专题2.50 圆（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.50 圆（全章分层练习）（基础练）

一、单选题

1．如图，是的直径，弦于点E，若，，则线段的长为（    ）．

A．4       B．6       C．8       D．9

2．如图，圆的半径垂直弦于点，连接并延长交圆于点，连接．若，，则长为（　　）

A．       B．       C．       D．

3．如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）

A．3       B．4       C．6       D．8

4．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）

A．       B．       C．       D．

5．如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若，则的度数为（   ）

A．       B．       C．       D．

6．如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交 于点，；（3）连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是　　

A．       B．若，则

C．       D．

7．如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（　　）

A．       B．       C．       D．

8．如图，是的直径，，垂足为，直线与相切于点，交于点，直线交的延长线于点，连接，若，则的度数是（　　）

A．       B．       C．       D．

9．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．       B．       C．       D．

10．如图，是的直径，点在上，点A是的中点，过点A画的切线，交的延长线于点D，连接．若，则的度数为（　　）

A．       B．       C．       D．

二、填空题

11．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为            ．

12．如图，是的直径，点C、点B在上，过点C作的切线交的延长线于点D，若，垂直于，垂直于，则  ．

13．如图，是的直径，且，弦于点E，，连接，则     ．

14．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为        ．

15．如图，的三点都在上，是直径，，则为                  ．

16．如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是        ．

17．如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为       ．

18．如图，点A，B，C，D，E都在上，，，则          ．

三、解答题

19．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求的长．

20．如图，在⊙O中，直径，弦，连接．

（1）尺规作图：过点O作弦的垂线，交于点E，交于点D，且点D在劣弧间．

（2）连接，求的面积．

21．如图，在中，是的直径，是的弦，，．

（1）求的半径；

（2）连接，过圆心向作垂线，垂足为，求的长．

22．（1）如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求

①的度数

②的度数

（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．

23．如图，在中，为直径，弦与交于点，连接，．

（1）如图①，若，求的度数；

（2）如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，求的度数．

24．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．  

（1）如图1，当点在上时，求证：；

（2）如图2，当点在上时，求证：；

（3）如图2，已知的半径为，，求的长．

参考答案

1．B

【分析】根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理，，计算即可得出答案．

解：∵，

∴，

∵，

∴，

在中，由勾股定理，得

．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用进行求解是解决本题的关键．

2．A

【分析】设的半径为，根据垂径定理可得，进而在中，勾股定理求得半径，进而根据，即可求解．

解：设的半径为．

，

，

为直径，

，

是的中点，

，

在中，

∴，

∴，

（负值舍去），

，

．

故选：A．

【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

3．D

【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则．

解：如图所示，连接，

∵点B是的中点，是的直径，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴，

∵点C是的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选D．

【点拨】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

4．B

【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可．

解：方法一、如图，连接，

∵点是的外心，

∴，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

方法二、如图，

∵点是的外心，

∴，

∴，

故选：B．

【点拨】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用．

5．C

【分析】在优弧上取点P，连接，，根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理可得的度数．

解：如图，在优弧上取点P，连接，

由圆周角定理得， ，

由圆内接四边形得性质可知：，

∵，，

∴，

∴，

故选：C．

【点拨】本题考查圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键．

6．B

【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．

解：A、，

，

，故不符合题意；

B、连接，由，得到，

，

，故符合题意；

C、连接，，

，

，

，故不符合题意；

D、由圆周角定理得到，故不符合题意．

故选：B．

【点拨】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．

7．A

【分析】如图，连接，由是的切线，可得，，由，可得．

解：如图，连接，

∵是的切线，

∴，

∴，

∵，

∴，

故选：A．

【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握．

8．A

【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可解答．

解：连接，

∵与相切于，

∴半径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选：．

【点拨】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．

9．C

【分析】根据旋转的性质知，则，，再根据进行计算即可得到答案．

解：在中，，

，

，

根据旋转的性质知，则，，

，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积计算公式是解题的关键．

10．B

【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．

解：是的切线，

，

，

，

是的直径，

，

，

∵点A是的中点，

，

，

故选：B．

【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

11．50

【分析】根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出．

解：连接．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

故答案为：50．

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆的知识，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．

