2022-2023学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的概念直接求解即可

【详解】因为复数为，

所以它的实部为；虚部为.

故选：D.

2．=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两角差的正弦公式，可直接求得答案.

【详解】

，

故选:B

3．与向量平行的单位向量为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】与向量平行的单位向量为，计算得到答案.

【详解】与向量平行的单位向量为，

即或.

故选：C.

4．要得到函数的图象，需（    ）

A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

C．将函数图象上所有点向左平移个单位．

D．将函数图象上所有点向左平移个单位

【答案】D

【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.

【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；

将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到

的图象，故B 错误；

将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；

D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.

故选：D.

5．在中，，．若点满足，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：，故选A．

6．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.

【详解】根据函数的图象，可得，可得，

所以，

又由，可得，即，

解得，

因为，所以.

故选：A.

7．八卦是中国文化的基本哲学概少，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中给出下列结论（    ）

①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】C

【分析】利用正八边形的性质，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析运算即可.

【详解】对①：为正八边形，则与的夹角为，①错误；

对②：，平分，则，②错误；

对③：∵，则，③正确；

对④：∵，即与的夹角为，    

∴向量在向量上的投影向量为，④错误.

故选：C.

8．已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．正三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.

【详解】因为，所以，即，

由正弦定理可得：，

因为，所以，

因为，所以，所以，可得，

所以，解得，

因为，所以，即，

所以，可得，所以，

所以的形状是正三角形，

故选：C.

二、多选题

9．设有下面四个命题，其中的假命题为（    ）

A．若复数满足，则 B．若复数满足，则

C．若复数，满足，则 D．若复数，则

【答案】BC

【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.

【详解】对于A中，设复数，

可得，

因为，可得，所以，所以A正确；

对于B中，取，可得，所以B不正确；

对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；

对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.

故选：BC.

10．下列各式中，值为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据二倍角的余弦公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的余弦公式即可判断C；根据二倍角的正弦公式即可判断D.

【详解】对于A，，故A符合题意；

对于B，，故B符合题意；

对于C，

，故C不符合题意；

对于D，，故D符合题意.

故选：ABD.

11．有下列说法，其中错误的说法为（    ）．

A．若∥，∥，则∥

B．若，则是三角形的垂心

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向

D．若∥，则存在唯一实数使得

【答案】AD

【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.

【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；

对于选项B，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；

对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；

对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.

故选：AD

【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

12．已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则一定是等腰三角形

B．若，则

C．若为锐角三角形，则

D．若，则为锐角三角形

【答案】BC

【分析】根据正弦定理边角互化，结合三角形的性质，可判断A、B的正误，根据正弦函数的性质及诱导公式，可判断C的正误，根据数量积公式，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：若，由正弦定理边化角得，

所以，即，

所以或，

所以或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B：若，由正弦定理角化边得，

根据三角形内大边对大角可得，角，故B正确；

对于C：若为锐角三角形，则，

所以，

因为在上为增函数，

所以，故C正确；

对于D：由题意得，

所以，即角A为锐角，但无法得到角B、C是否为锐角，

所以不能得到为锐角三角形，故D错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知复数z的虚部为1，且为纯虚数，则            ．

【答案】

【分析】由纯虚数的定义列方程求出复数的实部，再由模的公式求.

【详解】因为复数的虚部为1，故可设，

所以，

由为纯虚数可得且，所以，

所以.

故答案为：.

14．            ．

【答案】/

【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式即可得解.

【详解】

.

故答案为：.

15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为            ．

【答案】

【分析】根据向量共线以及数量积的运算律，即可求解.

【详解】由得，

设，所以，

故当时，取最大值，

故答案为：

16．已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则的取值范围为            ．

【答案】

【分析】由三角形面积公式，由已知条件结合余弦定理可得，然后由正余弦的平方和为1，可求得，从而可求得，则可得，，则利用三角函数恒等变换公式和正弦函数的性质可求得其范围.

【详解】∵，∴，

∵，由余弦定理可得，

∴，解得，

∴，

∵，∴，.

所以

，

∵，∴，∴.

因此，.

故答案为：

四、解答题

17．已知复数、是方程的解．

(1)的值；

(2)若复平面内表示的点在第三象限，为纯虚数，其中，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用韦达定理可求得的值；

（2）求出复数，利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.

【详解】（1）解：对于方程，，所以，方程有两个不等的虚根，

因为复数、是方程的解，由韦达定理可得，，

因此，.

（2）解：由可得，

因为复平面内表示的点在第三象限，则，

所以，为纯虚数，且，

所以，，解得.

18．已知三点，，，P为平面ABC上的一点，且，．

(1)求；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，再根据数量积的坐标表示即可求出；

（2）设，根据数量积的坐标表示由，求出，然后由，根据向量相等列出方程组，解出即可．

【详解】（1）由，，，得，

所以；

（2）设，则，

由，解得，

所以，

因为，即，

所以，解得，

所以

19．已知，为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角公式结合商数关系化弦为切计算可得；

（2）首先求出，再根据同角三角函数的基本关系求出、，最后由利用两角差的正切公式计算可得.

【详解】（1）由，

得；

（2）因为为锐角，则，

所以，

故，

因为，为锐角，则，

又，所以，

故，

则

.

20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．

(1)求B；

(2)若D为AC的中点，，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）3种选法都要先根据正弦定理，将边化为角，结合三角恒等变换即可得；

（2）为的中点，所以，两边平方，再根据余弦定理即可得．

【详解】（1）若选①，

由正弦定理可得，

因为，所以，

即，

因为，所以，所以，则；

若选②，则，

由正弦定理可得，又，

所以，即，

因为，则；

若选③，则，

由正弦定理可得，

即，

所以，

所以，又，所以，

因为，则；

（2）因为为的中点，所以，因为，

所以，

即，解得或（舍去），

所以．

21．如图，在平面四边形中，，，，，．

(1)求的值；

(2)求的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的方程，解出的长，判断出为等腰三角形，即可求得的值；

（2）计算出的值，以及，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用正弦定理可求得的长.

【详解】（1）解：在中，，，，

由余弦定理可得，

整理可得，，解得，则，

故为等腰三角形，故.

（2）解：由（1）知，，又因为，则，

因为，则为锐角，

且，

所以，

，

在中，由正弦定理，

可得.

22．已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．

(1)求的表达式；

(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程，在区间上有两个实数解，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数的恒等变换可得，根据对称性及周期求出，从而得到的表达式；

（2）根据三角函数图象变换可得，再根据函数与在区间上有且只有两个交点，由正弦函数的图象可得实数的取值范围．

【详解】（1）

，

由题意知，最小正周期，又，所以，

∴；

（2）将的图象向右平移个个单位后，

得到的图象，

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到的图象，所以，

令，∵，∴，

在上有且只有两个实数解，

即函数与在区间上有且只有两个交点，

即函数与在区间上有且只有两个交点，

由正弦函数的图象可知，

所以．