2022-2023学年山东省临沂滨河高级中学高一下学期开学摸底考试数学试题含答案

2022-2023学年山东省临沂滨河高级中学高一下学期开学摸底考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由补集和交集的定义可求得结果．

【详解】由题可得，则．

故选：B．

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可.

【详解】因为存在命题的否定是全称命题，

所以命题“”的否定为，

故选：D

3． “”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由集合的包含关系直接判断即可.

【详解】，

因为，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

4．函数，的图像是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合与图像的关系即可选出答案.

【详解】因为与的图像关于轴对称，只有D符合题意.

故选：D

5．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.

【详解】解：当时，恒成立，符合题意；

当时，由题意有，解得，

综上，.

故选：B.

6．函数，且与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】过原点，排除AC；当时，开口向下，排除D，得到答案.

【详解】过原点，排除AC；

当时，单调递减，开口向下，排除D.

故选：B

7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数的性质，中间数0、幂函数、对数函数的单调性可得a，b，c的大小关系.

【详解】根据指数函数的单调性可得，，

根据对数函数的单调性可得，

所以，

故选：D.

8．已知函数，下列说法错误的是（    ）

A．的图象的一个对称中心为

B．的图象的一条对称轴为直线

C．在上单调递增

D．函数的图象向左平移个单位长度后得到的是一个奇函数的图象

【答案】A

【分析】代入法验证A、B的正误；应用整体法求的递增区间判断C；根据图象平移及正弦函数的性质判断D.

【详解】对A：

∵，

∴不是的图象的对称中心，A错误；

对B：

∵为最小值，

∴直线是的图象的对称轴，B正确；

对C：

令，则，

故的单调递增区间为，

当时，在上单调递增，C正确；

对D：

函数的图象向左平移个单位长度后得到，是奇函数，D正确；

故选：A.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C． D．

【答案】CD

【分析】根据不等式的性质和特殊值法，即可判断AB，根据基本不等式即可判断CD．

【详解】若，，则，故错误；

若，，例如，则，，此时，故B错误；

，∴，

当且仅当，即时，等号成立，故C正确；

，，

∴，当且仅当时，等号成立，

∴，故D正确．

故选：CD．

10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．在上单调递增

C．的值域为R D．当时，有最大值

【答案】ABD

【分析】A选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A正确；

B选项，先求出在上均单调递减，结合奇偶性得到B正确；

C选项，由在和上的单调性结合奇偶性得到的值域，C错误；

D选项，根据在上的单调性得到最大值.

【详解】对于A，由得函数定义域为，

所以．

由，

可得函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；

对于B，当且时，函数，

该函数图象可由函数图象向右平移2个单位得到，

所以函数在和上均单调递减，

由偶函数性质，可知在上单调递增，故B正确；

对于C，由B可得，当且时，

函数在和上均单调递减，

所以该函数在的值域为；

又因为函数为偶函数，且，

所以在其定义域上的值域为，故C错误；

对于D，当时，函数在上单调递增，

在上单调递减，所以有最大值为，故D正确．

故选：ABD．

11．已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（    ）

A．函数的两个零点可以分别在区间和内

B．函数的两个零点可以分别在区间和内

C．函数的两个零点可以分别在区间和内

D．函数的两个零点不可能同时在区间内

【答案】ABD

【解析】由在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，再结合函数图象是连续的，可得到，，进而讨论的正负性，并结合零点存在性定理，可得出答案.

【详解】因为函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，

又，，所以，，

若，可得，，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故B正确；

若，则，，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故A正确.

综上两种情况，可知选项C错误，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查零点存在性定理的运用，解题的关键是根据零点都可以用二分法求得，可知零点两侧函数值异号，进而讨论的正负性，结合零点存在性定理，可求出答案.考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.

12．已知定义在上的偶函数，，，且当时，，则（    ）

A． B．当时，

C．在上为减函数 D．恰有两个零点

【答案】ABD

【分析】A选项，赋值法得到；

C选项，根据当时，，结合单调性的定义得到在上为减函数，结合函数奇偶性得到在上为减函数；

B选项，根据单调性及得到当时，；

D选项，由单调性及作出判断.

【详解】中，令得：，

解得：，A正确；

因为为上的偶函数，所以，

不妨设，且，令，

则，故，

所以在上为减函数，

因为为上的偶函数，所以在上为增函数，C错误；

故当时，，B正确；

因为在上为增函数，且，在上为减函数，，

所以恰有两个零点，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．若一个扇形的圆心角是，面积为，则这个扇形的半径为       

【答案】

【分析】将扇形的圆心角化为弧度，利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径长.

【详解】设该扇形的半径为，，该扇形的面积为，解得.

故答案为：.

14．定义在上的函数满足．若，则      ．

【答案】1

【分析】根据题意得函数为周期函数，周期为，再根据周期性求函数值即可.

【详解】因为函数满足，

所以，

所以函数是周期函数，周期为，

由于，，

所以

故答案为：.

15．已知，都是正数，，则的最大值是      .

【答案】1

【分析】利用基本不等式求最值即可.

【详解】，整理得，当且仅当，即，时等号成立.

故答案为：1.

16．已知函数，则方程的不同根的个数为            ．

【答案】10

【分析】设，先解出，再分别求解即可.

【详解】设，由得或，解得或或或，

（1）当，由得或，解得或；

（2）当，由得或，无解；

（3）当，由得或，解得或或；

（4）当，由得或，解得或或.

故不同根的个数为10.

故答案为：10

四、解答题

17．计算

(1)；

(2)．

【答案】(1)-5

(2)1

【分析】（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．

（2）由利用对数运算性质即可得出结果．

【详解】（1）

（2）

18．已知实数x满足集合，q：实数x满足集合或

(1)若，求；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；

（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．

【详解】（1）因为，所以，又或．

所以

（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，

所以或，解得：或，

故实数a的取值范围是.

19．已知，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解；

（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求值.

【详解】（1）∵，，∴为第三象限角．

∴，

∴.

（2）原式

.

20．已知函数是上的偶函数

(1)求实数的值，判断函数在,上的单调性；

(2)求函数在,上的最大值和最小值．

【答案】(1)，单调递增

(2)最小值，最大值

【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得，再根据函数单调性的定义可判断函数在,上的单调性.

（2）根据函数的奇偶性和单调性，判断在,上的单调性，利用单调性可求得函数最值.

【详解】（1）若函数是上的偶函数，则，

即，解得，

所以，

函数在上单调递减．

（2）由（1）知函数在上单调递减，

又函数是上的偶函数，

所以函数在,上为增函数，

所以函数在,上为增函数，在,上为减函数．

又

所以

21．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）

(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)百辆，最大利润为万

【分析】（1）根据题意分情况列式即可；

（2）根据分段函数的性质分别计算最值.

【详解】（1）由题意得当时，，

当时，，

所以,

（2）由（1）得当时，，

当时，，

当时，

，当且仅当，即时等号成立，

，时，，，

时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.

22．已知，函数．

(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；

(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；

(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)递增区间为，.

(2).

(3)

【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.

（2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式；

（3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可.

【详解】（1）解（1）当时，，

即，则，

故函数的递增区间为，递减区间为，.

（2）由题可知，

当时，在上递减，在递增，则；

当时，在上递减，则，

综上：．

（3）（3）令，只需，

当，且时，，在上单调递减，

∴，

当时，，在上单调递增，

∴；

当时，，在上递减，∴，

综上可知，，所以．