式化简所求式子，代入的值即可求得结果.

【详解】（1），，又，解得：.

（2）由（1）得：，

.

19．已知，，，．

(1)求的值；

(2)求的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先通过条件求出，，再利用两角差的余弦公式计算即可；

（2）通过（1）求出，，再利用两角差的正切公式计算，即可求出的大小.

【详解】（1），，，，

，，

；

（2）由（1）得，，，

，

由，得，

.

20．已知函数.

（1）求的最小正周期和的单调递减区间；

（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.

【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．

【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；

（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.

【详解】（1），

所以，函数的最小正周期为.

由，可得，

函数的对称中心为；

解不等式，解得.

因此，函数的单调递减区间为；

（2）当时，，

当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．

【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

21．为了帮助山区群众打开脱贫致富的大门，某地计划沿直线AC开通一条穿山隧道．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，且测得，，.用以上数据（或部分数据）表示以下结果.

(1)求出线段PB的长度；

(2)求出隧道DE的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件求出角，在中由正弦定理即可得结果；

（2）在中由正弦定理求出，从而求解得.

【详解】（1）由题意，，，

所以，，又，，

在中，由正弦定理得，即，

解得；

（2）因为，，所以，，

又由（1）知，，

在中，由正弦定理得，

所以，即，

所以.

22．在中，，从条件①；条件②，两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.

(1)若，求的面积；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)面积为

(2)

【分析】（1）由所选条件，应用正弦边角关系、三角形内角性质及三角恒等变换求得，再应用正弦定理求角，最后求出三角形的面积；

（2）由题设及（1）得，应用三角恒等变换化简，注意求的范围，根据正弦型函数性质求范围即可.

【详解】（1）选①：，又，则，

由，故，

根据，而，故，，

所以或（舍），

综上，，则的面积为；

选②：，

所以，则，

由，则，，可得，

根据，而，故，，

所以或（舍），

综上，，则的面积为；

（2）由（1），，则，且，

所以，

又为锐角三角形，，则，故，

所以，则.