2022-2023学年陕西省西安市第六十六中学高一下学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省西安市第六十六中学高一下学期第二次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市第六十六中学高一下学期第二次月考数学试题 一、单选题1．设，其中为虚数单位，是实数，则（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B.2．下列关于向量的命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；选项C，显然可得出，该选项正确；选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.故选：C.3．奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（    ）A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数【答案】B【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B4．设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据全面积得出正方体的棱长，从而得出内切球的半径，再由球的体积公式即可求解.【详解】设正方体的棱长为，则，解得，所以正方体的内切球的半径为，其体积为.故选：B5．设，，向量，，，且，，则（    ）A． B． C． D．10【答案】B【分析】根据向量垂直和平行求得，进而求得.【详解】由于，所以；由于，所以；所以，所以.故选：B6．已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，，40，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意求出甲组的第30百分位数为第2项，求出，第50百分位数为中位数，从而求出，即可求出,【详解】因为，所以第30百分位数为，第50百分位数为，所以，所以故选：B【点睛】本题考查了样本数据中的数字特征，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7．关于三条不同直线，，以及两个不同平面，，下面命题正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，且，，则【答案】B【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，，则可能相交，所以A选项错误.B选项，若，，则垂直，所以B选项正确.C选项，若，，则可能含于，所以C选项错误.D选项，若，，且，，则与不一定垂直，所以D选项错误.故选：B8．如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（    ）A．平面B．平面C．异面直线与所成角为D．三棱锥体积为【答案】D【解析】根据线面平行的判定定理，证明A正确；根据线面垂直的判定定理，证明B正确；在正方体中，作出异面直线与所成角，结合题中条件，可判断C正确；根据三棱锥的体积公式，可判断D错.【详解】A选项，在正方体中，，又平面，平面，所以平面，即A正确；B选项，连接，，在正方体中，，，平面，平面，因为平面，平面，所以，，又，平面，平面，所以平面，因此；同理，又，平面，平面，所以平面；即B正确；C选项，因为，所以即等于异面直线与所成角，又，即为等边三角形，即异面直线与所成角为，故C正确；D选项，三棱锥的体积为.故D错；故选：D.【点睛】方法点睛：求解空间中空间位置关系的证明以及空间角、空间距离的方法：（1）定义法：根据空间中线面平行、线面垂直、空间角等相关概念，结合线面垂直、平行的判定定理及性质等，即可求解；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，求出对应的直线的方向向量，以及平面的法向量，结合空间位置的向量表示，空间角的向量求法等，即可求解. 二、多选题9．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（    ）A．考生竞赛成绩的众数为75分 B．不及格的考生人数为500C．考生竞赛成绩的平均数为72.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】AC【分析】根据频率分布直方图，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，如图，根据题意得分为75分的频率最大，故频数最大，所以为众数正确；对B，由低于60分的人数为，故B错误；对C，平均数为，故C正确；对D，低于70分的频率为，所以中位数在70分处取得，故D错误.故选：AC10．下列命题中，正确的是（    ）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形【答案】ABD【解析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.11．在正方体的棱长为2，则（     ）A．直线与直线所成的角为B．点到平面的距离为C．直线与平面所成的角为D．点到直线的距离为【答案】BD【分析】根据异面直线所成角的定义，转化为相交直线所成角，即可判断A；根据垂直关系，结合点到平面的距离，即可判断B；根据垂直关系，结合线面角的定义，即可判断C；根据是等边三角形，即可判断D.【详解】A. 连结，因为，所以直线与直线所成的角为或其补角，是等边三角形，所以，所以直线与直线所成的角为，故A错误；B. 连结交于点，因为，且平面，平面，所以，且，所以平面，即点到平面的距离是，故B正确；C.根据B的证明可知，连结，则是直线与平面所成的角,所以，故C错误；D.是等边三角形，所以点到的距离等于，故D正确.故选：BD12．如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为和，且，若平面平面，以下四个结论中正确的是A．平面B．C．若E是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积D．l与平面所成的角为45°【答案】ABD【分析】利用直线与平面的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角判断选项的正误即可．【详解】解：已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，所以是正方形．所以，平面，所以平面；正确；因为，平面，，平面，平面，所以；正确；若是底面圆周上的动点，当时，则的最大面积等于的面积；当时，的最大面积等于两条母线的夹角为的截面三角形的面积，所以不正确；因为，与平面所成的角就是与平面所成角，就是．所以正确；故选：ABD．【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查，属于中档题． 三、填空题13．在中，已知 ，则的大小为           .【答案】【详解】试题分析：因为，所以 因此由余弦定理得：因为 所以【解析】余弦定理 四、双空题14．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取3%的学生进行调查，则样本容量为      ；抽取的高中生中近视的人数为      ．