2022-2023学年陕西省西安市周至县第六中学高二下学期4月月考数学（文）试题含解析

2022-2023学年陕西省西安市周至县第六中学高二下学期4月月考数学（文）试题

一、单选题

1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（    ）

A．中至少有两个偶数 B．中至少有两个偶数或都是奇数

C．都是奇数 D．都是偶数

【答案】B

【分析】用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.

【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为“中至少有两个偶数或都是奇数”，

故选：B.

【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.

2．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为时，用电量约为（    ）

A．56度 B．62度 C．64度 D．68度

【答案】A

【分析】根据表格中的数据分别计算出和，然后代入中进行计算求得回归方程，最后将代入回归方程中进行计算即可得到答案.

【详解】根据题意，计算，，

代入线性回归方程中，可得，解得，

∴线性回归方程为，

当时，，

由此估计当气温为时，用电量约为56度．

故选：A.

【点睛】本题考查线性回归方程的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数据处理能力，属于常考题.

3．抛掷一枚均匀骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是(　　)

A．第二次得到6点

B．第二次的点数不超过3

C．第二次的点数是奇数

D．两次得到的点数和是12

【答案】D

【分析】根据相互独立的概念依次判断即可.

【详解】事件“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，

对于事件“两次得到的点数和是12”，若第一次得到6点，则第二次也一定是6点，故不相互独立，

故选：D.

4．现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：

附：.

根据表中的数据，下列说法中正确的是（    ）

A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

【答案】D

【分析】计算出，比较所给数据，可得结论．

【详解】由题意，根据列联表中的数据，得，

又，

所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.

故选：D.

5．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，给出下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P()＝0.42.其中正确的有(　　)

A．4个 B．2个

C．3个 D．1个

【答案】A

【详解】根据事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，知在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；在④中P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正确，答案选A.

6．已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】借助于古典概型的概率公式求解，即所求概率为从5个球（2个红球和3个白球）

中取出一个球，则该球是红球的概率．

【详解】方法一：由题意得，从6个球（其中3个红球，3个白球）中取出一个红球后，

则袋子中还有5个球（2个红球和3个白球），

所以再从中取出一个球，则该球是红球的概率为．

故选C．

方法二：设“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到红球”为事件B，

则，

∴．

故选C．

【点睛】条件概率的求法：

(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是通用的求条件概率的方法．

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得．

7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是(　　)

A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75

【答案】D

【详解】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，则.

∴目标是被甲击中的概率是

故选D.

8．证明不等式（）所用的最适合的方法是

A．综合法 B．分析法

C．间接证法 D．合情推理法

【答案】B

【详解】欲证明不等式,只需证,只需证,只需证,故选B.

点睛:本题考查了利用分析法来证明不等式的方法的运用,属于基础题目.由于该命题欲证明不等式（条件入手不能推出结论,则考虑从结论入手利用逆推法来求解结论成立的充分条件即可,直到化简成为恒等式或与条件相符的式子为止.

9．执行如图所示的程序框图输出的结果是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据程序框图循环结构运算，依次代入求解即可．

【详解】根据程序框图和循环结构算法原理，计算过程如下：

第一次循环

第二次循环

第三次循环

第四次循环，退出循环输一次.

所以选A

【点睛】本题考查了程序框图的基本结构和运算，主要是掌握循环结构在何时退出循环结构，属于基础题．

10．一份数学单元试卷中有4个填空题，某同学答对每个题的概率都是，那么4个题中答对2个题的概率是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由独立重复试验的概率公式即可求解.

【详解】因为每个题答对与否互不影响，是相互独立的，

根据独立重复试验概率公式，

试验四次发生两次的概率为.

故选：B.

11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（    ）

A．811 B．809 C．807 D．805

【答案】B

【分析】通过观察发现：第一行有个奇数，第二行有个奇数，，第行有个奇数，按此规律，可得第行从左向右的第个数是第个正奇数，从而可得结果.

【详解】通过观察，可知第一行有个奇数，第二行有个奇数，，第行有个奇数，

根据这个规律前行共有正奇数：个，

则第行从左向右的第个数是第个正奇数，

所以这个数是，

故选：B.

12．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.

由题意知.

所以，解得.

故选A.

