2022-2023学年陕西省西安工业大学附属中学高一下学期第二次月考数学试题

  西安工业大学附中2022-2023学年第二学期

高2025届第二次课堂观测数学试卷

一､单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

【课堂习题】

1. 已知，则（）

A.  B.  C.  D.

【课堂习题】

2. 已知△ABC是等边三角形，边长为2，则满足（）

A. 2 B. －2 C.  D.

【其他试题】

3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【课堂习题】

4. 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（）

A. 至少有1个红球 B. 至少有1个黑球

C. 至多有1个黑球 D. 至多2个红球

【高考真题】

5. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）

A.  B.  C.  D.

【其他试题】

6. 若数据的方差为2，则的方差为（）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【高考真题】

7. 在中，，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【其他试题】

8. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（）

A.  B.  C.  D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

其他试题】

9. 下面关于复数的说法，正确的是（）

A. 的虚部为1 B.

C. 是纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限

【其他试题】

10. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（）

A. 若A锐角，则 B. 若A为锐角，则

C. 若，则 D. 若，则A与B大小不能确定

【课堂习题】

11. 某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆､150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是（）

A. 样本容量为500

B. 采用简单随机抽样比分层随机抽样合适

C. 应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等

D. 应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆､150辆､250辆

【高考真题】

12. 已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为2的等边三角形，则下面选项正确的是（）

A. 圆锥PO的表面积为

B. 圆锥PO的内切球半径为

C. 圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为

D. 若C为PB的中点，则沿圆锥PO的侧面由点A到点C的最短路程是

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

【课堂习题】

13. 已知复数(为虚数单位)为纯虚数，则实数__________.

【其他试题】

14. 已知直线与平面所成角为，若直线，则与所成角的最小值为__________.

【其他试题】

15. 某小区12户居民四月份月用水呈(单位：)分别为：

则所给数据的第75百分位数是__________.

高考真题】

16. 为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为___________.

四､解答题（本大题共6个小题，共70分）

【课堂习题】

17. 某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：)，，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值.

【课堂习题】

18. 已知向量，，.

（1）若与平行，求的值；

（2）求与垂直的单位向量的坐标.

【其他试题】

19. 如图，正方体边长为分别为中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角大小．

【其他试题】

20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，交于点，点为的中点，且，.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.

【其他试题】

21. 坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.

（1）求抽取的总样本的平均数；

（2）试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.

参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，

高考真题】

22. 如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，为上的点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若三棱柱所有棱长都为，求二面角的平面角的正切值.

西安工业大学附中2022-2023学年第二学期

高2025届第二次课堂观测数学试卷

一､单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

【答案】C

2.

【答案】B

3.

【答案】D

4.

【答案】C

5.

【答案】B

6.

【答案】D

7.

【答案】D

8.

【答案】C

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.

【答案】CD

10.

【答案】AC

11.

【答案】AD

12.

【答案】ABC

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.

【答案】3

14.

【答案】

15.

【答案】

16.

【答案】10

四､解答题（本大题共6个小题，共70分）

【课堂习题】

17. 某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：)，，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值.

【答案】（1）0.045；（2）165.5；165.

【解析】

【分析】（1）在频率分布直方图中，根据所有小矩形的面积之和等于1，即可求得的值；

（2）根据在频率分布直方图中平均数的计算公式即可求得平均数，设中位数，则左右两边面积相等，列出方程，解方程即可得解.

【详解】（1）由图可知三组的频率分别为，所以身高在内的频率，

所以；

（2）平均数，.

设中位数由

解得，

所以中位数为165.

【课堂习题】

18. 已知向量，，.

（1）若与平行，求的值；

（2）求与垂直的单位向量的坐标.

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，即可求得实数的值；

（2）设与垂直的单位向量的，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.

【小问1详解】

解：因为，，所以.

因为与平行，所以，解得.

【小问2详解】

解：设与垂直的单位向量的.

则，即，解得或，

所以与垂直的单位向量为或.

【其他试题】

19. 如图，正方体边长为分别为中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析

（2）45°

【解析】

【分析】（1）连接，根据，结合判定定理即可证明；

（2）根据题意，是两异面直线与所成角或其补角，再求解即可.

【小问1详解】

证明：连接，

∵分别为中点，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

【小问2详解】

解：∵，

∴是两异面直线与所成角或其补角，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴两异面直线与所成角的大小为45°．

【其他试题】

20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，交于点，点为的中点，且，.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）证明，后可得线面垂直，从而有线线垂直；

（2）换顶点法，到平面距离等于，由此易得体积．

【详解】（1）证明：底面为正方形，为，的中点，

又，.

，，

，

平面.

平面ABCD.

平面，.

（2）平面，且为的中点，

∴到平面的距离为.

..

.

【其他试题】

21. 坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.

（1）求抽取的总样本的平均数；

（2）试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.

参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，

【答案】（1）

（2）16

【解析】

【分析】（1）根据分层抽样的比例确定男女生人数分别为，结合两个样本平均数即可求得总样本的平均数；

（2）根据（1）中求得数据代入计算即可得出结果.

【小问1详解】

设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则，

解得：.

记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得：

所以，抽取的总样本的平均数为.

【小问2详解】

男生样本的平均数为，样本方差为；

女生样本的平均数为，样本方差为；

由（1）知，总样本的平均数为.

记总样本的样本方差为，

则

所以，估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.

【高考真题】

22. 如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，为上的点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若三棱柱所有棱长都为，求二面角的平面角的正切值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得三棱柱为直三棱柱，则平面，即可得到，再由，即可得到平面，从而得证；

（2）依题意可得为的中点，过点作垂线，垂足为，连接，即可得到是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.

【小问1详解】

在三棱柱中，平面，则三棱柱为直三棱柱，

平面，平面，，

，，平面，平面，

又平面，平面平面；

【小问2详解】

因为三棱柱所有棱长都为，则为等边三角形，平面，平面，所以，

所以为中点，过点作垂线，垂足为，连接，

，，，平面，

平面，又平面，所以，

则是二面角的平面角，

平面，平面，所以，

，，，

故二面角的平面角的正切值为．