吉林省长春市2022-2023学年高二（下）数学质检试卷

吉林省长春市2022-2023学年高二（下）数学质检试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40分。）

1．已知复数（其中是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

2．幂函数的图象过点，则（　　）

A． B．2 C． D．

3．下列函数定义域为且在定义域内单调递增的是（　　）

A． B． C． D．

4．若集合，，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（　　）

A． B． C． D．

6．将函数 的图象向右平移 单位后，所得图象对应的函数解析式为（　　）  

A． B．

C． D．

7．设l是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）  

A．若 ， ，则

B．若 ， ，则

C．若 ， ，则

D．若 ， ，则

8．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）

A．

B．向量在向量上的投影向量是

C．

D．与向量方向相同的单位向量是

9．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论正确的是（　　）

A． B．平面平面

C．直线平面 D．直线平面

10．已知函数若方程有4个不同的实根，，，，且，则（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

11．化简　     　．

12．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为　     　．

13．一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为　     　．

14．直线：截圆的弦为，则的最小值为　     　，此时的值为　     　．

三、解答题（本大题共4小题，共44分。）

15．某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图．

（1）求图中的值；

（2）估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；

（3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数．

16．在中，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求的值．

17．设为奇函数，为常数．

（1）求的值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

18．如图，在正方体中，棱长为2．

（1）证明：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】由 ，对应点的坐标为(1，1).
故选：B.
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，即可得出 在复平面内对应的点的坐标 .

2．【答案】A

【知识点】幂函数的概念与表示

【解析】【解答】由幂函数的图象过点 ，可得，解得，
则
故
故选： B.
【分析】根据已知条件先求出a，求出函数的解析式，计算f(2)即可得答案.

3．【答案】B

【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用

【解析】【解答】 为指数函数，其定义域为R，不符合题意；
为对数函数，定义域为(0， +∞)且在定义域内单调递增，符合题意；
其定义域为[0， +∞)，不符合题意；
为对数函数，定义域为(0， +∞)且在定义域内单调递减，不符合题意.
故选： B.
【分析】依次分析选项中函数的定义域以及单调性是否符合题意，即可得答案.

4．【答案】A

【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算

【解析】【解答】由|x-2|< 1得 1<x-2<1，即1<x<3，故A={x|1<x<3}
由(x- 1)(x-4)≥0得x≤1或x≥4，故B={x|x≤1或x≥4}，
则CRB={x|1<x<4}，
则，故选项A正确；
A∪B={x|x <3或x≥4}，故选项B错误；
A不是B的子集，选项C错误；
，选项D错误.
故选： A.
【分析】 解不等式求得集合A、B，然后逐项进行判断，可得答案.

5．【答案】B

【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式

【解析】【解答】 设BC=xm(x>0)，则，
则矩形 的面积
当且仅当即x =50时上式取等号.
故当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区BC的长度为50m.
故选： B.
【分析】设BC=xm(x>0)，则，可得矩形的面积S的表达式，再由基本不等式求出面积最小值.

6．【答案】D

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】 化解为

故答案为：D

【分析】先将函数 中x换为x- 后化简即可.

7．【答案】D

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】【解答】A.若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，所以不正确.

B.若 ， ，则 与 可能的位置关系有相交、平行或 ,所以不正确.

C.若 ， ，则可能 ，所以不正确.

D.若 ， ，由线面平行的性质过 的平面与 相交于 ，则 ，又 .
所以 ，所以有 ，所以正确.

故答案为：D

【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.

8．【答案】D

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；空间向量的投影向量

【解析】【解答】，，
由2x1≠1x(-3)，得 不成立，故A错误；
由向量在向量上的投影向量是， 故B错误；
，则 故C错误；
与向量方向相同的单位向量是，故D正确.
故选：D.
【分析】先求出，，的值，利用向量平行的坐标表示判断A；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断B；利用向量数量积运算律求判断C；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断D.

