2022-2023学年河南省洛阳市高二（下）质检数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市高二（下）质检数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  ，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知随机变量，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知直线：，：，若则实数的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或

4.  我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，问塔的顶层灯的盏数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知随机变量的分布列为：

则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，为坐标原点，则直线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某学校有，两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为请问王同学第天去餐厅用餐的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知点为直线上的一点，，分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  平面内有两组平行线，一组有条，另一组有条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设是定义在上的函数的导函数，且若为自然对数的底数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知双曲线的离心率，，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于，的动点，直线，的斜率分别为，，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  将名学生分配到个社区参加志愿服务，每个社区至少名学生，则不同的分配方法有______ 种用数字作答．

14.  投掷一枚骰子，当出现点或点时，就说这次试验成功，记在次试验中成功的次数为，则 ______ ．

15.  已知数列的首项，且满足，若，则的最大值为______ ．

16.  已知正方体的棱长为，，现有如下四个命题：
，都有；
，都存在使得；
，使得；
的最小值为．
其中所有真命题的序号是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在的展开式中，第项、第项、第项的二项式系数成等差数列．
求的值；
求展开式中第项．

18.  本小题分
已知是等比数列，前项和为，且，．
求的通项公式；
若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为．
求的长；
求二面角的余弦值．

20.  本小题分
已知圆：，点是圆上的动点，是抛物线的焦点为的中点，过作交于，设点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过的直线交曲线于点，，若的面积为为坐标原点，求直线的方程．

21.  本小题分
第届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：

对进入体验店的名游客进行统计得知，其中女性游客有人，女性游客中体验汉服的有人，男性游客中没有体验汉服的有人．
请将下列列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；

设广告支出为变量万元，销售额为变量万元，根据统计数据计算相关系数，并据此说明可用线性回归模型拟合与的关系若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合；
建立关于的经验回归方程，并预测广告支出为万元时的销售额精确到．
附：参考数据及公式：
，相关系数在线性回归方程中中．．

22.  本小题分
已知函数为常数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
设函数的两个极值点分别为，，求的范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了导数的概念，同时考查了导数的意义，属于基础题．根据，将已知条件代入即可求出所求．
【解答】

解：，
．
故选C．

2.【答案】 

【解析】解：随机变量，且，
．
故选：．
利用正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设，
，，．
由，得
，
解得，，．
代入验证得，，．
若则实数的值为或．
故选：．
直接由两直线的系数之间的关系列式求解的值．
本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，直线：，：，
，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以为公比的等比数列，
由题可得，解得，
所以塔的顶层的灯数是．
故选：．
可知每一层灯数形成以为公比的等比数列，根据即可求出．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，

，
所以．
故选：．
由均值和方差的公式求出，，再由方差的性质求解即可．
本题考查了方差的计算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：联立，得，
设直线与抛物线交于，两点分别为，，
，，，
，
．
故选：．
联立直线和抛物线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两个交点的横坐标的和，进而可求的坐标，可求直线的斜率．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
函数在上单调递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
令，
，即实数的取值范围是
故选：．
由题意得，题意转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，，结合二次函数的性质，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，假设第天去餐厅为事件，第天去餐厅为事件，第天去餐厅为事件，
．
故选：．
根据题意，假设第天去餐厅为事件，第天去餐厅为事件，第天去餐厅为事件，由全概率公式，计算可得答案．
本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由圆：，可得圆心，半径为，
由圆：，可得圆心，半径为，
设点关于直线的对称点为，如图，
则，解得，即，
连接，
因为点、关于直线对称，
所以，
则
，
当且仅当，，在同一直线上时取等号，
又，
故选：．
求得点关于直线的对称点的坐标，连接，要求的最小值，可以转化为求的最小值，从而可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与等价转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，从每一组种分别选条，即可组成一个平行四边形，
则有种选法，即可以组成个平行四边形．
故选：．
根据题意，由平行四边形的性质，从每一组种分别选条，根据分步计数原理即可得到答案．
本题考查排列组合的性质和应用，注意平行四边形的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：令，，
则，
，即，
在上恒成立，即在上单调递减，
又，即，
，即，
，解得，
故实数的取值范围为．
故选：．
由题意构造函数，，则，结合题意可得在上单调递减，题意转化为，即，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：双曲线的离心率，
可得，即有，可得，
设，，，
可得，，
两式相减可得，
即为，
可得，
若，则的取值范围为
故选：．
运用双曲线的离心率公式和，，的关系可得，设，，，代入双曲线的方程，作差，由直线的斜率公式可得，再由不等式的性质可得所求范围．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的范围，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将名学生分为组，有种分组方法，
将分好的组安排到个社区，有种情况，
则有种安排方法．
故答案为：．
根据题意，分步进行分析：将名学生分为组，将分好的组安排到个社区，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，成功概率为，所以．
故答案为：．
由随机变量服从于二项分布，利用期望公式求解．
本题考查了二项分布的期望公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由可得，，
，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
故由
可知，，
故符合题意的的最大值为．
故答案为：．
将递推式两边同时取倒数，可得数列是等差数列，求和以后，解出符合条件的正整数解即可．
本题考查了可化为等差数列的递推式的处理及等差数列求和公式，属简单题．
 