【答案】     300     30【分析】根据图中的信息分别得到中小学生人数以及近视率，再根据题意计算即可.【详解】样本容量为：；抽取的高中生人数为：．故答案为：300；30． 五、填空题15．有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他只需要知道17名同学成绩的      （平均数、中位数和方差等选一）.【答案】中位数【分析】根据平均数、中位数、方差的知识确定正确答案.【详解】平均数是表示名同学成绩的平均数，无法判断是否能进入决赛；方差表示名同学成绩的波动，无法判断是否能进入决赛；中位数是名同学成绩从小到大排列后，第名的成绩，决赛取前名，故需要知道的是中位数.故答案为：中位数16．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高       ．【答案】8【解析】根据题意半球的体积等于圆锥的体积，根据等体积法化简即可.【详解】解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积所以故答案为：8 六、解答题17．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)请你计算这两组数据的方差，现要从中选派一人参加操作技能比赛，从平均数、中位数和方差的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由（言之有理即可）.【答案】(1)甲的平均数为：，甲的中位数为：；乙的平均数为：，乙的中位数为：(2)选甲，理由详见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据平均数、中位数的知识求得正确答案.（2）根据两组数据的数字特征进行说明.【详解】（1）甲的平均数为：，从小到大排序：78,79,81,82,84,88,93,95甲的中位数为：，乙的平均数为：，从小到大排序：75,80,80,83,85,90,92,95乙的中位数为：.（2）甲的方差为：，乙的方差为：，由于甲的平均数和乙的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以应该选甲参加合适.18．如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，为的中点.  (1)证明：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明详见解析(2)证明详见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面；（2）根据面面垂直的判定定理来证得平面平面.【详解】（1）设，连接，由于分别是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）由于四边形是正方形，所以，由于平面平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面， 所以平面平面.  19．已知内角，，所对的边分别为，，，面积为，且，求：(1)求角的大小；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理求得正确答案；（2）根据三角形的面积公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，，则，所以根据余弦定理可得，由正弦定理得，由于，所以，若，则，不合题意，故，所以，由于，所以.（2）依题意，，则，所以.20．点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.（1）证明：；（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据折起后有，，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设点到平面的距离为，根据，得到点到平面的距离为，然后由，利用等体积法求解.【详解】（1）因为是正方形，所以折起后有，.又交于点，所以平面.又平面，所以.（2）设点到平面的距离为，因为AB=3AM，所以PE=3ME，所以点M到平面DEF的距离为.又两两垂直，所以平面.因为，，所以.而，所以，解得，所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查了图形翻折问题，考查了线线垂直的证明，同时考查了等体积法求距离，需要一定的逻辑思维能力，属于中档题.解决此类立体几何的关键有：（1）理解空间线线以及线面之间的垂直关系，并能简单应用；（2）等体积法的应用，等体积法是解决体积问题以及距离问题的重要方法.21．中央电视台播出《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示： 组号分组频数频率第1组 0.100第2组①______ 第3组20②______第4组200.200第5组100.100合计 1001.00  (1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）.(2)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，则第3，4，5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？【答案】(1)①填；②填，进而完成频率分布直方图(2)第组分别抽取人，人，人 【分析】（1）先补全频率分布表，然后完成频率分布直方图.（2）根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】（1）第组的频数为，所以①填，对应频率；②填，由此补全频率分布表如下：组号分组频数频率第1组0.100第2组第3组20第4组200.200第5组100.100合计 1001.00 由此补全频率分布直方图如下：  （2）第3，4，5组的频率之比为，所以第组分别抽取人，人，人.22．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明:AC1⊥A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1－AB－C的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)二面角A1-AB-C的余弦值为. 【分析】(1) 由条件证明，，由线面垂直的判定定理证明平面，由此证明；(2) 建立空间直角坐标系，结合条件直线AA1与平面BCC1B1的距离为，确定相关点的坐标，利用向量方法求二面角A1－AB－C的余弦值.【详解】（1）∵ 点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∴ 平面，又平面，∴  ，∵ ,，平面，∴ 平面，平面，∴ ，∵ ，四边形为平行四边形，∴ 四边形为菱形，故，又，平面，∴ 平面，平面，∴  ；（2）以C为坐标原点，以为x轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，由题设有，， 设平面BCC1B1的法向量，则，因，所以，所以，又，即，所以点到平面的距离为，又依题设，直线AA1与平面BCC1B1的距离为，所以.代入①得（舍去）或，于是，设平面的法向量，则，所以，所以 ，又为平面的法向量，故，所以二面角A1-AB-C的余弦值为.