2023-2024学年甘肃省酒泉市金塔县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省酒泉市金塔县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数，，﹣，，（﹣）0，，是无理数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
2．下列计算正确的是（ ）
A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3
3．在△ABC中，若AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列结论正确的是（ ）
A．∠A＝90˚B．∠B＝90˚
C．∠C＝90˚D．△ABC不是直角三角形
4．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，那么P点坐标为（ ）
A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，﹣4）
7．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．﹣4和﹣3之间B．3和4之间
C．﹣5和﹣4之间D．4和5之间
8．A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
9．若a＜0，则等于（ ）
A．B．﹣C．±D．0
10．在平面直角坐标系中，点P（n2+2，）一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．计算：＝ ．
12．﹣8的立方根是 ．
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
14．比较大小： ．
15．已知点P（2，﹣6），点P到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，则a﹣b＝ ．
16．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为 米．
17．如图，一竖直的大树在离地面5米处折断，树的顶端落在地面离大树底端12米处，大树折断之前的高度为 米．
18．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3）
19．在平面直角坐标系中，若点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，则x的值是 ．
20．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是 ．
三、解答题（共60分）
21．（20分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．把下列各数分别填在相应的括号内．
﹣，0，0.16，，，﹣，，，﹣，﹣3.14．
有理数：{ …}；
无理数：{ …}；
负实数：{ …}；
正分数：{ …}．
23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
24．海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v＝计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d为海水的深度（m），g表示重力加速度9.8m/s2．若在海洋深度980m处发生海啸，求其行进速度．
25．如图所示，在长方形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE＝BE＝5，请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标．
26．如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．
（1）求OB的长度；
（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．
27．如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．
（1）证明BE＝BF；
（2）求△BEF的面积．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数，，﹣，，（﹣）0，，是无理数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：是分数，属于有理数；
是无理数；
﹣是无理数；
＝3，是整数，属于有理数；
（﹣）0＝1，是整数，属于有理数；
是无理数；
所以无理数有，﹣，共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列计算正确的是（ ）
A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3
【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．
解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；
根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；
、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式a0＝1(a≠0)的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键．
3．在△ABC中，若AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列结论正确的是（ ）
A．∠A＝90˚B．∠B＝90˚
C．∠C＝90˚D．△ABC不是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
解：在△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，
∵AB2＝132＝169，BC2+AC2＝52+122＝169，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】小明用手盖住的点在第二象限内，那么点的横坐标小于0，纵坐标大于0，比较选项即可．
解：小明用手盖住的点在第二象限内，则其横坐标小于0，纵坐标大于0，
那么结合选项笑脸盖住的点的坐标可能为（﹣2，3）．
故选：C．
【点评】考查了点的坐标，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、＝|a|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6．如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，那么P点坐标为（ ）
A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，﹣4）
【分析】在x轴上的点的坐标，纵坐标为0，从而可得m+1＝0，则可求得m的值，即可求解．
解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
∴m+3＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标与图形性质，解答的关键是明确在x轴上的点的纵坐标为0．
7．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．﹣4和﹣3之间B．3和4之间
C．﹣5和﹣4之间D．4和5之间
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，由于OP＝OA，故估算出OA的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．
解：∵点P坐标为（﹣2，3），
∴OP＝＝，
∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA＝OP＝，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于﹣4和﹣3之间．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
8．A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），可得到B点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到C点坐标．
解：∵A（﹣3，2）关于原点的对称点是B，
∴B（3，﹣2），
∵B关于x轴的对称点是C，
∴C（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标规律，以及关于x轴对称点的坐标特点，关键是熟记坐标变化的规律．
9．若a＜0，则等于（ ）
A．B．﹣C．±D．0
【分析】根据a＜0，化简二次根式即可．
解：∵a＜0，
∴＝＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式，正确理解二次根式的基本性质是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，点P（n2+2，）一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直接利用偶次方的性质结合各象限内点的坐标特点得出答案．
解：∵n2+2＞0，
∴点P（n2+2，）一定在第一象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．计算：＝ ﹣1 ．
【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．
解：∵1＜，
∴1﹣＜0，
∴＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【分析】根据立方根的定义即可求得答案．
