2022-2023学年吉林省长春市博硕学校高一（下）期初数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年吉林省长春市博硕学校高一（下）期初数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=R，设集合A={x|x>1}，集合B={x|x>2}，则A∩(∁UB)=( )
A. {x|1≤x≤2}B. {x|12.命题“∀x∈(1,+∞)，e2x≥x+1”的否定是( )
A. ∀x∈(1,+∞)，e2xC. ∃x∉(1,+∞)，e2x≥x+1D. ∃x∈(1,+∞)，e2x3.函数f(x)=ex+x+1零点所在的区间是( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
4.若a=2.1−2，b=ln0.3，c=tan46°，则a，b，c的大小关系为( )
A. a5.函数f(x)=xln|x|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知sin(α+β)=23,sin(α−β)=29，则tanαtanβ=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.2m，内环弧长为0.8m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为( )
A. 1.2m2B. 1.8m2C. 2.4m2D. 3.0m2
8.已知函数f(x)=x2−ax+5,(x≤1)ax,(x>1)满足对任意实数x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，则a的取值范围是( )
A. 00D. 2≤a≤3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12A. a>0B. b>0C. c>0D. a+b+c>0
10.已知角α，β，γ满足α+β+γ=π，则下列结论正确的是( )
A. sin(α+β)=sinγB. cs(α+β)=csγ
C. sinα+β2=csγ2D. csα+β2=sinγ2
11.下列说法错误的是( )
A. 函数y=2sin(12x+π4)的周期是4π
B. 函数y=|sinx|是周期为π的奇函数
C. 函数y=tanx最小正周期为2π
D. 若对∀x∈R，满足f(x+a)=−f(x)，其中a∈R且a≠0，则2a为函数f(x)的周期
12.已知f(x)定义域为R，其函数图象关于直线x=−3对称，且f(x+3)=f(x−3)，若当x∈[0,3]时，f(x)=2x+2x−1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)为偶函数B. f(x)的图象关于x=3对称
C. f(x)在[−6,−3]上单调递减D. f(2023)=3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知在半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为______．
14.已知tanα=−5，则sinα−2csα3sinα+csα= ______．
15.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=|lg2x|,x>0−x2−4x+4,x<0.若函数g(x)=f(x)−m有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2+x−2<0}，B={x|2m+1≤x≤m+3}(m∈R)．
(1)当m=−1时，求A∩B，A∪B；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题10分)
已知f(x)=sin(3π−x)sin(x−π)cs(π+x)cs(π−x)cs(π2+x)sin(x−3π2)．
(1)化简函数f(x)，并求f(5π3)的值；
(2)若f(α−β)=12，f(α)=13，求f(2α−β)的值．
19.(本小题10分)
某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？
20.(本小题10分)
已知实数t<0，函数f(x)=b−3x3x+1+t是定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知a>0且a≠1，若对于∀x1 ，x2∈[1,4]，使得f(x1)+113≥ax2−2恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由全集U=R，集合B={x|x>2}，可得∁UB={x|x≤2}，
又由A={x|x>1}，所以A∩(∁UB)={x|1故选：C．
根据补集的运算，求得∁UB={x|x≤2}，再结合交集的概念及运算，即可求解．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∀x∈(1,+∞)，e2x≥x+1的否定是∃x∈(1,+∞)，e2x故选：D．
特称命题的否定是全称命题，把任意改为存在，把结论否定．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由f(x)=ex+x+1在(−∞,+∞)上单调递增，
且f(−2)=e−2−2+1=1e2−1<0，f(−1)=e−1−1+1=1e>0，
由函数零点判定定理可得，函数f(x)=ex+x+1零点所在的区间是(−2,−1)．
故选：A．
判定函数的单调性，求出f(−2)<0，f(−1)>0，即可得答案．
本题考查函数零点的判定，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵0b=ln0.3c=tan46°>tan45°=1，
∴b故选：D．
利用对数函数，指数函数，正切函数的性质求解．
本题考查三个数大小的求法，注意对数函数，指数函数，正切函数性质的合理运用．
5.【答案】A
【解析】解：f(−x)=−xln|−x|=−xlnx=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，
图象关于原点对称，排除B，D，
当x=12时，f(12)=12ln|12|=12ln12<0，排除C，
