2022-2023学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  经过点和点的直线的斜率是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  抛物线的准线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  现有幅不同的油画，幅不同的国画，幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4.  双曲线的两焦点分别为，，且经过点，则双曲线的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在平行六面体中，(    )

A.
B.
C.
D.

6.  点关于直线：的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将名实习教师分配到所学校进行培训，每名实习教师只能分配到个学校，每个学校至少分配名实习教师，则不同的分配方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  已知点，，在中，，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是(    )

A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的实轴长是 D. 双曲线的虚轴长是

10.  已知圆：，圆：，则(    )

A.
B. 圆与圆的公共弦所在直线方程为
C. 圆与圆相离
D. 圆与圆的公切线有条

11.  设抛物线：的焦点为，准线为，为上一动点，点，则下列结论正确的是(    )

A. 焦点到准线的距离是 B. 当时，的值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为

12.  已知为椭圆的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则(    )

A.  B. 的最小值为
C. 直线的斜率为 D. 为钝角

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法有        种

14.  已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积不小于，则的取值范围为        ．

15.  已知点在直线上，则的最小值为        ．

16.  已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是        ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
求解下列问题：
求过点且平行于直线：的直线的方程；
求过点且垂直于直线：的直线的方程．

18.  本小题分
已知圆，直线：．
写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；
若直线与圆交于不同的两点，，且，求直线的方程．

19.  本小题分
已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
求抛物线的方程；
直线与抛物线交于点，为坐标原点，求面积．

20.  本小题分
已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且．
求双曲线的方程；
是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，是等边的中线．
证明：平面．
若，求二面角的大小．

22.  本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由点和点可得，
直线的斜率．
故选：．
代入直线的斜率公式求解．
本题主要考查了直线的斜率公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的方程，则，焦点在轴上，开口向右，其准线方程为．
故选：．
若抛物线方程标准方程，则准线方程．
本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：分为三类：
从国画中选，有种不同的选法；从油画中选，有种不同的选法；从水彩画中选，有种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有种不同的选法；
故选：．
根据分类加法计数原理求解即可．
本题主要考查分类加法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：双曲线的两焦点分别为，，
可得，双曲线经过点，可得，所以，
所以，
所以双曲线的标准方程为：．
故选：．
利用双曲线的焦点坐标求解，结合距离公式双曲线的定义，求解，求出，即可得到双曲线方程．
本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：为平行四面体，
．
故选：．
根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
本题主要考查向量的加减法法则，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设关于直线：的对称点，由题意可得，解得，，
可得，
故选：．
设的坐标，由题意可得直线为线段的中垂线，可得，的值．
本题考查点关于直线的对称的求法，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：将名教师分组，只有一种分法，即，，，，，共有，
再分配给所学校，可得，
故选：．
将名教师分组，只有一种分法，即，，，，，然后按照分组组合的方式计算即可．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，由得：，
整理得，即，，
故点在以为圆心，为半径的圆上，

所以当点处在圆的上下顶点时面积的最大，最大值为．
故选：．
由求出点的轨迹方程，最后可得点处在圆的上下顶点时面积的最大．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，设双曲线方程为，
将点代入，可得，
又双曲线的渐近线方程为，所以，
联立，解得，
所以双曲线的方程为，故A正确；
对于，因为双曲线为，所以，
所以双曲线的离心率为，故B错误；
对于，因为，所以双曲线的实轴长是，故C正确；
对于，因为，所以双曲线的虚轴长是，故D错误．
故选：．
根据已知条件列方程求出，，，得到双曲线的方程，再对选项逐一判断即可．
本题考查双曲线的几何性质，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由已知，，故，故A正确；
对于，两圆半径，，，故两圆相交，故C错误；
对于，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，故B正确；
对于，两圆相交则两圆的公切线有条，故D正确．
故选：．
对：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；
对：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程；
对：判断，与大小关系判断两圆位置关系；
对：根据两圆的位置关系判断公切线的条数．
本题考查圆与圆的位置关系，两圆的公共弦直线的求解，化归转化思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线：的焦点为，准线为：，焦点到准线的距离为，故A错误；
当时，所以，的值为，所以B错误；

