2022-2023学年吉林省长春市绿园区重点学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市绿园区重点学校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  两个变量与的回归模型中，分别选择了个不同的模型，它们的相关系数如表，其中拟合效果最好的模型是(    )

A. 模型 B. 模型 C. 模型 D. 模型

3.  设是一个离散型随机变量，其分布列为如表，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  曲线在处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  四种不同的颜色涂在如图所示的个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有种．(    )

A.
B.
C.
D.

8.  设是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  以下四个命题中，说法正确的是(    )
附：

A. 在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好
B. 在判断一对分类变量是否具有关联性时，计算，那么我们有的把握认为这两个分类变量是有关的
C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D. 成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近

10.  已知函数，下列结论中正确的是(    )

A. 是奇函数 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 的最大值为

11.  设随机变量服从正态分布，且落在区间内的概率和落在区间内的概率相等．若，则下列结论正确的有(    )

A.  B.
C.  D.

12.  某医院派出甲、乙、丙、丁名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是(    )

A. 所有不同分派方案共种
B. 若每家企业至少分派名医生，则所有不同分派方案共种
C. 若每家企业至少派名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共种
D. 若企业最多派名医生，则所有不同分派方案共种

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若随机变量，若，则 ______ ．

14.  函数的单调递减区间为___________．

15.  的展开式中含项的系数为______ ．

16.  若是函数的极大值点，则的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
有名男生，名女生，在下列不同条件下，求不同的站法总数．
全体站成一排，女生必须站在一起．
全体站成一排，男生互不相邻．

18.  本小题分
已知函数在处有极值．
求，的值；
求的单调区间．

19.  本小题分
用数字作答已知．
求；
求；
求．

20.  本小题分
某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量单位：毫克，质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品统计数据如表列联表：

依据的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？
公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在单位：百件件产品中，得到不合格品数量单位：件的情况汇总如表所示：

求关于的经验回归方程，并预测一小时生产件时的不合格品数精确到．
附参考数据：其中
临界值表：

，，，．

21.  本小题分
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件作品作为样本称出它们的重量单位：克，重量的分组区间为，，，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
Ⅰ根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量；
Ⅱ在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列和数学期望；
Ⅲ从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．

22.  本小题分
已知，是自然对数的底数，函数．
若，求函数的极值；
是否存在实数，，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由导数公式求解即可．
本题主要考查函数的求导公式的应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：在线性回归分析中，相关系数为，
越接近于，其相关程度越大；
越小，相关程度也越小；
由模型的相关系数最大，所以其模拟效果最好．
故选：．
根据线性回归分析中相关系数越接近，其拟合效果越好，判断即可．
本题主要考查了线性回归分析中相关系数与其模拟效果的判断问题，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的分布列的问题，属于基础题．
利用离散型随机变量分布列的性质求解．