故选：A．
先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：因为sin(α+β)=23，sin(α−β)=29，
所以sinαcsβ+csαsinβ=23sinαcsβ−csαsinβ=29，解得sinαcsβ=49csαsinβ=29，
所以tanαtanβ=sinαcsα⋅csβsinβ=4929=2．
故选：A．
利用两角和、差的正弦公式可得sinαcsβ，csαsinβ的值，再由同角三角函数的商数关系，求解即可．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差的正弦公式，同角三角函数的商数关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设扇形所在圆的圆心角为α(α>0)，内环的半径rm，外环的半径为Rm，
则R−r=1.2，
因为扇环外环的弧长为3.2m，内环的弧长为0.8m，
可得αR=3.2αr=0.8，
可得α(R+r)=4，
所以扇环需要进行工艺制作的面积的估计值为：S=12α(R2−r2)=12α(R+r)(R−r)=12×4×1.2=2.4m2．
故选：C．
根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算，即可求解．
本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)满足对任意实数x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0 成立，
所以函数f(x)在R上递减，
所以a2≥1a>0−a+6≥a，
解得2≤a≤3．
故选：D．
易知函数f(x)在R上递减，由a2≥1a>0−a+6≥a求解．
本题考查分段函数的单调性，以及不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12∴−12和2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0，
∴−12+2=−ba−12×2=ca，∴b=−3a2c=−a，
∴b>0，c>0，故A错误，B正确，C正确，
∴a+b+c=a−3a2−a=−32a>0，故D正确，
故选：BCD．
由题意可知−12和2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0，再利用韦达定理求解即可．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为α+β+γ=π，所以sin(α+β)=sin(π−γ)=sinγ，即A正确；
对于B，因为α+β+γ=π，所以cs(α+β)=cs(π−γ)=−csγ，即B错误；
对于C，因为α+β+γ=π，所以α+β+γ2=π2，
所以sinα+β2=sin(π2−γ2)=csγ2，即C正确；
对于D，由选项C可知，α+β+γ2=π2，
所以csα+β2=cs(π2−γ2)=sinγ2，即D正确．
故选：ACD．
利用诱导公式，逐一判断选项即可．
本题主要考查诱导公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：y=2sin(12x+π4)的最小正周期T=2π12=4π，故A正确；
f(−x)=|sin(−x)|=|sinx|=f(x)，故y=|sinx|为偶函数，故B错误；
函数y=tanx最小正周期为π，故C错误；
若对∀x∈R，满足f(x+a)=−f(x)，
则f(x+2a)=−f(x+a)=f(a)，
则2a为函数f(x)的周期，故D正确．
故选：BC．
A选项，使用T=2π|ω|进行求解最小正周期；B选项，利用定义判断出奇偶性；C选项，y=tanx的最小正周期为π；D选项，根据周期性的定义即可判断．
本题考查了三角函数的周期性，考查了学生的判断能力，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为f(x)定义域为R，其函数图象关于直线x=−3对称，所以f(x−3)=f(−x−3)，
因为f(x+3)=f(x−3)，所以f(−x−3)=f(x+3)，
所以f[−(x−3)−3]=f[(x−3)+3]，即f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，所以A正确，
对于B，因为f(x)为偶函数，且图象关于直线x=−3对称，
所以f(x−3)=f[−(x−3)]=f(3−x)，f(−x−3)=f[−(−x−3)]=f(x+3)，f(x−3)=f(−x−3)，
所以f(3−x)=f(3+x)，所以f(x)的图象关于x=3对称，所以B正确，
对于C，因为f(x+3)=f(x−3)，所以f(x+6)=f(x+3−3)=f(x)，
所以f(x)是以6为周期的周期函数，
当x∈[0,3]时，f(x)=2x+2x−1，因为y=2x和y=2x−1在[0,3]上为增函数，
所以f(x)=2x+2x−1在[0,3]上为增函数，
所以f(x)在[−6,−3]上单调递增，所以C错误，
对于D，因为f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(2023)=f(6×337+1)=f(1)=21+2×1−1=3，所以D正确．
故选：ABD．
利用函数图象的对称性以及f(x+3)=f(x−3)，可得f(−x)=f(x)，即可判断A，利用函数f(x)为偶函数，且图象关于直线x=−3对称，分析判断B，由f(x+3)=f(x−3)可得函数的周期为6，再判断f(x)在[0,3]上的单调性，从而可判断在[−6,−3]上单调性，即可判断C，利用函数的周期性判断D，
此题考查函数性质的综合应用，考查了函数的奇偶性、周期性、对称性和单调性的应用，解题的关键是根据已知条件结合对称的定义和周期的定义求出函数的周期，考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】12
【解析】解：此扇形所含的弧长l=αr=4×3=12．
故答案为：12．
利用弧长公式即计算得解．
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】解：因为tanα=−5，可得sinα−2csα3sinα+csα=tanα−23tanα+1=−5−23×(−5)+1=12．