设在准线上的射影为，由，
当，，三点共线时，取得最小值，且为，故C正确；
由，当为的延长线与抛物线的交点时，取得最大值，且为，故D正确．
故选：．
利用抛物线的定义求解距离判断，；由抛物线的定义和三点共线取得最值的性质可判断；由三点共线取得最值的性质可判断．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及三点共线取得最值的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，设椭圆的右焦点为，如图，连接，，

则四边形为平行四边形，，A正确；
对于，，当且仅当时等号成立，B错误；
对于，设，则，，故直线的斜率正确；
对于，设，直线的斜率为，直线的斜率为，则，
又点和点在椭圆上，，，
得，易知，则，得，
，，D错误．
故选：．
根据椭圆的定义，基本不等式和点差法逐一判断即可．
本题考查了直线与椭圆的综合运用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由分步乘法计数原理，从地到地不同的走法有种．
故答案为：．
根据分步乘法计数原理求解即可．
本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
 

14.【答案】或 

【解析】解：令，得，
令，得，
由题意知，由直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于，
则，
解得或，
故实数的取值范围为或．
故答案为：或．
先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题主要考查了直线的截距式方程，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意知，表示原点到直线上的点的距离，
大于等于原点到直线的距离，
原点到直线的距离为，
，
的最小值为．
故答案为：．
据题意可知，表示原点到直线上的点的距离，求出原点到直线的距离为，从而可得出的最小值．
本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，如图，
若在椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，
即，因为，
解得：．
，即，而，
，即
故答案为：
画出图象，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围．
本题主要考查椭圆离心率最值的求法，应用椭圆的有界性以及参数关系求离心率范围是解题的关键，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．
 

17.【答案】由题意，直线：的斜率为，
由直线方程的点斜式有：，
即过点且平行于直线：的直线的方程为：；
由题意，直线：的斜率为，
故与直线垂直的直线斜率，
由直线方程的点斜式有：，
即过点且垂直于直线：的直线的方程为． 

【解析】由平行关系得到直线的斜率为，由直线方程的点斜式，化简即得解；
由垂直关系得到直线的斜率，由直线方程的点斜式，化简即得解．
本题主要考查直线垂直、平行的性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：：整理得：，
故圆的圆心坐标为，半径为，
直线：变形为，故直线过定点，
因为，故在圆内，所以直线与圆相交；
圆心到：的距离为，
由垂径定理得：，即
解得：，
故直线的方程为或． 

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交；
求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出，求出直线方程．
本题主要考查了圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
又点在抛物线上，
根据抛物线的定义，，
所以，
所以，
所以，
代入得，，
所以，
所以抛物线：；
根据题意，坐标为，，
所以直线．
联立和，
所以，
所以，
所以，，
所以． 

【解析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解；根据面积公式的铅锤法求面积即可求解．
本题主要考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，，所以，
由题意可知，，
所以，，解得，，
所以，
故双曲线的方程为．
因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意，
设直线的方程为，，，则，消去，整理得，
因为直线与双曲线相交于，，
所以，且，，
所以，
因为点是线段的中点，
所以，即，解得，
所以，
所以不存在这样的直线． 

【解析】根据已知条件及两点间的距离公式，利用双曲线的定义即可求解．
根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理及中点坐标公式，结合点在直线上及直线与双曲线的位置关系即可求解．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】证明：如图，取的中点，连接，．
因为是棱的中点，所以，且．
因为，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，

所以平面．
解：取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为等边的边长为，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由得
令，则，所以，
又平面的一个法向量为，
因为，
所以二面角的大小为． 

【解析】取的中点，连接，，进而证明四边形是平行四边形，进而证明平面；
取的中点，连接，易知平面，进而以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：由题可得，，又，，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
由题可得直线斜率存在，由知，设直线的方程为，则，消去，整理得：，
设，，则，，
又，，则，由可得，所以．
同理可得，
所以．
所以，为定值． 

【解析】根据已知条件短轴一个端点到右焦点的距离为长半轴，再利用离心率公式即可求解．
根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出交点横坐标的关系，结合向量的关系得出坐标的关系即可求解．
该题考查了直线与椭圆的综合问题，较为注重运算能力，属于中档题．