初中数学2.3 等腰三角形的性质定理课时训练

第2章　特殊三角形

2.3　等腰三角形的性质定理

第2课时　等腰三角形的性质定理2

基础过关全练

知识点　等腰三角形的三线合一

1.(2022广西梧州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是(　　)

A.∠ADC=90°　　　　B.DE=DF

C.AD=BC　　　　　  D.BD=CD    

2.(2023浙江杭州临平、余杭期中)如图,AD是等腰△ABC底边BC边上的中线,BE平分∠ABC,交AD于点E,AC=12,DE=3,则△ABE的面积是(　　)

A.16　　　　B.18　　　　C.32　　　　D.36

3.【新情境·跷跷板】同学们都玩过跷跷板的游戏,下图是一个跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠AOA'=50°,则当跷跷板的另一头B着地时,∠COB'等于(　　)

A.25°　　　　B.50°　　　　C.65°　　　　D.130°

4.【新考法】(2023浙江嘉兴桐乡六中教育集团三校联考)李老师在探究等腰三角形“三线合一”的性质时,部分板书如图所示,请帮他在横线上填一个适当的结论:　　　　　　.　               

 ∵AB=AC,AD⊥BC,

∴　　　　　.

5.【教材变式·P61T4】在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,DE∥AB交AC于点E,若∠BAC=50°,则∠ADE的度数为　　　　.

能力提升全练

6.(2022浙江台州中考,9,★★☆)如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连结PB,PC.下列命题中,是假命题的是(　　)

A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PC

B.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=AC

C.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PC

D.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC

7.(2023浙江杭州十三中教育集团检测,18,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,则=S△CDE∶S四边形ABDE

(　　)

A.1∶2　　　　B.2∶3　　　　C.1∶4　　　　D.1∶3

8.【最短距离问题】(2023浙江杭州二中树兰实验学校期中,8,★★☆)如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为3,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F,若点D为BC边的中点,点M为线段EF上的动点,则△CDM周长的最小值等于(　　)

A.7.5　　　　B.8.5　　　　C.10.5　　　　D.13.5

9.【尺规作图】(2021浙江台州中考,15,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC.分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于D,E两点,直线DE交BC于点F,连结AF.以点A为圆心,AF的长为半径画弧,交BC的延长线于点H,连结AH.若BC=3,则△AFH的周长为　　　　. 

10.(2023浙江温州洞头期中,17,★★★)如图,△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AB边上一点,EF⊥BC于点F,FE的延长线交CA的延长线于点G,已知EF=2,EG=3,则AD的长为　　　　.

11.【一题多解】(2022湖南衡阳中考,20,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,且BD=CE.

求证:AD=AE.

12.8字模型如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,

E为CD的中点,连结AE、BE,延长AE交BC的延长线于点F.

(1)△DAE和△CFE全等吗?说明理由;

(2)若AB=BC+AD,说明BE⊥AF;

(3)在(2)的条件下,若EF=6,CE=5,∠D=90°,你能否求出E到AB的距离?如果能,请直接写出结果.

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13.【推理能力】在△ABC中,AB=AC.

(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　; 

(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　; 

(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:　　　　　　; 

(4)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由.

图1         图2         图3

答案全解全析

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1.C　∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴AD⊥BC,BD=CD,DE=DF,∴∠ADC=90°.根据已知条件无法得到AD=BC,故选C.

2.B　过点E作EH⊥AB于H(图略),∵AB=AC=12,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∵BE平分∠ABC,ED⊥BC,EH⊥AB,

∴EH=ED=3,∴S△ABE=AB·EH=18.故选B.

3.C　∵OA=OB=AB,∴OA'=OB'=A'B',∵AB=A'B',

∴OA=OB',∵∠AOA'=50°,∴∠AOB'=180°-50°=130°,

∵OC⊥AB',∴∠COB'=∠AOB'=65°.故选C.

4.答案　BD=CD(答案不唯一)

解析　∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD(答案不唯一).

5.答案　25°

解析　∵AB=AC,AD是BC边上的中线,

∴∠DAC=∠BAD=∠BAC=25°,

∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD=25°.

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6.D　因为AB=AC,且AD⊥BC,所以AP是BC的垂直平分线,所以PB=PC,故A是真命题;因为PB=PC,且AD⊥BC,所以AP是BC的垂直平分线,所以AB=AC,故B是真命题;因为AB=AC,且∠1=∠2,所以AP是BC的垂直平分线,所以PB=PC,故C是真命题;由PB=PC,∠1=∠2不能判定AP是BC的垂直平分线,所以AB和AC不一定相等,故D是假命题.故选D.

7.D　∵AD⊥BC,AB=AC,∴BD=CD,∴S△ABD=S△ADC,

∵AE=EC,∴S△ADE=S△DCE=S△ADC,设S△ADE=S△DCE=S△ADC=a,

则S四边形ABDE=S△ABC-S△DEC=4a-a=3a,

∴S△CDE∶S四边形ABDE=1∶3.故选D.

8.D　连结AD,∵△ABC是等腰三角形,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC·AD=×3AD=18,解得AD=12,∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM周长的最小值=CM+MD+CD=AD+×3=13.5.故选D.

9.答案　6

解析　由作图可得,AF=AH,DF垂直平分AB,∴AF=BF,

∵AC⊥FH,∴FC=CH,∴AF+FC=BF+FC=AH+CH=BC=3,

∴△AFH的周长为AF+FC+CH+AH=2BC=6.

10.答案　

解析　∵AB=AC,AD为BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,

∵AD⊥BC,EF⊥BC,∴AD∥EF,∴∠AEG=∠BAD,

∠G=∠CAD,∴∠AEG=∠G,如图,作AH⊥EG于H,在△AHG与△AHE中,

∴△AHG≌△AHE(AAS),∴EH=HG=×3=,

∵∠AHF=∠HFD=∠ADF=90°,∴AH∥FC,

∴AD=FH=EF+EH=2+.

11.证明　证法一(利用三角形全等):∵AB=AC,

∴∠B=∠C,在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE.

证法二(利用等腰三角形的三线合一):过点A作AF⊥BC于点F(图略),

∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF,

∵BD=CE,∴BF-BD=CF-CE,∴DF=EF,

∴AF是DE的垂直平分线,∴AD=AE.

12.解析　(1)△DAE≌△CFE.理由如下:

∵AD∥BC,∴∠ADE=∠ECF,

∵点E是CD的中点,∴DE=EC,

在△DAE和△CFE中,

∴△DAE≌△CFE(ASA).

(2)证明:由(1)得,△DAE≌△CFE,∴AE=EF,AD=CF,

∵AB=BC+AD,∴AB=BC+CF,即AB=BF,∴BE⊥AE.

(3)点E到AB的距离为5.详解:∵AB=BF,AE=EF,

∴∠ABE=∠FBE,∴点E到AB的距离等于点E到BF的距离,∵CE⊥BF,CE=5,∴点E到AB的距离为5.

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13.解析　(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,

∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°,

∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-30°)=75°,

∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.

(2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,

∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,

∵∠BAD=40°,∴∠CAD=40°,

∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-40°)=70°,

∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°.

(3)∠BAD=2∠EDC.

(4)仍有∠BAD=2∠EDC.理由如下:

∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,

∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=

(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,

∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BAD=2∠EDC.