人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第1课时学案

第十三章 三角形

13．3  等腰三角形

13．3．2  等边三角形

第1课时 等边三角形的性质与判定

学习目标：1．探索等边三角形的性质和判定．

          2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．  

重点：等边三角形的性质和判定．

难点：运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．

自主学习

教学备注：学生在课前完成自主学习部分

一、知识链接

1．三条边都_________的三角形叫做等边三角形．

2．等腰三角形：

二、新知预习

类比学习一：等边三角形的性质

要点归纳：等边三角形的三个内角都__________，并且每一个角都等于________．

类比学习二：等边三角形的判定

要点归纳：_______个角都相等的三角形是等边三角形．

三、自学自测

1．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　）

A．30°           B．45°         C．60°           D．90°

2．已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3 cm，则△ABC的周长为______cm．

3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=______度．

四、我的疑惑

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课堂探究

一、要点探究

探究点1：等边三角形的性质

问题1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？

结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．

已知：AB=AC=BC ，    

求证：∠A=∠B=∠C= 60°．

问题2：等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？

结论：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”．

要点归纳：

典例精析

例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．

方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质．

变式训练：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．

例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？

方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等．

探究点2：等边三角形的判定

类比探究：

要点归纳：等边三角形的判定方法：

辨一辨：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形．

典例精析

例3：如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形．

想一想：本题还有其他证法吗？

变式1：若点D、E 分别在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？

变式2：若点D、E 分别在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？

变式3：上题中，若将条件DE∥BC改为BD=CE， △ADE还是等边三角形吗?试说明理由．

例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．

方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°．

针对训练

如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．

求证：△DEF是等边三角形．

二、课堂小结

当堂检测

2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（     ）

A．4个          B．5个       C．6个           D．7个

      第2题图                 第3题图                    第4题图

3．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　）

A．10°         B．15°              C．20°                D．25°

4．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18 cm，EC =2 cm则△ADE的周长是__________cm．

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．

6．如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小．

拓展提升：

7．图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．

（1）如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；

（2）如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．相等

2．两边  边  等角  顶角平分线  底边上的中线  底边上的高  边  等边

二、新知预习

类比学习一  三  三个  60°  一边  3

要点归纳  相等  60°

类比学习二  两  两  三  三

要点归纳  三

三、自学自测

1．C   2．9   3．60

四、我的疑惑

课堂探究

一、要点探究

探究点1：等边三角形的性质

问题1   证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C (等边对等角)．

同理∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°．   

要点归纳

典例精析

例1  解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．

∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°．

∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°．

变式训练  证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，

∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．

∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．

例2  解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC．

又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，

∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°．

探究点2：等边三角形的判定

类比探究：

要点归纳  有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

辨一辨：（1）不是  （2）是  （3）是  （4）不一定是  （5）是  （6）是

典例精析

例3  证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A= ∠B= ∠C．

∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．

∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．

变式1  证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°．

∵DE∥BC，∴∠ABC =∠ADE，∠ACB =∠AED．

∴∠A =∠ADE =∠AED．∴△ADE 是等边三角形．

变式2  证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠B =∠C =60°．

∵DE∥BC，∴∠B =∠D，∠C =∠E．

∴∠EAD =∠BAC =∠D =∠E．∴△ADE 是等边三角形．

变式3  证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=AC．

∵AD=AE，∴AB－BD= AC－CE，即AD= AE．

又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形．

例4  解：△APQ为等边三角形．证明如下：

∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC=60°．

∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．

∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．

针对训练

证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，

∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=FE，∴△DEF是等边三角形．                                          

当堂检测

5．证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°．

∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°－90°－30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．

∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．

6．解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形．∴AO=BO，CO=DO， ∠AOB=∠COD=60°．

∵A、O、D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°．∴△COA ≌△DOB(SAS)．∴∠DBO=∠CAO．

设OB与EA相交于点F，∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°．

拓展提升：

7．解：（1）AN＝BM．理由如下：

∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°．

∴∠ACN＝∠MCB．∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM．

（2）△CEF是等边三角形．证明如下：

∵∠ACE＝∠FCB=60°，∴∠ECF=60°．∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB．

∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF．∴△CEF是等边三角形．