2020-2021学年吉林省长春市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷

这是一份2020-2021学年吉林省长春市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设z=i(1−i)，则z=( )
A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i

2. 已知i是虚数单位，在复平面内，复数−2+i和1−3i对应的点之间的距离是( )
A.5B.10C.5D.25

3. 已知复数z满足z=61+i，则|z|=( )
A.2B.22C.3D.32

4. 任何一个复数z=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示为z=rcsθ+isinθ（其中r≥0,θ∈R)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθn∈Z，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n为偶数”是“复数csπ2+isinπ2nn∈Z为实数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 下列求导运算正确的是( )
A.(exlnx)′=ex(1x+lnx)B.(csπ3)′=−sinπ3
C.(x2sinx)′=2xcsxD.(3x)′=3x

6. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )

A.2048B.1022C.2046D.4094

7. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=ft，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是( )

A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度不相同；
B.在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C.在t2,t3这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D.在t1,t2，t,t3两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．

8. 已知函数y=fx的导函数y=f′x的图象如图所示，则下列结论正确的是( )

A.函数y=fx在−∞,−1上是增函数
B.x=3是函数y=fx的极小值点
C.f′3D.f−1
9. A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1+z2|=|z1−z2|，则△AOB一定是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

10. 已知函数f(x) = 2ef′(e)lnx−xe，则f(x)的极大值点为( )
A.1eB.1C.eD.2e

11. 已知函数fx=ax+csx在0,π上不是单调函数，则a的取值范是( )
A.−∞,0B.0,1C.0,1D.[1,+∞）

12. 若直线l与曲线y=2x和x2+y2=12都相切，则l的方程为( )
A.y=2x+1B.y=2x+102C.y=x+12D.y=x+1
二、填空题

复数z=2i+i607的虚部是________.

把三进制数转化为十进制数10221(3)=________.

函数fx=xx2+1的单调递增区间为________.

设函数fx=exx−1，函数gx=mx，若对于任意的x1∈−2,2，总存在x2∈1,3，使得fx1>gx2，则实数m的取值范围是________.
三、解答题

已知i是虚数单位，复数z=a2−4+a+2i，a∈R．
(1)若z为纯虚数，求实数a的值；

(2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上，求复数z.

已知函数fx=1−ex的图像与x轴交于点P，
(1)求曲线在点P处的切线方程；

(2)求过点0,1的曲线的切线方程．

已知函数fx=x3+bx2+ax+d的图像经过点0,3，且在点M−1,f−1处的切线方程为6x−y+7=0.
(1)求函数y=fx的解析式：

(2)求函数gx=fx+2x在0,2上的最大值．

已知函数f(x)=13x3−m2x(m>0).
(1)当f(x)在x=1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；

