2022-2023学年北京市首都师范大学附属中学（通州校区）高一下学期开学质量检测数学试题含答案

2022-2023学年北京市首都师范大学附属中学（通州校区）高一下学期开学质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据并集的定义运算即得.

【详解】∵，

∴.

故选：A.

2．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】根据不等式的基本性质分别判断选项ABD即可，对于选项C可以举例说明.

【详解】对于A：当时，若，则，故选项A错误；

对于B：若，，则，故选项B正确；

对于C：当，时，满足，但是，故选出C错误；

对于D：若，则，选项D错误.

故选：B.

3．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.

【详解】解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；

D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；

C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.

故选：C.

4．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接由对数函数的单调性判断，再由指数的运算得到，即可判断.

【详解】由以及，可得.

故选：D.

5．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】根据函数图象变换直接求解.

【详解】因为,

所以要得到函数的图象，

只需要将函数的图象向右平移个单位,

故选:B.

6．在边长为1的正方形ABCD中，若，，，则等于（    ）

A．0 B．1 C．2 D．2

【答案】C

【分析】利用向量的几何运算计算即可.

【详解】.

故选：C.

7．如图所示，点在线段上，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，

所以，即.

故选：C.

8．若 ，则 的取值范围是（    ）

A．[3，7] B．  C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案.

【详解】由题意知，且,

当同向时，取得最小值，；

当反向时，取得最大值，；

当不共线时，取得最小值，，

故 的取值范围是，

故选：C

9．设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合充分条件和必要条件的概念以及向量共线即可判断.

【详解】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；

必要性：若，，则向量，共线，但不存在实数，使得，即必要性不成立.

故选：A.

10．在直角梯形中，，，，，是的中点，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由数量积的几何意义可得，，又由数量积的运算律可得

，代入可得结果.

【详解】∵，

由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，

又在方向的投影为=2，

∴，同理，

∴，

故选D.

【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.

11．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，且，

因此，函数的图象为选项D中的图象.

故选：D.

12．已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出函数与的图象，数形结合可得出不等式的解集.

【详解】根据图中信息作出函数、的图象如下图所示：

因为，则，且，

由图可知，不等式的解集为.

故选：C.

13．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为60°，则的取值范围是（　　）

A．（0，） B．[，1） C．[，+∞） D．（1，+∞）

【答案】D

【分析】设，，则，进而得为射线上的动点（不包括点），故.

【详解】解：如图所示，设，，则.

因为与的夹角为60°，

所以，则，

则为射线上的动点（不包括点），

又，即，

所以由图可知，.

故选:D.

14．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数．为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的常数大约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.

【详解】由题意可得，所以，，所以，，

所以，.

故选：B.

15．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

二、填空题

16．函数的定义域为     .

【答案】

【分析】利用对数和偶次根式有意义的条件限制列不等式，计算即得结果．

【详解】依题意知，函数有意义，则需，解得，故定义域为．

故答案为：．

17．，，若，则      ．

【答案】1

【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.

【详解】由题意，得，则.

故答案为：1.

18．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则     

【答案】

【分析】由角的象限及纵坐标可得 ，即可结合诱导公式化简求值

【详解】点P在第二象限，故， ，故，则.

故答案为：

19．当时，的最小值为   ．

【答案】

【分析】根据，利用基本不等式可求得最小值.

【详解】，，（当且仅当，即时取等号），

.

故答案为：.

20．已知，与的夹角为，则在方向上的投影为      .

【答案】/

【分析】根据投影公式直接求得结果即可.

【详解】，与的夹角为，

则在方向上的投影为：.

故答案为：.

21．已知均为单位向量，若，则与的夹角为        ．

【答案】

【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.

【详解】由､均为单位向量，，

得：，即，

所以，所以，

又，所以与的夹角为.

故答案为：

22．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为           .

【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)

【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．

【详解】y=x和y=的图象如图所示：

∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，

故当或时，函数在上不是增函数．

故答案为：-2．

三、双空题

23．已知以为起点的向量在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为

①           .

②设集合，则表示的区域的面积为           .

【答案】     2     4

【分析】（1）建立平面直角坐标系，运用向量的坐标表示以及坐标运算求解即可；

（2）设，根据已知条件得到，进而得到，利用的取值范围，在平面直角坐标系中作出表示的区域，然后求出图形各个顶点的坐标，进而求其面积.

【详解】①

依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，

，

；

②设，，

，

即，解得，

又， ，，

即，，

作出表示的区域，如图所示，

则由，， ， ，

分别解得，

易知四边形为菱形，则菱形的面积为：

.

故答案为：；.

四、解答题

24．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为1

【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式及两角和的正弦展开式化简函数，再结合正弦型函数的周期计算可得答案；

（2）根据的范围和正弦函数的单调性可得答案.

【详解】（1）依题意，，

则的最小正周期为；

（2）由（1）知，，

当时，，

因正弦函数在上单调递增，在上单调递减，

因此，当，即时，取最大值，

当，即时，取最小值，

所以在区间上的最大值为，最小值为1.

25．在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点.

(1)求的值；

(2)若四边形是平行四边形，求点的坐标；

(3)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先计算出，然后用模的坐标公式即可求解；

（2）由点是直线上的一个动点可得到，接着利用即可求解；

（3）利用数量积的坐标公式和二次函数的性质即可求解

【详解】（1）因为，，，所以，

所以

所以

（2）由题意可得，

因为点是直线上的一个动点，所以，

所以，

因为四边形是平行四边形，所以即，

即，解得，所以

（3）由题意得，

所以当时，取得最小值

26．已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.

（1）请指出这三个条件，并说明理由；

（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.

【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）.

【分析】（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；

（2）先根据（1）求解出的解析式，然后采用整体替换的方法求解出的对称轴方程，然后对进行赋值，确定出在区间上仅有一条对称轴时的取值范围.

【详解】（1）三个条件是：①③④，理由如下：

若满足②：因为，所以；

若满足③：因为，所以，所以，

若满足④：，

由此可知：若满足②，则③④均不满足，

所以满足的三个条件是：①③④；

（2）由③④知：，

由①知：，所以，所以，

又因为，或，

所以或，

所以，所以，

不妨令，所以，

当时，；当时，；当时，，

所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,

所以的取值范围是.

【点睛】方法点睛：已知函数，

若求函数图象的对称轴，则令，；

若求函数图象的对称中心或零点，则令，．

27．已知函数．

(1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；

(2)若，且时，恒成立，求实数b的取值范围；

(3)若且，解关于x的不等式．

【答案】(1);

(2);

(3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得到，解之即可得到结果；

（2）原题等价于时，恒成立，进而求出在上的最小值即可得出结果；

（3）首先求出方程的两根，进而根据两根的大小进行分类讨论即可求出结果.

【详解】（1）由题意可得，且和1是关于x的方程的根，即，解得，

（2）由题意知时，恒成立，

即时，恒成立，

又由对勾函数的性质可得在上单调递增，

因此在上的最小值为，

故，所以，

因此实数b的取值范围为，

（3）由题意可得，即

方程的两根为，

当时，即，不等式的解集为，

当时，即，不等式的解集为或，

当时，即，不等式的解集为或，

综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.