解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
14．比较大小： ＞ ．
【分析】由于题干所给的两个数中含有根号并且都为正数，则首先取两个数的平方值进行比较，平方值较大的数较大，由此即可求解．
解：∵＝48，
＝45，
∵48＞45，
∴4＞3，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，对于含有根号的两个正数比较大小，可以通过比较他们平方值的大小从而得到两数的大小关系．
15．已知点P（2，﹣6），点P到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，则a﹣b＝ 4 ．
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
解：由题意，得
a＝|﹣6|＝6，b＝|2|＝2，
a﹣b＝6﹣2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了点的坐标，利用点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值得出a，b的值是解题关键．
16．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为 21 米．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米，
∴BD＝（米），DC＝（米）
∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米），
故答案为：21．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．如图，一竖直的大树在离地面5米处折断，树的顶端落在地面离大树底端12米处，大树折断之前的高度为 18 米．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．
解：如图，
∵AC＝5米，BC＝12米，∠ACB＝90°，
∴折断的部分长为，
∴折断前高度为5+13＝18 （米）．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力是解题关键．
18．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 15 cm．（π取3）
【分析】本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．
解：圆柱展开图为长方形，
则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，
蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，
由勾股定理得AB＝＝＝＝15cm．
故蚂蚁经过的最短距离为15cm．
【点评】解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．
19．在平面直角坐标系中，若点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，则x的值是 ﹣1或5 ．
【分析】根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2﹣x|＝3，从而可以求得x的值．
解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，
∴|2﹣x|＝3，
解得，x＝﹣1或x＝5，
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是 49 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．
解：∵AE＝5，AB＝13，
∴BF＝AE＝5，
在Rt△ABF中，AF＝＝12，
∴小正方形的边长EF＝12﹣5＝7，
∴小正方形EFGH的面积为7×7＝49．
故答案为：49．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题（共60分）
21．（20分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；
（4）先根据二次根式的除法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；
解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝9+1
＝10；
（3）原式＝
＝
＝；
（4）原式＝
＝
＝
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握把二次根式化简成最简二次根式．
22．把下列各数分别填在相应的括号内．
﹣，0，0.16，，，﹣，，，﹣，﹣3.14．
有理数：{ ﹣，0，0.16，，，﹣3.14， …}；
无理数：{ ，﹣，，﹣， …}；
负实数：{ ﹣，﹣，﹣，﹣3.14 …}；
正分数：{ 0.16，， …}．
【分析】根据有理数和无理数，负实数和正分数的概念即可得到答案．
解：有理数：{﹣，0，0.16，，，﹣3.14，…}；
无理数：{ ，﹣，，﹣，…}；
负实数：{﹣，﹣，﹣，﹣3.14…}；
正分数：{ 0.16，，…}，
故答案为：﹣，0，0.16，，，﹣3.14，；
，﹣，，﹣；
﹣，﹣，﹣，﹣3.14；
0.16，．
【点评】本题考查了实数的分类，理解有理数、无理数、负实数和正分数的有关概念是解决问题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案；
（2）直接利用（1）中所画图形得出各点坐标即可；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】（1）如图1，△A′B′C′即为所求；
（2）由图可知，
B′（﹣1，﹣4），C′（﹣3，﹣1）；
（3）7×4﹣×2×3﹣×4×5﹣×1×7＝11.5，
∴△ABC的面积为11.5．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
24．海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v＝计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d为海水的深度（m），g表示重力加速度9.8m/s2．若在海洋深度980m处发生海啸，求其行进速度．
【分析】直接根据已知数据代入，化简得出答案．
解：由题意可得：g＝9.8m/s2，d＝980m，
则v＝＝＝98（m/s），
答：海啸的行进速度为98m/s．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
25．如图所示，在长方形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE＝BE＝5，请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标．
【分析】根据矩形的性质即可直接写出矩形的顶点坐标，作EG⊥CD交AB于点F，利用三线合一定理以及勾股定理求得AF和EF的长，则E的坐标即可求得．
解：以D为坐标原点，OC和AD所在直线为x轴和y轴建立直角坐标系，
A的坐标是（0，4），B的坐标是（6，4），C的坐标是（6，0），D的坐标是（0，0）；
作EG⊥CD交AB于点F．
∵AE＝BE，
∴AF＝AB＝×6＝3，
在直角△AEF中，EF＝＝＝4，
则EG＝4+4＝8，
则E的坐标是（3，8）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及矩形的性质，把求坐标的问题转化为求线段长是问题的关键．
26．如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．
（1）求OB的长度；
（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理得出方程求解即可；
（2）由勾股定理求出OD的长即可得出结论．
解：（1）由题意知，AB＝（x+10）米，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即x2+202＝（x+10）2，
解得x＝15，
∴OB的长度为15米；
（2）云梯的底部B也外移了5米，理由如下：
由题意知，OC＝AO﹣AC＝20﹣5＝15（米），CD＝AB＝25米，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
OC2+OD2＝CD2，
即152+OD2＝252，
解得OD＝20米（负值舍去），
∴BD＝20﹣15＝5（米），
∴云梯的底部B也外移了5米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
27．如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．
（1）证明BE＝BF；
（2）求△BEF的面积．
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠ABE＝∠GBF，通过ASA即可证明△ABE≌△GBF，可得结论；
（2）设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD，
∵将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，
∴∠D＝∠EBG，∠C＝∠G，CD＝BG，
∴∠A＝∠G，AB＝BG，
∴∠ABE+∠EBF＝∠GBF+∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠GBF，
在△ABE和△GBF中，
，
∴△ABE≌△GBF（ASA），
∴BE＝BF；
（2）解：设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴BE＝5，
∵BE＝BF，
∴△BEF的面积为．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．