2022-2023学年陕西省西安市雁塔区第二中学高一下学期第二次阶段性测评数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市雁塔区第二中学高一下学期第二次阶段性测评数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】先化简计算出，然后根据对应的点的坐标判断出所在象限即可.

【详解】因为，所以对应点的坐标为，

所以对应点所在象限为第二象限，

故选：B.

2．设向量，，则（    ）

A．-11 B．-9 C．-7 D．-5

【答案】A

【分析】利用向量坐标运算求坐标，再由数量积的坐标运算求.

【详解】由题设，，

所以.

故选：A

3．设，为两条直线，，为两个平面.若，，，则（    ）

A． B． C． D．以上答案都不对

【答案】B

【分析】由空间中的线面关系判断即可.

【详解】解：，，

又，.

故选：B.

4．若一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则该平面图形的面积为（    ）

A． B．  C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测法确定直观图与平面图形的面积关系，即可求平面图形的面积.

【详解】解：由题意，结合斜二测画法可知，直观图面积是平面图形面积的，

因为直观图是边长为2的正三角形，所以平面图形的面积为，

故选：B.

5．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出圆台的高，再利用圆台体积公式计算作答.

【详解】因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的高为，

所以圆台的体积为.

故选：A

6．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】是中点，连接，易知为直线与所成角的平面角，根据已知条件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.

【详解】若是中点，连接，

直三棱柱中且，则为平行四边形，

所以，故直线与所成角即为，

令，又，则且，则，

又，故，又，

所以.

故选：A

7．如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（    ）

A． B．

C．平面 D．平面平面

【答案】C

【分析】根据圆柱的结构特征，结合线面垂直、面面垂直的判定对各选项逐一分析、推理、证明即可判断作答.

【详解】因四边形是圆柱的轴截面，则线段AB是直径，BC，AD都是母线，

又是底面圆周上异于，的一点，于是得，而平面ABE，平面ABE，则，

因，平面BCE，则平面BCE，平面BCE，因此得，A正确；

同理，，B正确；

点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若平面，因平面BCE，

与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，C不正确；

因平面BCE，而平面ADE，于是得平面平面，D正确.

故选：C

8．如图，正方形的边长为2，为正方形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，分点P在CD上，点P在BC上，点P在AB上，点P在AD上，利用数量积的坐标运算求解.

【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：

则，

当点P在CD上时，设，

则，

所以；

当点P在BC上时，设，

则，

所以；

当点P在AB上时，设，

则，

所以；

当点P在AD上时，设，

则，

所以；

综上：的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9．在中，若，则a的值可以为（    ）

A． B． C．· D．

【答案】AB

【分析】根据余弦定理，直接计算求值.

【详解】根据，得，

即，解得：或.

故选：AB

10．下列四个命题中真命题是

A．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行

B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直

C．垂直于同一直线的两条直线相互平行

D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

【答案】BD

【解析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．

【详解】解：A：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，

那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以A不正确．

B：若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，B正确．

C：垂直于同一直线的两条直线相互平行,可能是异面直线．C不正确．

D：若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，D正确．

故选：BD．

【点睛】考查面面平行、垂直的判定与性质以及空间中两直线的平行的判定，是基础题.

11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ）

A．直线与平面所成的角等于

B．点到面的距离为

C．两条异面直线和所成的角为

D．二面角的平面角的余弦值为

【答案】AB

【分析】根据线面角的定义及求法即可判断；由点到平面的距离的求法即可判断；由异面直线所成角的定义及求法即可判断；由平面角的定义及余弦定理即可判断．

【详解】解：如图，取的中点，连接，易证平面，

所以是直线与平面所成的角为，故正确；

点到平面的距离为的长度为，故正确；

易证，所以异面直线和所成的角为或其补角，

因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故错误；

连接，由，所以，又，

所以为二面角的平面角，

易求得，又，，

由余弦定理可得，故错误．

故选：．

12．如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是（    ）

A． B．三棱锥的外接球的体积为

C．点P到平面DEF的距离为 D．二面角的余弦值为

【答案】AC

【分析】取中点H，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理可判定A；构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，计算可得外接球的半径和体积，即可判断B；因为三线两两垂直，由等积法可判断C；由题意 为二面角的一个平面角，利用 可判断D．

【详解】对于A选项，作出图形，

取EF中点H，连接PH，DH，由原图知和均为等腰三角形，故，，又因为，所以平面PDH，

又平面PDH，所以，A正确；

由PE，PF，PD三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2R，则，则，所以所求外接球的体积为，B错误；

根据题意，可知PE，PF，PD三线两两垂直，且，，在中，，，由等积法可得，得，C正确；

由题意如上图，，，则，，所以∠PHD为二面角的一个平面角，因为，，且，所以平面PEF，则，即，在中，，D不正确．

故选：AC.

