2023九年级数学上册第二十三章旋转小专题七旋转中的计算与证明新版新人教版

小专题(七)　旋转中的计算与证明

类型1　基于“半角”的旋转

在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．

【例1】　如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于O.设E，F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE，BF和EF之间的数量关系，并证明．

【思路点拨】　将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE，利用条件可证△EOH≌△EOF，从而得EH＝EF.然后在Rt△AEH中，利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，进而得出结论．

1．已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E.

(1)如图1，当∠BAC＝120°时，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D′E；

(2)如图2，当DE＝D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

(3)如图3，在(2)的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必说明理由)

类型2　基于“等边三角形”的旋转

方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．

【例2】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．

【思路点拨】　将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA，DP，DB，得AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°.

2．如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝150°，求PA的长．

3．如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一角等于60°.角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，构成一个△AMN，求△AMN的周长．

参考答案

【例1】　AE2＋BF2＝EF2.证明：将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE，∴OH＝OF，AH＝BF，∠BOF＝∠AOH，∠HOF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∠AOB＝90°.∵∠EOF＝45°，∴∠AOE＋∠BOF＝∠AOB－∠EOF＝90°－45°＝45°.∴∠AOE＋∠AOH＝∠EOH＝45°.∴∠EOH＝∠EOF.在△EOH和△EOF中，OH＝OF，∠EOH＝∠EOF，OE＝OE，∴△EOH≌△EOF(SAS)．∴EF＝EH.∵在Rt△AEH中，由勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，AH＝BF，∴AE2＋BF2＝EF2.　

1.(1)证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD.∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC－∠DAE＝120°－60°＝60°.∴∠DAE＝∠D′AE.在△ADE和△AD′E中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴△ADE≌△AD′E(SAS)．∴DE＝D′E.

(2)∠DAE＝∠BAC.理由如下：在△ADE和△AD′E中，AD＝AD′，AE＝AE，DE＝D′E，∴△ADE≌△AD′E(SSS)．∴∠DAE＝∠D′AE.∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE.∴∠DAE＝∠BAC.

(3)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°.∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°.∵△D′EC是等腰直角三角形，∴D′E＝CD′.由(2)可得DE＝D′E，∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，∴BD＝CD′.∴DE＝BD.　

【例2】　∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA，DP，DB，得AD＝AP＝2，DB＝PC＝，∠DAP＝60°.∴△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，DB＝，BP＝1，DP＝2，∴DP2＋BP2＝DB2.∴∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.∴∠APB＝∠DPB＋∠DPA＝60°＋60°＝120°.　

2.将△APC绕点C按逆时针旋转60°，使CA移至CB处，PC移到P′C，PA移到P′B.∵∠PCP′＝60°，∴△PCP′是等边三角形．∴∠P′PC＝60°，PP′＝PC＝1.∵∠BPC＝150°，∴∠BPP′＝90°.在Rt△BP′P中，BP＝2，PP′＝PC＝1，由勾股定理得P′B＝＝＝PA.∴PA＝.　

3.因为△ABC为等边三角形，△DBC为等腰三角形，∠BDC＝120°，所以以D为旋转中心，按顺时针方向将△DBM旋转120°如图，且N、C、E三点在同一条直线上．所以DM＝DE，CE＝BM，∠BDM＝∠CDE.因为∠MDN＝60°，所以∠BDM＋∠NDC＝60°.所以∠NDE＝60°.在△DMN和△DEN中，DM＝DE，∠MDN＝∠EDN，DN＝DN，所以△DMN≌△DEN.所以NE＝MN.所以△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋NE＋AN＝AM＋NC＋CE＋AN＝AM＋NC＋MB＋AN.即△AMN的周长＝AB＋AC.因为AB＝AC＝1，故△AMN的周长为2.