2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．定义集合运算：.若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由题意求出和，然后再求

【详解】因为，

所以，

所以当时，，

所以，

所以 ，

故选：D

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，成立，是充分的，但时，，不满足，必要性不满足，因此是充分不必要条件．

故选：A．

3．命题“”的否定为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可求解.

【详解】由于全称命题的否定是存在量词命题，

所以命题“”的否定为“”.

故选：C.

4．若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】A

【分析】根据基本不等式即可直接求出的最小值.

【详解】因为，所以，

当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.

故选：A.

5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2022

【答案】B

【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案.

【详解】因为，所以，

所以的周期为4，

函数是定义在上的奇函数，所以，

所以，

.

故选：B.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断.

【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；

又时，，排除选项C，故选项A正确.

故选：A.

7．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件(x1>x2>0)的函数的个数是（    ）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】条件(x1>x2>0)表明函数应是上凸函数，结合幂函数的图象可作答．

【详解】①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，＝；

②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，；

③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，

故当x1>x2>0时，；

④函数f(x)＝的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，；

⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条凹形曲线，

故当x1>x2>0时，.

故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，，

故选：A.

8．已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B． C．或 D．

【答案】D

【分析】根据函数的解析式可得单调性和奇偶性，再利用性质可得答案.

【详解】当时，则，，

当时，则，，

，所以为奇函数，

因为时为增函数，又为奇函数，

为上单调递增函数，

的图象如下，

由得，

所以，即在都成立，

即，解得.

故选：D.

二、多选题

9．已知函数，下述正确的是（    ）

A．若，则

B．若为奇函数，则

C．函数在区间内至少有两个不同的零点

D．函数图象的一个对称中心为

【答案】ABC

【分析】由，可得到A正确；由为奇函数，列出方程，求得，可得出B正确；由，可判定C正确；由，可判定D错误.

【详解】由题意，函数，

对于A中，由，即，可得，

解得，所以A正确；

对于B中，由，若为奇函数，

又由，则，

即，所以，所以B正确；

对于C中，由，

可得，即，

所以函数在区间内至少有两个不同的零点，所以C正确；

对于D中，由函数，

可得，，所以，

所以不是函数的对称中心，所以D错误.

故选：ABC.

10．已知定义在上的函数满足，且，则（    ）

A．为奇函数 B．的图象关于对称

C．为偶函数 D．是周期为4的函数

【答案】AD

【分析】对于A：利用为的对称中心，利用奇函数的定义判断出为奇函数；

对于B：判断出的图象不关于对称；

对于C：利用奇函数的定义判断出为奇函数，即可判断；

对于D：利用周期函数的定义即可判断出是周期为4的函数.

【详解】因为，所以关于x=1对称.

因为，所以，所以关于对称.

对于A：由点关于x=1的对称点为，为的对称中心，且关于x=1对称，所以为的对称中心，即，所以为奇函数.故A正确；

对于B：因为，所以，所以的图象不关于对称.故B错误；

对于C：因为，令x+2代换x，得到①.

对于，令x+1代换x，得到②.

由①②得：，令-x代换x，得到，

与②结合得：，

所以为奇函数.故C错误；

对于D：对于，令x-1代换x，得到，

又因为，所以，

令2-x代换x，得到，

令x-2代换x，得到，

所以，

令x+2代换x，得到，即是周期为4的函数.故D正确.

故选：AD

11．已知，且，则下列说法正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】ABCD

【分析】根据三角函数的基本关系式，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】A中，当时，可得，即，所以，所以A正确；

B中，当时，由，可得，

因为，可得，所以，所以，所以B正确；

C中，当时，可得，可得，

因为，可得，所以，

可得，所以C正确；

D中，当，可得，即，所以D正确.

故选：ABCD.

12．已知函数，则（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称

【答案】BD

【分析】化简函数的解析式，利用余弦函数的奇偶性与对称性可得结果.

【详解】因为，故函数为偶函数，

因为函数的对称中心坐标为，

所以，函数的图象关于点成中心对称.

故选：BD.

三、填空题

13．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】由不等式的解集为可得参数a的值，则不等式也具体化了，按分式不等式解之即可.