三、填空题

13．在中，，，，则           .

【答案】2

【分析】直接由正弦定理，求解边长b即可.

【详解】解：由正弦定得：，所以.

故答案为：2.

14．已知长方体的棱长分别为3，4，5，长方体的各个顶点都在一个球面上，则该球的表面积等于               ．

【答案】

【解析】根据长方体的结构特征，可得长方体的体对角线长等于其外接球的直径，由此求出球的半径，进而可得球的表面积.

【详解】因为长方体的体对角线长等于其外接球的直径，该长方体的棱长分别为3，4，5，

所以外接球的直径为，则，

所以该球的表面积为.

故答案为：

15．已知向量，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为         ．

【答案】

【分析】根据投影的计算公式，结合题意，即可得答案.

【详解】由题意得在上的投影为，

所以在上的投影向量为.

故答案为：

16．已知在中，，，若，则           .

【答案】.

【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量基本定理即可解出．

【详解】因为，所以，即，而，所以，即，所以．

故答案为：．

四、解答题

17．已知复数

（1）若z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值

【答案】（1）1；（2），.

【解析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．

（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．

【详解】解：（1）为纯虚数，

且

（2）在复平面内的对应点为

由题意：，．

即实数的取值范围是．

而，

当时，．

18．已知向量，，，且，

(1)求与；

(2)若，，求向量，夹角的大小.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据平面向量平行、垂直的坐标表示，代入计算即可解出；

（2）求出向量，，再根据平面向量的夹角坐标运算即可解出.

【详解】（1）因为，所以，所以，，

因为，则，所以，；

（2）因为，

，

所以，

设与向量的夹角为，则

，

因为，所以，即与的夹角为.

19．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC,为等边三角形，,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.

(1)求证：VB//平面MOC；

(2)求三棱锥V-ABC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】试题分析：（1）要证明线面平行，就是要证线线平行，题中有中点，由中位线定理易得线线平行，注意得出线面平行结论时，必须把判定定理的条件写全；（2）要求三棱锥的体积，首先要确定高，本题中有面面垂直，由此易得与底面垂直，因此就是高，求出其长，及面积，可得体积．

试题解析：（1）证明：点O,M分别为 AB,VA的中点

又

(2)解：连接VO，则由题知VO平面ABC,VO为三棱锥V-ABC的高.

又

【解析】线面平行的判断，体积．

20．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.

（1）求角A；

（2）若的面积，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求出；

（2）由面积公式可得，再利用基本不等式即可求出.

【详解】（1）由已知结合正弦定理可得，即，

则由余弦定理可得，

，；

（2），则，

由，当且仅当时等号成立，

.

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，且CD＝2AB．

(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为，求二面角P﹣CD﹣B的大小

(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）先由题设条件与线面垂直的判定定理证得CD⊥AD，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，由此可求得二面角P﹣CD﹣B的大小；

（2）先由三角形相似证得CO＝2AO，进而得到，从而证得PA//EO，再由线面垂直的性质证得EO⊥底面ABCD，由此可证平面EBD⊥平面ABCD．

【详解】（1）∵AB⊥AD，CD//AB，∴CD⊥AD，

又PA⊥面ABCD，面ABCD，∴PA⊥CD，

又面PAD，则CD⊥面PAD，

又面PAD，∴CD⊥PD，

∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，

∵直线PB与CD所成的角为，CD∥AB，

∴直线PB与AB所成的角为，即，

故在直角三角形PBA中，PA＝AB，又AB＝AD，

∴在直角三角形PDA中，PA＝AD，

∴∠PDA＝45°，即二面角P﹣CD﹣B为45°.

（2）当点E在线段PC上，且PE：EC＝2：1时，平面EBD垂直平面ABCD．

理由如下：

连结AC、BD交于O点，连EO．

由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，则，

∴PA∥EO，

∵PA⊥底面ABCD，

∴EO⊥底面ABCD，

又EO在平面EBD内，

∴平面EBD⊥平面ABCD．

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