(2)当f(x)的极大值不小于23时，求m的取值范围．

已知函数fx=ax3−3x2+1.
(1)若fx在1,2上是增函数，求a的取值范围；

(2)若fx存在唯一零点x0，且x0>0，求a的取值范围．

已知函数fx=alnx−x+1（其中a>0）.
(1)求函数fx的极大值；

(2)对任意x>0，fx≤12a2−1成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省长春市某校高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
共轭复数
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵ z=i(1−i)=1+i，
∴ z =1−i．
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
两点间的距离公式
【解析】
由题意不难得到两个复数在复平面内对应点的坐标，再结合直角坐标中两点距离的公式，可得它们的距离．
【解答】
解：复数−2+i对应复平面内的点A(−2, 1)，复数1−3i对应复平面内的点B(1, −3)，
∴ |AB|=(−2−1)2+(1+3)2=5，
即复数−2+i和1−3i对应的点之间的距离等于5.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为z=61+i=61−i1+i1−i=3−3i，
所以|z|=32．
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
复数的运算
复数的基本概念
【解析】
根据题意得到sinnπ2=0，故n=2k（k∈Z），即可判断．
【解答】
解：由(csπ2+isinπ2)n=csnπ2+isinnπ2为实数，
得sinnπ2=0，
故nπ2=kπ(k∈Z)，
即n=2k(k∈Z)，
故“n为偶数”是“复数csπ2+isinπ2nn∈Z为实数”的充要条件．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算性质对各个选项逐一判断即可．
【解答】
解：A，(exlnx)′=ex(1x+lnx)，故选项A正确；
B，(csπ3)′=(12)′=0，故选项B错误；
C，(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2csx，故选项C错误；
D，(3x)′=3xln3，故选项D错误．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
按照程序框图逐次写出循环结果，直到n=211>1024结束循环即可得S值．
【解答】
解：n=2，S=0，
运行第1次，S=0+2，n=22<1024，
运行第2次， S=2+22，n=23<1024，
⋯，
运行第9次， S=2+22+23+⋯+29，n=210=1024，
运行第10次， S=2+22+23+⋯+210=2046，n=211>1024，结束循环，
故输出的S值2046．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项．
【解答】
解：A，由图可知，在t1时刻，两图象相交，此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A错误；
B，甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的f′t2不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B错误；
C，根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是ft3−ft2t3−t2，故C正确；
D．在[t1,t2]时间段，甲的平均变化率是ft2−ft1t2−t1，在[t2,t3]时间段，甲的平均变化率是ft3−ft2t3−t2，显然不相同，故D错误．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x∈−∞,−1时，f′x<0 ，则函数y=fx在−∞,−1上是减函数，故A错误；
函数y=fx在−1,3上单调递增，在3,5上单调递减，则x=3是函数y=fx的极大值点，故B错误；
由图可知，f′3=f′5=0，故C错误；
函数y=fx在−1,3上单调递增，则f−1故选D．
9.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据复数的向量表示，以及复数加减法的几何意义，可得结果
【解答】
解：根据复数加（减）法的几何意义及|z1+z2|=|z1−z2|，
知以OA→⋅OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，
则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
求出f′(e)的值，求出函数f(x)的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可．
【解答】
解：f′(x) = 2ef′(e)x−1e，
故f′(e)=1e，
故f(x)=2lnx−xe，
令f′(x)=2x−1e>0，解得：0令f′(x)<0，解得：x>2e，
故f(x)在(0, 2e)递增，在(2e, +∞)递减，
∴ x=2e时，f(x)取得极大值2ln2，
则f(x)的极大值点为2e．
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数fx的导函数，根据函数fx=ax+csx在0,π上不是单调函数，故f′x=a−sinx在区间0,π上有解，即函数f′x=0有解，从而得到答案．
【解答】
解：∵fx=ax+csx，
∴f′x=a−sinx，
∵函数fx=ax+csx在0,π上不是单调函数，
∴ 函数f′x=a−sinx在0,π有变号零点，
令f′x=a−sinx=0，
即y=a与y=sinx在[0,π]有交点，且不在y=sinx的最值点，
所以0故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
利用导数研究曲线上某点切线方程
圆的切线方程
【解析】
直接表示出直线l的方程，即可得出答案.
【解答】
解：设直线l与曲线y=2x切于点Ax0,2x0x0≥0，
由y′=1x得直线l的斜率k=1x0，
故有l:y−2x0=1x0x−x0，
即x−x0y+x0=0，
又因为直线与圆x2+y2=12相切，
故有 22=x01+x0，
解得： x0=1，
故直线l的斜率k=1，切点A1,2，
所以直线的方程为y=x+1.
故选D．
二、填空题
【答案】
1
【考点】
复数的基本概念
复数的运算
【解析】
利用虚数的周期性以及复数的概念求解即可.
【解答】
解：z=2i+i607=2i+i151×4+3=2i+i3=2i−i=i，
∴ z=i的虚部为1.
故答案为：1.
【答案】
106
【考点】
进位制
【解析】
三进制转换为十进制方法：按权相加法，即将三进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示3的多少次方），然后相加之和即是十进制数，据此解答即可．