故答案为：12．
根据三角函数的基本关系式，化简得到sinα−2csα3sinα+csα=tanα−23tanα+1，代入即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
15.【答案】−2≤m≤2
【解析】解：不等式x2+mx+1≥0的解集为R，
则△=m2−4≤0，
解得−2≤m≤2，
∴实数m的取值范围是−2≤m≤2．
故答案为：−2≤m≤2．
不等式x2+mx+1≥0的解集为R，△≤0，列出不等式求解即可．
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．
16.【答案】(0,4)
【解析】解：f(x)=|lg2x|,x>0−x2−4x+4,x<0，作出函数f(x)的图象，如图所示：
g(x)=f(x)−m有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)=m有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，不妨设x1∴函数f(x)的图象与y=m有4个交点，
由图象可得m∈(4,8)，x1+x2=−4，
又|lg2x3|=|lg2x4|，则x3x4=1，
∴x1x2x3x4=x1x2=x1(−4−x1)=−(x1+2)2+4，−4∴x1x2x3x4∈(0,4)，
故x1x2x3x4的取值范围是(0,4)，
故答案为：(0,4)．
根据分段函数的性质，作出函数图象，可得m∈(4,8)，x1+x2=−4，则x1x2x3x4=x1x2=x1(−4−x1)=−(x1+2)2+4，−4本题考查分段函数的性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当m=−1时，A={x|x2+x−2<0}={x|−2B={x|−1≤x≤2}，
A∩B={x|−1≤x<1}，A∪B={x|−2(2)∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
∴2m+1≤−2m+3≥1，解得m∈[−2,−32].
【解析】(1)当m=−1时，求得集合A，B，再利用集合的运算求解即可；
(2)x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式求解即可．
本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)依题意，f(x)=sin(π−x)sin(x+π)(−csx)−csx(−sinx)sin(x+π2)=sinx(−sinx)−sinxcsx=sinxcsx=tanx，
所以f(5π3)=tan5π3=tan(2π−π3)=−tanπ3=− 3；
(2)因为f(α−β)=12，f(α)=13，
由(1)知tan(α−β)=12,tanα=13，
所以f(2α−β)=tan(2α−β)=tan[(α−β)+α]=tan(α−β)+tanα1−tan(α−β)tanα=12+131−12⋅13=1．
【解析】(1)利用诱导公式化简函数式，再代入求值作答；
(2)利用(1)的结论，结合和角的正切公式求解作答．
本题主要考查了诱导公式，和角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q+3)万元，每万件销售价为：32Q+3Q×150%+xQ×50%～
∴年销售收入为(32Q+3Q×150%+xQ×50%)⋅Q=32(32Q+3)+12x．
∴年利润W=32(32Q+3)+12x−(32Q+3)−x
=12(32Q+3−x)=−x2+98x+352(x+1)(x≥0)．
(2)令x+1=t(t≥1)，则
W=−(t−1)2+98(t−1)+352t=50−(t2+32t)，
∵t≥1，∴t2+32t≥2 t2⋅32t=8，即W≤42，
当且仅当t2=32t，即t=8时，W有最大值42，此时x=7．
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元
【解析】(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q+3)万元，得到每万件销售价，进而得到年销售输入，即求解年利润的表达式；
(2)令x+1=t(t≥1)，则W=50−(t2+32t)，利用基本不等式求解最值，即可得到结论．
本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵实数t<0，函数f(x)=b−3x3x+1+t是定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，∴b−3−x3−x+1+t=−b−3x3x+1+t，∴b⋅3x−13+t⋅3x=3x−b3x+1+t，
解得：b=−1t=−3或b=1t=3(舍去)，
则f(x)=−1−3x3x+1−3=−1+3x3x+1−3=−13⋅3x+13x−1；
(2)令g(x1)=f(x1)+113,x1∈[1,4]，g(x1)=−13⋅3x1+13x1−1+113=−13(1+23x1−1)+113，
∵g(x1)=−13(1+23x1−1)+113是[1,4]上的增函数，∴g(x1)min=g(1)=3，
令h(x2)=ax2−2,x2∈[1,4]，∀x1，x2∈[1,4]，使得f(x1)+113≥ax2−2恒成立，
等价于g(x1)min≥h(x2)max成立，
即3≥h(x2)max成立，
当0当a>1时，h(x2)=ax2−2在[1,4]上单调递增，h(x2)max=h(4)=a2，故3≥a2，解得1综上所述，实数a的取值范围是[13,1)∪(1, 3]．
【解析】(1)函数f(x)=b−3x3x+1+t是定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数，根据f(−x)=−f(x)，即可求解；
(2)对于∀x1 ，x2∈[1,4]，使得f(x1)+113≥ax2−2恒成立，等价于g(x1)min≥h(x2)max成立，对a分情况根据单调性即可求解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．

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