2022-2023学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高一下学期开学考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省宜春市宜丰县宜丰中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A．4 B．8 C．7 D．16

【答案】B

【分析】根据题设列举法表示出集合，再由集合的包含关系，判断元素与集合的关系得只需讨论元素是否为集合的元素研究集合即可.

【详解】由题设，，又，

所以，只需讨论元素是否为集合的元素研究集合的个数，即可得结果，

所以集合的个数为.

故选：B

2． “”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由集合的包含关系直接判断即可.

【详解】，

因为，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

3．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析得到，即得解.

【详解】由题得，

，且，

所以.

故选：C

【点睛】关键点睛：解答本题的关键正确运用指数对数函数的单调性，理解掌握了指数对数函数的单调性，就容易判断的范围了，即得它们的大小关系了.

4．函数的图象大致为（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】A

【分析】分类讨论得到分段函数，分析函数的单调性与特值即可.

【详解】因为函数 ，

且当 时， ，排除D选项；

当 时， 在 上单调递减，又 ，排除BC选项；

对于A选项，当 时， 在 上单调递减，当 从0 的右侧趋近于0 时， 趋近于1，符合题意.

故选：A.

5．已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年，）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型：，其中为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为（    ）

A．2年 B．3年 C．4年 D．5年

【答案】C

【分析】根据题意，列方程，即可求解.

【详解】由题意可得，令，即，解得：t=4.

故选：C

6．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】要保证函数在R上单调递减，需使得和都为减函数，且x=1处函数值满足,由此解得答案.

【详解】由函数在R上单调递减，

可得 ，解得 ，

故选：D.

7．已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.

【详解】解：令，则，

因为，，

∴为奇函数，

又因为，由函数单调性可知为的增函数，

∵，则，

∴，

，

∴，解得.

故选：A.

8．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】函数有零点转化为方程有实根，令，则方程可转化为常见的一元二次方程，对其分析求解即可.

【详解】画出函数的大致图象，如下图所示：

函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.

故选：A

二、多选题

9．已知，.若，则（    ）

A．的最小值为9

B．的最小值为9

C．的最大值为

D．的最大值为

【答案】BC

【解析】利用“1”的变形，得，，展开后利用基本不等式求最值，判断AB选项；利用，变形构造基本不等式求最值

【详解】A.，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，故的最小值是4，故A不正确；

B. ，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，的最小值为9，故B正确；

C.，当时等号成立，即 时等号成立，故C正确；

D.，当且仅当时等号成立，又因为，解得：时，等号成立，但，所以等号不能成立，故D不正确.

故选：BC

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

10．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“，”的否定是“，”

D． D．已知，方程有一个根为1的充要条件是

【答案】AD

【分析】A. 由不等式的性质求解判断； B. 由不等式的性质求解判断； C.由含有一个量词的命题的否定的定义求解判断； D.将1代入方程求解判断.

【详解】A. 由，得，则，，即，故充分；由，得，则，故不必要；故正确；

 B. 由，得或，则 或，故不充分；当时，满足，但，故不必要，故错误；

C.命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即“，”，故错误；

D. 当时，1为方程的一个根，故充分；当方程有一个根为1时，代入得，故必要，故正确；

故选：AD

11．已知函数，其中，下列结论正确的是（    ）

A．存在实数a，使得函数为奇函数

B．存在实数a，使得函数为偶函数

C．当时，的单调增区间为，

D．当时，的单调减区间为

【答案】AC

【分析】当a＝0时函数为奇函数，不存在实数a，使得函数为偶函数. 所以选项A正确，选项B错误；化简函数得，再对分类讨论得到函数的单调性，再判断得解.

【详解】解：由，显然当a＝0时有，但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数，不存在实数a，使得函数为偶函数. 所以选项A正确，选项B错误；

，当时，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项C正确；同理可得，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项D错误.

故选：AC.

12．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解

C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解

【答案】AD

【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择.

【详解】对A：令，数形结合可知，或或；令，，，

又因为，故，

数形结合可知都有一个根，故方程有且仅有三个解，A正确；

对B：令，数形结合可知，；令，因为，数形结合可知，该方程有一个根，

故方程有且仅有一个解，故B错误；

对C：令，数形结合可知，或或；令，

由题可知，，数形结合可知，各有一个解，，有三个解，

故方程有且仅有五个解，故C错误；

对D：令，数形结合可知，；令，又，数形结合可知，该方程有一个解，

故方程有且仅有一个解，D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．幂函数在上是减函数，则实数的值为      .

【答案】-1

【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.

【详解】由幂函数知，

得或.

当时，在上是增函数，

当时，在上是减函数，

∴.

故答案为

【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.

14．已知：，，则的最小值是      .

【答案】/

【分析】根据基本不等式求解即可.

【详解】解：，，，，

，

当且仅当，即，时取等号，

的最小值是

故答案为：

15．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为      .

【答案】1

【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果

【详解】由题意知，（），

设，则，

因为，

所以为奇函数，

在区间上的最大值与最小值的和为0，

故，

所以.