【详解】由不等式的解集为，

可知方程有两根，故，

则不等式即等价于，

不等式的解集为，

则不等式的解集为，

故答案为：.

14．若偶函数对任意都有，且当时，，则______．

【答案】##0.1

【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算可得答案.

【详解】因为，所以，

所以周期为6，且为偶函数，当时，，

，

，所以，

根据函数为偶函数，

所以，

即.

故答案为：.

15．已知函数，，若存在，使得，则a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】把“存在，使得”转化成函数与函数的值域有交集，是本题入手的关键所在.

【详解】函数在上单调递增，值域为

函数在上单调递增，值域为

由存在，使得，可知两个函数的值域有交集，

即，

则有或即或，

解之得

故答案为：

16．已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的解析式______．

【答案】

【分析】根据三角函数图象的变换可得答案.

【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，

再将得到的图象向右平移个单位得．

故答案为：

四、解答题

17．设为实数，集合，.

(1)若，求，；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)或

【分析】（1）利用并集及交集和补集运算法则进行计算；（2）根据交集结果比较端点值的大小求解实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，又

所以，

所以或.

（2）由，则，由，

则或

即或

当时，实数的取值范围是或.

18．设二次函数满足：①当时，总有；②函数的图象与x轴的两个交点为A，B，且；③.

(1)求的解析式；

(2)若存在，只要，就有成立，求满足条件的实数m的最大值.

【答案】(1)

(2)最大值为9

【分析】（1）根据函数的图象关于直线对称，且方程的两根为和1，可设设，由可得解；

（2）取和，可得，从而可得解.

【详解】（1）（1）由题意知，函数的图象关于直线对称，

且方程的两根为和1，设，

又，则，解得.

故.

（2）（2）只要，就有，即，

取；

取，即，

由得，

故时，；

当时，存在，只要，就有

成立，满足题意.

故满足条件的实数m的最大值为9.

19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.

(1)依据推广结论，求函数图象的对称中心；

(2)请利用函数的对称性求的值；

(3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于x轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）设对称中心为，令，根据为奇函数建立关系即可求出；

（2）根据（1）中结论可得即可求出；

（3）根据函数对称性质推论即可.

【详解】（1）设的对称中心为，

设，则为奇函数，

由题可知，且，

所以，即，

则，整理得，

所以，解得，

所以函数的对称中心为；

（2）由（1）知函数的对称中心为，

所以，

则，且，

则

；

（3）推论：函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数

或函数的图象关于成轴对称的充要条件是满足.

20．已知是偶函数，是奇函数.

(1)求，的值；

(2)判断的单调性；（不需要证明）

(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)单调递增

(3)

【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；

（2）根据指数函数的单调性即可判断的单调性；

（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．

【详解】（1）解：因为是偶函数，

所以，即，

则，即，

所以，即，解得．

若是奇函数，

又定义域为，则，即，解得；

（2）解：因为，所以，

因为函数单调递增，函数单调递减，所以单调递增；

（3）解：由（2）知单调递增；

则不等式在上恒成立，

等价为在上恒成立，

即在上恒成立，

则，

设，则在上单调递增，

∴，

则，

所以实数的取值范围是．

21．已知，其图像相邻两条对称轴的距离为，且，.

（1）求；

（2）求函数图像在区间上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据对称轴间的距离求出周期，得到；再根据，求出；最后由，求出，即可得到的解析式；

（2）根据，求出的取值范围，确定单调递增区间，再反求的取值范围即可.

【详解】解：（1）由题知，即，故.

又，则，

又，故,

又，则，

故.

（2），则，

当，即，

函数单调递增，故函数在区间上的单调递增区间为.

22．若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值．

（1）求的解析式及其单调递减区间；

（2）若，求的值域．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）由题设条件，求得的周期，得到，再由时，取得最小值，求得，即可得到函数的解析式；

（2）因为，可得，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】解：由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，

可得的周期，即，解得，

又因为当时，取得最小值，所以，

所以，解得，

因为，所以，所以．

令，得，

故的单调递减区间为；

因为，可得，

所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，

所以函数的值域是．

【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，解答本题的关键是熟记三角函数的图象与性质，得出单调区间，由，结合三角函数图象性质求最值，属于中档题.