【解答】
解： 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
=81+18+6+1=106，
所以三进制数10221(3)化为十进制数是106.
故答案为：106.
【答案】
−1,1
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于0，解出不等式的解集，即得其单调区间．
【解答】
解：由于fx=xx2+1，则fx′=1−x2x2+12，
令f′x>0，解得−1令f′(x)<0，解得x<−1或x>1，
∴ 函数fx的单调递增区间为 −1,1.
故答案为：−1,1.
【答案】
−∞,−13
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
由题意可知， fx在−2,2上的最小值大于gx在1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围．
【解答】
解：由题意可知， fx在−2,2上的最小值大于gx在1,3上的最小值，
∵ f′x=xex，
∴ 当x∈−2,0时， f′x≤0，此时函数fx单调递减；
当x∈(0,2]时， f′x>0，此时函数fx单调递增，
∵ f0=e00−1=−1，
即函数fx在−2,2上的最小值为−1，
∵ 函数gx=mx为直线，
∴ 当m=0时， gx=0，显然−1<0，不符合题意；
当m>0时， gx在1,3上单调递增， gx的最小值为g1=m，则m<−1，与m>0矛盾；
当m<0时， gx在1,3上单调递减， gx的最小值为g3=3m，则−1>3m，即m<−13，符合题意，
故实数m的取值范围是−∞,−13.
故答案为：−∞,−13.
三、解答题
【答案】
解：(1)若z为纯虚数，
则a2−4=0，且a+2≠0，
解得实数a的值为2.
(2)z在复平面上对应的点a2−4,a+2，
由条件点a2−4,a+2在直线x+2y+1=0上，
则a2−4+2a+2+1=0，
解得a=−1 ．
则z=−3+i.
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若z为纯虚数，
则a2−4=0，且a+2≠0，
解得实数a的值为2.
(2)z在复平面上对应的点a2−4,a+2，
由条件点a2−4,a+2在直线x+2y+1=0上，
则a2−4+2a+2+1=0，
解得a=−1 ．
则z=−3+i.
【答案】
解：1由题意可知f′x=−ex，
令f(x)=1−ex=0，解得P0,0，
则在点P0,0处的切线斜率k=f′0=−1，
则在点P0,0处的切线方程为y−0=−1×x−0，
即切线方程为y=−x.
2设函数fx切点为x0,1−ex0，斜率为k=−ex0，
则所求切线方程为：y−1−ex0=−ex0⋅x−x0①
因为切线过点0,1，
所以有1−1−ex0=−ex0⋅0−x0，
解得：x0=1，
代入①化简可得切线方程为y=−ex+1.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
1求切线方程分为在点处的切线和过点处的切线，在点处的切线，直接求导得到切线的斜率，代入点斜式方程化简即可；
2根据函数方程设出切点，求得在切点处的导数，代入点斜式方程，因为过点0,1，将点代入直线方程，可求出切点坐标，从而求出切线方程．
【解答】
解：1由题意可知f′x=−ex，
令f(x)=1−ex=0，解得P0,0，
则在点P0,0处的切线斜率k=f′0=−1，
则在点P0,0处的切线方程为y−0=−1×x−0，
即切线方程为y=−x.
2设函数fx切点为x0,1−ex0，斜率为k=−ex0，
则所求切线方程为：y−1−ex0=−ex0⋅x−x0①
因为切线过点0,1，
所以有1−1−ex0=−ex0⋅0−x0，
解得：x0=1，
代入①化简可得切线方程为y=−ex+1.
【答案】
解：(1)d=3，f′(x)=3x2+2bx+a，
所以f′(−1)=3−2b+a=6，
又f(−1)=−1+b−a+3=1，
所以a=−1，b=−2，
所以f(x)=x3−2x2−x+3.
(2)g(x)=x3−2x2+x+3，
所以g′(x)=3x2−4x+1=(3x−1)(x−1)，
当x∈[0,13]时，f′(x)≥0，f(x)是增函数，
当x∈[13,1]时，f′(x)≤0，f(x)是减函数，
当x∈[1,2]时，f′(x)≥0，f(x)是增函数，
且g(0)所以最大值为5.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)d=3，f′(x)=3x2+2bx+a，
所以f′(−1)=3−2b+a=6，
又f(−1)=−1+b−a+3=1，
所以a=−1，b=−2，
所以f(x)=x3−2x2−x+3.
(2)g(x)=x3−2x2+x+3，
所以g′(x)=3x2−4x+1=(3x−1)(x−1)，
当x∈[0,13]时，f′(x)≥0，f(x)是增函数，
当x∈[13,1]时，f′(x)≤0，f(x)是减函数，
当x∈[1,2]时，f′(x)≥0，f(x)是增函数，
且g(0)所以最大值为5.
【答案】
解：(1)f′(x)=x2−m2，
由已知得f′(1)=1−m2=0(m>0)，
∴ m=1，
此时经检验得f(x)在x=1处取得极值，
∴ f(x)=13x3−x.
(2)f′(x)=x2−m2，令f′(x)=0，x=±m．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴ f(x)极大值=f(−m)=−m33+m3≥23，
∴ m3≥1，
∴ m≥1，
故m的取值范围是[1, +∞)．
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）因为f(x)在x=1时取极值，先求出f′(x)令其等于0，得到m的值即可；
（2）利用导数求出函数的极值根据极大值不小于23，列出不等式取出m的取值即可．
【解答】
解：(1)f′(x)=x2−m2，
由已知得f′(1)=1−m2=0(m>0)，
∴ m=1，
此时经检验得f(x)在x=1处取得极值，
∴ f(x)=13x3−x.
(2)f′(x)=x2−m2，令f′(x)=0，x=±m．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴ f(x)极大值=f(−m)=−m33+m3≥23，
∴ m3≥1，
∴ m≥1，
故m的取值范围是[1, +∞)．
【答案】
解：(1)f′x=3ax2−6x，
x∈1,2时，f′x≥0恒成立，
∴ 3ax2−6x≥0，
∴a≥2x，
∴a≥2xmax，
∴ a≥2 .
(2)f′(x)=3ax2−6x=3xax−2，
当a=0时，fx=−3x2+1，有2个零点，舍去；
当a>0时，当x∈−∞,0，f′x>0，fx是增函数．
∵ f−1=−a−2<0，f0=1>0，
∴x∈−1,0时有零点，舍去．
当a<0时，当x∈−∞,2a时，f′x<0，fx是减函数，
当x∈2a,0时，f′x>0，fx是增函数，
当x∈(0,+∞)时，f′x<0，fx是减函数，
f0=1，f1<0，fx存在一个零点x0>0，
若 f(x)存在唯一零点，则f2a>0，
∴a<−2，综上a<−2 .
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】