【解答】

解：根据题意可得，解得，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：
则，
而切点的坐标为，
则曲线在的处的切线方程为即为．
故选：．
根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，即，故，故．
故选：．
根据排列组合公式得到，解得答案．
本题主要考查组合、排列数公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，
设事件表示“该地区下雨”，事件表示“该地区刮风”，
则，，，
在刮风天里，下雨的概率为：
．
故选：．
设事件表示“该地区下雨”，事件表示“该地区刮风”，则，，，由此利用条件概率计算公式能求出在刮风天里，下雨的概率．
本题考查在刮风天里，下雨的概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：第一类：若区域与区域相同，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，
则不同的涂色方案有种；
第二类：若区域与区域不相同，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，
再分类，若区域与区域相同，涂区域有种方法；若区域与区域不相同，涂区域，有种方法；
则不同的涂色方案有种；
根据分类计数原理，不同的涂色方案有种．
故选：．
由第一类区域与区域相同，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，第二类区域与区域不相同，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，涂区域有种方法，再分类，若区域与区域相同，涂区域有种方法；若区域与区域不相同，涂区域，有种方法，分别利用分步计数原理求解．
本题考查分类计数原理的运用，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，，
得，即，
令，则，
则当时，得，即在上是增函数，
，，
即不等式等价为，
在是增函数，
由，得，
即，而，故，
不等式 的解集是．
故选：．
根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于：当越接近于，拟合效果越好，若，则拟合效果更好，故A正确；
对于，，所以有的把握认为这两个分类变量是有关的，故B正确；
对于，残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高，C正确；
对于，成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近，故D错误；
故选：．
根据相关指数的定义可判断；根据，结合临界值表可判断两个变量的相关性，即可判断；根据残差图的特点可判断；根据相关系数的范围是可判断．
本题考查了相关指数、相关系数、残差图以及独立性检验的知识，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，是奇函数，选项正确；
，
，单调递增，选项正确；
 单调递减，选项错误；
，选项错误．
故选：．
根据奇函数定义判断选项，根据函数的导函数正负判断单调性可以判断，选项，再根据最值判断选项．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：正态分布关于对称，又落在区间内的概率和落在区间内的概率相等，
，故A正确；
正态分布关于对称，，则，故C正确；
，不确定，故B，D错误．
故选：．
由正态分布曲线的对称性结合已知逐一核对四个选项得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，甲、乙、丙、丁名医生到，，三个企业，每人有种安排方法，则有种分派方案，A错误；
对于，若每个企业至少分派名医生，先将人分为组，再安排到三个企业，有种分派方案，B正确；
对于，若每个企业至少派名医生，且医生甲必须到企业，先将人分为组，在将甲所在的组安排到校，剩下两组安排到其余两个企业，
有种分派方案，C正确；
对于，若企业派名医生，有种安排方法，若企业没有派医生，有种安排方法，则有种安排方法，D正确．
故选：．
根据题意，由分步或分类计数原理分析选项，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：随机变量，，
，解得，，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数的导数为，
令，得
结合函数的定义域，得当时，函数为单调减函数．
因此，函数的单调递减区间是
故答案为：
求出函数的导数为，再解得结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．
本题给出含有对数的函数，求函数的减区间，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：的展开式通项，
令，得；令，得，
故的展开式中含项的系数为．
故答案为：．
分项求解，当第一个因式取时，第二个因式取含的项；第一个因式取时，第二个因式取含的项，进而得解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
令，解得或，
当，即，
则当或时，当时，
此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
符合是函数的极大值点，
反之，当，即，
则当或时，当时，
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，
是函数的极小值点，不符合题意；
当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点．
综上得：，即的取值范围是．
故答案为：．
求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两们的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法，
再将女生全排列，有种方法，共有种；
先排女生，有种方法，
再在女生中间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，
故共有种． 

【解析】利用捆绑法计算可得；
利用插空法计算可得．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

18.【答案】分
解：，
又在处有极值，
，
即，解得，．
由可知，，
令，得或；
令，得；
函数的单调递增区间是，；
单调递减区间是． 

【解析】依题意，由，可求得，的值；
由，可求得的单调区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数学运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
令，则；
令，则，故；
等式两边同时求导后，左边，
右边．
令． 

【解析】利用赋值法，即可求解；
结合的结论，以及赋值法，即可求解；
根据已知条件，对原式两边求导，再结合赋值法，即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意可知，，
因为，
所以依据的独立性检验，不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；
由已知可得：，，
所以，
所以，
所以，
当时，，
即估计一小时生产件时的不合格品数约为件． 

【解析】根据列联表求出的值，再与临界值比较，即可作出判断；
利用最小二乘法公式求出，的值，进而得到经验回归方程，令求出的值即可．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了经验回归方程的求解，属于中档题．
 

21.【答案】解：设重量超过克的产品为事件，根据频率分布直方图求得，所以重量超过克的产品数量为件；
件产品中，件产品重量超过克，那么还有件产品质量不超过克，那么的可能值是，，；
；
；
；
；
所以的分布列为：

数学期望为；
从该流水线上任取件产品，则根据频率分布直方图知道，一件产品重量超过克的概率为；
恰有件产品的重量超过克的事件相当于所取产品是两件重量超过克，件重量不超过克，故而概率为
．
所以恰有件产品的重量超过克的概率是． 

【解析】根据频率分布直方图求出重量超过克的概率就可以进一步求出重量超过克的产品数量；
件产品中，不超过克的有件，超过的件，利用超几何分布列进行求解；
从流水线上取产品，每一件取出的产品重量超过克的概率都可以看作是，不超过克的概率都是．
恰有件产品的重量超过克的概率．
本题结合频率分布直方图，考查了超几何分布列和二项分布列知识点，比较容易出错，中档题目．
 

22.【答案】解：由，可得，
易知的定义域为，
则．

的极大值为；的极小值为．
因为，由得，
即的定义域为．
当，时，由可得，，不等式两边同时除以可得，，即，
可得，
所以，
设，则，
即，
易得，所以为单调递增函数，
由，可得，所以，
设，则，
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
即时，，
由题意可得，即，
存在实数，且的取值范围为 

【解析】将代入可得，对函数求导利用导函数判断其单调性即可得出其极大值为，的极小值为；
易知其定义域为，结合将化简变形可得，构造函数易得其为单调递增函数，即，求得函数在定义域内的最小值即可得．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数取值范围，常用的方法是通过构造函数将问题转化成求解函数最大值或最小值问题，即可求得参数取值范围．