二、填空题

13．复数（是虚数单位）的实部为____．

【答案】2

【详解】复数,所以实部为2.

点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为.

三、双空题

14．如图，是以为圆心，为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）__________；（2）__________．

【答案】          /

【分析】利用几何概型面积比类型，结合条件概率的概率公式求解即可.

【详解】因为圆的半径为，所以，

在正方形中，易得，所以，

所以正方形的面积为，圆的面积为，的面积为，

所以由几何概型概率计算公式可得；

，

故由条件概率的计算公式可得．

故答案为：；.

四、填空题

15．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：，…，则第8个数可以是__________．

【答案】

【详解】这几个数是，这样规律比较明显了，即，所以，故填：.

16．现有，两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中每人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，则___________.

【答案】

【分析】事件表示“队得2分”，事件表示 “队得1分”，由次独立重复实验中事件A恰好发生次概率计算公式求出，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出.

【详解】解：“队得2分”为事件，即队三人中有一人答错，其余两人答对，.

“队得1分”为事件，即队三人中有两人答错，剩余一人答对，

.

表示“队得2分，队得1分”，即事件，同时发生，则.

故答案为：

五、解答题

17．知，复数．

(1)实数取什么值时，复数为实数、纯虚数；

(2)实数取值范围是什么时，复数对应的点在第三象限．

【答案】（1）见解析;（2）

【分析】（1）由虚部为0求得使z为实数的m值，再由实部为0且虚部不为0求得使z为纯虚数的m值；

（2）由实部与虚部均小于0求解．

【详解】解：当，即时，

复数为实数；

当，即时，

复数是纯虚数；

由题意，，解得．

当时，复数z对应的点在第三象限．

【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．

18．某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为类同学），现用分层抽样方法（按类、类分两层）从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：

（Ⅰ）完成上表；

（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系（的观测值精确到0.001）?

参考公式：，其中.

临界值表：

【答案】（Ⅰ）列联表见试题解析；（Ⅱ）不能.

【分析】（Ⅰ）根据题中数据，可直接得出列联表；

（Ⅱ）根据题中数据，结合求出，再根据临界值表，即可得出结果.

【详解】（Ⅰ）由题意可得：列联表如下：

（Ⅱ）由列联中的数据可得，

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为经常参加锻炼与身高达标有关系.

【点睛】本题主要考查独立性检验，熟记独立性检验的思想即可，属于常考题型.

19．（1）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立．

（2）求证：

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【分析】（1）利用反证法证明；（2）利用分析法的证明

【详解】证明：（1）假设＜2和＜2都不成立，即2和2同时成立．

∵x>0且y＞0，∴，且．

两式相加得，∴．这与已知条件矛盾，

∴＜2和＜2中至少有一个成立．

（2）原式子等价于2，

两边平方得到

恒成立，得证．

【点睛】本题考查了不等式的证明，考查了反证法以及分析法应用；证明不等式的基本方法：1、比较法 ，2、综合法，3、分析法，4、放缩法.

20．甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：

(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶.

【答案】(1)0.72

(2)0.26

(3)0.02

【分析】（1）根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

（2）分别求得甲中靶、乙不中靶和甲不中靶、乙中靶的概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解；

（3）根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

【详解】（1）解：甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，

所以两人都中靶的概率为.

（2）解：甲中靶、乙不中靶的概率为，

乙中靶、甲不中靶的概率为，

所以恰好有一人中靶的概率为.

（3）解：根据相互独立事件的概率乘法公式，可得两人都脱靶.

21．求证：

（1）；

（2）．

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

【详解】分析：利用基本不等式，即可证得；

（2）根据题意，利用分析法证明，寻找使不等式成立的充分条件即可．

详解：，

；

要证，

只要证，

只要证，

只要证，

只要证，

显然成立，

故．

点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．

22．某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．

（I）求线性回归方程；（参考数据：，）

（II）根据（I）的回归方程估计当气温为时的用电量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，．

【答案】(1).

(2) 30度.

【详解】分析：求出的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；

代入线性回归方程，计算出得值，即为当气温为时的用电量．

详解：

把代入回归方程得，解得．

回归方程为；

当时，，估计当气温为时的用电量为30度． 

点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．