9．【答案】D

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定

【解析】【解答】 由AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，故A不正确；
过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，故AH⊥BC，又PA⊥BC，得BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，故B不正确；

若直线BC//平面PAE，则BC// AE，故BC与AE相交，故C不正确；
由PA⊥平面ABC，CD平面ABC，得CD⊥PA，
设AB=1，则AD=2，
故
即AC2+CD2 =AD2，则CD⊥AC，又PA∩AC=A，故直线CD⊥平面PAC，故D正确.
故选：D.

【分析】由AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，得到PB与PA不垂直，可判断A；过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，可判断B；若直线BC//平面PAE，则BC// AE，得BC与AE相交，可判断C；由CD⊥PA， CD⊥AC，得到直线CD⊥平面PAC，可判断D.

10．【答案】C

【知识点】对数的性质与运算法则

【解析】【解答】 作出函数f(x)的图象如图所示：

方程有4个不同的实根，，，，且 ，可得x3+x4=8，
且|log2(x1 - 1)|=|log2(x2 - 1)|，则log2(x1-1) + log2(x2-1)=0，即(x1-1)(x2-1)=1，
即x1x2 = x1+x2，
故
故选：C.
【分析】 画出f(x)的图象，由对称性可得x3+x4=8，再利用对数的运算性质可得x1x2 = x1+x2，代入 ，可求得答案.

11．【答案】

【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值

【解析】【解答】 .
故答案为：4 .
【分析】 利用二倍角的正弦公式、诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求得答案.

12．【答案】

【知识点】相互独立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】 该难题得到解决的概率为：
故答案为：
【分析】 利用间接法，结合独立事件的概率乘法公式求解，即可求出答案.

13．【答案】

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积

【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，
由圆锥母线长为，侧面积，得 ，解得，
则圆锥的高，
设球半径为R，球心为O，其过圆锥的轴截面如图所示：

由题意可得(h-R)2 +r2=R2，即，则，解得
故.
故答案为：.
【分析】 由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，再根据球的体积公式求出答案.

14．【答案】2；1

【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式

【解析】【解答】 直线：mx-y+1=0恒过(0，1)，圆 的圆心(-2，3)，半径为3，
则定点与圆心的距离为
故|MN|的最小值为
由直线MN与定点和圆心连线的直线垂直，可得.
故答案为： 2；1.
【分析】求出直线系经过的定点和圆的圆心与半径，再利用圆心到定点的距离，可求出|MN|的最小值，由直线MN与定点和圆心连线的直线垂直，可求出m的值.

15．【答案】（1）解：由于组距为10，所以有，

解得．

（2）解：众数为75，

平均数为

（3）解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，

所以75%分位数为

【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数

【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的性质列方程，即可求出 的值；
(2)利用频率分布直方图求出众数，再根据平均数公式计算即可；
(3)50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，根据分位数公式计算可求出75%分位数.

16．【答案】解：（Ⅰ）在中，，

由余弦定理，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

．

，

，

又，

．

【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合余弦定理，即可求解出 的值；
(2)利用同角三角函数的基本关系式，可得sinA，再利用正弦的二倍角公式可求出sinB，再利用正弦定理即可求解出 的值．

17．【答案】（1）解：因为为奇函数，

则．

则，所以即，

当时，，不合题意；

当时，，由可得或，满足题意；

故；

（2）解：由可得，

则对于恒成立，

令，

因为函数在上单调递减，

所以函数在上单调递增，

所以在上单调递增，所以，

所以．

【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质

【解析】【分析】 (1)由奇函数的性质可得f(-x)+f(x)=0，代入运算后可得，代入验证即可求解出 的值；
(2) 不等式恒成立转化为对于恒成立，令，先得出函数的单调性，结合函数的单调性求得g(x)min，即可求解出实数的取值范围．

18．【答案】（1）证明：是正方体，

平面，

平面，，

为正方形，所以，

又，，平面，

平面，

平面，，

（2）解：连接，交于点，连接，

则，，

是二面角的平面角，

设正方体棱长为2，

在中，，，

，

二面角的平面角的余弦值为．

【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）根据正方体的结构特征可得平面，推出，，根据线面垂直的判定定理可证得平面，进而推出 ；
（2）连接，交于点，连接，得是二面角的平面角，由，可求出二面角的平面角的余弦值．