【解答】
解：(1)f′x=3ax2−6x，
x∈1,2时，f′x≥0恒成立，
∴ 3ax2−6x≥0，
∴a≥2x，
∴a≥2xmax，
∴ a≥2 .
(2)f′(x)=3ax2−6x=3xax−2，
当a=0时，fx=−3x2+1，有2个零点，舍去；
当a>0时，当x∈−∞,0，f′x>0，fx是增函数．
∵ f−1=−a−2<0，f0=1>0，
∴x∈−1,0时有零点，舍去．
当a<0时，当x∈−∞,2a时，f′x<0，fx是减函数，
当x∈2a,0时，f′x>0，fx是增函数，
当x∈(0,+∞)时，f′x<0，fx是减函数，
f0=1，f1<0，fx存在一个零点x0>0，
若 f(x)存在唯一零点，则f2a>0，
∴a<−2，综上a<−2 .
【答案】
解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax−1，
因为a>0，令f′(x)=0，得x=a，
在(0,a)上，f′(x)>0，f(x)是增函数，
在(a,+∞)上，f′(x)<0，f(x)是减函数，
所以当x=a时，f(x)有极大值f(a)=alna−a+1.
(2)由(1)知，当x=a时，取得极大值也是最大值，
所以f(x)max=f(a)=alna−a+1(a>0)，
要使得对任意x>0，f(x)≤12(a2−1)成立，
即alna−a+1≤12(a2−1)，
则alna+32−a−12a2≤0，
令u(a)=alna+32−a−12a2(a>0)，
所以u′(a)=lna+1−1−a=lna−a，
令k(a)=u′(a)=lna−a，
k′(a)=1a−1，令k′(a)=1−aa=0，得a=1，
在(0,1)上，k′(a)>0，k(a)=u′(a)是增函数，
在(1,+∞)上，k′(a)<0，k(a)=u′(a)是减函数，
所以当a=1时，k(a)=u′(a)取得极大值也是最大值，
∴ u′(a)max=u′(1)=−1<0，
在(0,+∞)上，u′(a)<0，u(a)是减函数，又u(1)=0，
所以要使得u(a)≤0恒成立，则a≥1，
所以实数a的取值范围为[1,+∞).
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax−1，
因为a>0，令f′(x)=0，得x=a，
在(0,a)上，f′(x)>0，f(x)是增函数，
在(a,+∞)上，f′(x)<0，f(x)是减函数，
所以当x=a时，f(x)有极大值f(a)=alna−a+1.
(2)由(1)知，当x=a时，取得极大值也是最大值，
所以f(x)max=f(a)=alna−a+1(a>0)，
要使得对任意x>0，f(x)≤12(a2−1)成立，
即alna−a+1≤12(a2−1)，
则alna+32−a−12a2≤0，
令u(a)=alna+32−a−12a2(a>0)，
所以u′(a)=lna+1−1−a=lna−a，
令k(a)=u′(a)=lna−a，
k′(a)=1a−1，令k′(a)=1−aa=0，得a=1，
在(0,1)上，k′(a)>0，k(a)=u′(a)是增函数，
在(1,+∞)上，k′(a)<0，k(a)=u′(a)是减函数，
所以当a=1时，k(a)=u′(a)取得极大值也是最大值，
∴ u′(a)max=u′(1)=−1<0，
在(0,+∞)上，u′(a)<0，u(a)是减函数，又u(1)=0，
所以要使得u(a)≤0恒成立，则a≥1，
所以实数a的取值范围为[1,+∞).x
(−∞,−m)
−m
(−m,m)
m
(m,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(−∞,−m)
−m
(−m,m)
m
(m,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