16.【答案】 

【解析】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为正方体的棱长为，
则、、、、、、
、、，
对于，，
，对；
对于，，
，都存在，使得
则，
由可得，可得，合乎题意，对；
对于，，
若，使得，则，解得，合乎题意，对；
对于，在正方体中，平面，
因为平面，则，
又因为且，故四边形为矩形，且，
易知四边形为正方形，
将侧面与面延展至同一平面，如下图所示：
当点，、共线时，取最小值，

且，

当且仅当点、、共线时，等号成立，故HB的最小值为，错．
故答案为：．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断；利用空间向量的坐标运算可判断；将侧面与面延展至同一平面，分析可知当点、、共线时，取最小值，求出的最小值，可判断．
本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
 

17.【答案】解：由于的二项展开式满足，
第项的二项式系数为，第项的二项式系数，第项的二项式系数，
由于第项、第项、第项的二项式系数成等差数列，
故，整理得或舍去；
故．
二项式展开式的第项为． 

【解析】直接利用展开式的第二项展开式的二项式系数，第三项的二项式系数及第四项的二项式系数程等差数列建立方程，进一步求出的值；
利用的结论，进一步利用二项展开式求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，展开式的二项式系数，组合数的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设的公比为，
则，，即，
解得或，
若，则，与矛盾，不符合题意．
，
，．
．
是和的等差中项，

．
，
是以为首项，以为公差的等差数列，
设数列的前项和为，
则

． 

【解析】本题考查了等比数列的通项公式，数列的求和，属于较难题．
根据等比数列的通项公式列方程解出公比，利用求和公式解出，得出通项公式；
求出，利用分组转化及等差数列求和公式即可求解．
 

19.【答案】解：分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
，
，，，．
设，
则，．
直线与所成角大小为，
，
即，
解得或舍，
，即的长为；
设平面的一个法向量为．
，，
，可取．
设的一个法向量为，，
则，可取，
则，
即二面角的余弦值为． 

【解析】分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知求得，，，的坐标，设，可得，再由直线与所成角大小为，列式求得的值，则的坐标可求，即可求得的长；
分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
本题考查异面直线及其所成角，考查了二面角的平面角的求法，训练了空间向量在求解空间角中的应用，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，且是的中垂线，
所以，
又，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，
所以，，
所以，
所以椭圆的方程为．
易知直线与轴不垂直，所以设直线的方程为，
联立，得，
设，，
所以，，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以或，
所以直线的方程为或． 

【解析】由题意可得，且是的中垂线，则，由椭圆的定义可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，解得，，再由，解得，即可得出答案．
直线与坐标轴不垂直，设，，直线的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，进而可得，则，解得，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据题意，列联表完成如下：

，
根据小概率值的独立性检验，认为体验汉服与性别之间有关联．
由数据可知，
因为，
，
，
因为，
所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合与的关系．
由数据及公式可得：，
，
故关于的经验回归方程为，
当万元时，销售额预计为万元． 

【解析】根据题设条件可得列联表，根据公式计算可认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过；
由题中数据及公式计算相关系数，即可作出判断；
由题中数据及中结果计算出，，即可得出关于的回归方程，再把代入即可求解．
本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：已知为常数，函数定义域为，
当时，，
此时，
可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，
即；
若在定义域内有两个极值点，
则，是方程，
即方程的两个不相等的正根，
满足
解得，
又，
即，
因为，
所以
，
不妨令，，
此时函数，函数定义域为，
可得，
所以单调递减，
则，
即函数的值域为，
故的范围为 

【解析】由题意，将代入函数解析式中，对进行求导，得到和，代入切线方程中即可求解；
将函数有两个不相等的极值点转化成方程的两个不相等的正根，利用韦达定理和根的判别式得到相关信息，此时，利用换元法，构造函数，求导得到单调性和极值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．