故答案为：1

16．已知函数图像关于对称，当时，恒成立，则满足的取值范围是             ．

【答案】

【分析】由函数图像关于对称，可得函数是偶函数，由当时，恒成立，可得函数在上为增函数，从而将转化为，进而可求出取值范围

【详解】因为函数图像关于对称，

所以函数是偶函数，

所以可转化为

因为当时，恒成立，

所以函数在上为增函数，

所以，解得，

所以取值范围为，

故答案为：

四、解答题

17．化简求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；

（2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；

【详解】（1）解：

（2）解：

18．已知p：函数f(x)＝（a﹣m）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根都大于1．

（1）当m＝5时，p是真命题，求a的取值范围；

（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围．

【答案】（1）（5，6）；（2）m≥2．

【分析】（1）由m＝5，得到f(x)＝（a﹣5）x，再根据指数函数的单调性求解；

（2）先根据命题为真，化简命题p，q，然后根据p为真命题是q为真命题的充分不必要条件求解.

【详解】（1）因为m＝5，所以f(x)＝（a﹣5）x

因为p是真命题，

所以0＜a﹣5＜1，

解得5＜a＜6．

故a的取值范围是（5，6）

（2）若p是真命题，则0＜a﹣m＜1，解得m＜a＜m+1．

关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根分别为a﹣1和a+1．

若q是真命题，则a﹣1＞1，解得a＞2．

因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，

所以m≥2．

19．已知函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断函数在定义域上的单调性并用定义证明；

（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）函数在上单调递增；证明见解析；（3）.

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求的值；

（2），可判断在上单调递增，再利用函数单调性的定义证明；

（3）根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.

【详解】（1）因为是奇函数，所以，即，∴，

经检验时，是上奇函数；

（2），则在上单调递增.

证明如下：任取且，则

，

因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.

（3）又因为是上奇函数，所以，

等价于，即，

因为为上增函数，则对一切恒成立，即恒成立，

①显然成立，

②，解得.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】方法点晴：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，且时，则有且；若函数在区间上单调递减，且时，则有且；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.

20．定义在上的函数是单调函数，满足，且，.

(1)求，；

(2)判断的奇偶性，并证明；

(3)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.

①②若_____________，，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)奇函数，证明见解析；

(3)选①：；选②：.

【分析】（1）利用赋值法即求；

（2）由题可得，即证；

（3）由题可得在R上是增函数，进而可得，然后通过参变分离转化为恒成立问题或有解问题，再求函数的最值即得.

【详解】（1）取，得，即，

∴，

∵，

又，得，

可得；

（2）∵函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，

取，得，移项得

∴函数是奇函数；

（3）选①：

∵是奇函数，且在上恒成立，

∴在上恒成立，且；

∴在R上是增函数，

∴在上恒成立，

∴在上恒成立，

令.由于，

∴.

∴，

∴.

选②：是奇函数，且在上有解，

∴在上有解，且；

∴在R上是增函数，

∴在上有解，

∴在上有解，

令.

由于，∴.

∴，

∴.

21．2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”.为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室，使活动的空间更大.为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知.设（单位：），矩形的面积为.

(1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少米时，y有最小值；

(2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由题知，进而，再结合基本不等式求解即可；

（2）根据题意解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：由图知

，

∴

由基本不等式可知时，

当且仅当即时，

（2）解：∵要使矩形的面积大于，

∴，

或

的长应在

22．对于在区间上有意义的函数f(x)，若满足对任意的，有恒成立，则称f(x)在上是“友好”的，否则就称f（x）在上是“不友好”的.现有函数

(1)当a=1时，判断函数f(x)在上是否“友好”；

(2)若函数f(x)在区间(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围

(3)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.

【答案】(1)函数f(x)在上是 “友好”的；

(2)；

(3).

【分析】(1)利用函数单调性求出f(x)在上的最值即可判断得解.

(2)利用函数单调性，求出f(x)在区间(1≤m≤2)上的最值，建立不等关系，分离参数，构造函数并求出其最值即可作答.

(3)利用对数函数的性质变形等式，求出方程的解，再讨论验证即可作答.

【详解】（1）当a=1时，在上单调递减，， ，

于是得，即，有，

所以当a=1时，函数f(x)在上是 “友好”的.

（2）依题意，在上单调递减，

则，，

则有，

即，可得，令t=2m-1(1≤t≤3)，

则，则，

函数在上单调递减，在上单调递增，当t=1或3时，取最大值1，此时，，

于是当t=1或3时，取最大值，依题意，，

又对于任意的，，即，此时，

综上，a的取值范围是.

（3）依题意，方程化为：，且，

于是得：，即，

当a=3时，可得x=-1，此时有且，则a=3，

当a=2时，可得x=-1，此时有，矛盾，

当a≠2且a≠3时，可得x=-1或，若x=-1是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=a-1>0，且a-1≠1，则a>1且a≠2，

若是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=2a-3>0，且2a-3≠1，则且a≠2，

因此，要使方程有且仅有一个解，必有，

综上，方程的解集中有且仅有一个元素，有或a=3，

所以实数a的取值范围为.