12．

【分析】根据垂直于，得出，在中，利用勾股定理代入数据解答即可．

解：如图，

∵垂直于，

∴，

∵垂直于，

∴，

在中，

，

故答案为：．

【点拨】此题考查了垂径定理、勾股定理，正确得出是解题的关键．

13．2

【分析】根据垂径定理得到，由是的直径，且得到，在中，，即可得到答案．

解：∵是的直径，弦于点E，，

∴，，

∵是的直径，且，

∴，

在中，，

∴．

故答案为：2．

【点拨】此题考查了勾股定理和垂径定理等知识，熟练掌握勾股定理和垂径定理的内容是解决此题的关键．

14．

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．

解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．

如图所示，则圆心是．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．

15．/40度

【分析】根据直径所对的圆周角等于，再根据同弧所对的圆周角相等及直角三角形的性质即可解答．

解：∵是直径，

∴，

∴是直角三角形，

∵，

∴，

∴，

故答案为．

【点拨】本题考查了直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．

16．/26度

【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．

解：是的直径，与相切于点A，

，

，

，，

，

．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．

17．15

【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．

解：如图，连接，，

∴，

∴这个正多边形的边数为，

故答案为：15．

【点拨】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．

18．/90度

【分析】首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数即可解答．

解：连接，

∵， ，

∴，

∴，

故答案为：．

【点拨】本题考查了圆周角定理，准确作出辅助线和熟练掌握圆周角定理和圆心角定理是解题的关键．

19．

【分析】由于的直径，则的半径为，又已知，则可以求出，，连接，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度．

解：如图所示，连接．

的直径，

则的半径为，

即，

又，

∴，

，垂足为，

，

在中，，

．

【点拨】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．

20．（1）见详解；（2）

【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点F，连接，交于点D，交于点E；

（2）根据垂径定理得到，再求出半径，根据三角形面积公式即可求解．

（1）解：如图，OD为所作；

作法：分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点F，连接，交于点D，交于点E；

证明：连接、、，

由作图得，由圆的性质得，

∴点都在线段的垂直平分线上，

∴是线段的垂直平分线，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵直径，

∴，

∴的面积＝．

【点拨】本题考查了作线段的垂线，垂径定理等知识，会作线段的垂直平分线，熟知垂径定理是解题关键．

21．（1）的半径为；（2）的长

【分析】（1）如图，连结，根据垂径定理可得的长，设的半径为，在中，由勾股定理即可求解；

（2）如图所示，连结，根据垂径定理可得，可得是的中位线，可得，在中，根据勾股定理可求出的长，由此即可求解．

（1）解：如图，连结，

∵，，

∴，

设的半径为，，则，

在中，由勾股定理得，，即，

∴，即的半径为．

（2）解：如图所示，连结，

∵，

∴，

又∵，

∴是的中位线，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴的长．

【点拨】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识是解题的关键．

22．（1），；（2）

【分析】（1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用三角形内角和定理计算即可；

（2）连接，根据弦垂直平分半径可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．

解：（1）①是直径，

，

，

，

，

②∵，

∴，

∴；

（2）连接，

弦垂直平分半径，，

．

，即，

解得，

．

【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23．（1）；（2）．

【分析】（1）连接，先求得，最后求得；

（2）连接，由切线的性质得，由，，得，，最后求得的度数．

（1）解：如图①，连接，

∵是的一个外角，，，

∴，

∵为的直径，

∴，

∴；

（2）解：如图②，连接．

∵，

∴．

∵是切线，

∴．

∴．

∵，，

∴，

，

∴，

∴．

【点拨】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．

24．（1）见分析；（2）见分析；（3）AB=10

【分析】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；

（2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证；

（3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解．

解：（1）证明：∵AB=AC，

∴弧AB=弧AC

∴∠ADB=∠ADC；

（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，

∴∠ADB+∠ACB=180°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ADC=∠ABC

∴∠ACB=∠ADC，

∴；

（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：

∵AB=AC，BC=12，

∴BE=EC=6，

∴AE是线段BC的垂直平分线，

∵△ABC是⊙O的内接三角形，

∴圆心O在线段AE上，

∵OB=OA=，

∴在Rt△BEO中，，

∴，

∴在Rt△AEB中，．

【点拨】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键．