山东省济南市2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题

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2023—2024学年高中三年级摸底考试

数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数，则（    ）

A. B. C.3 D.5

3.已知平面向量，，若，则（    ）

A. B. C. D.

4.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（    ）

A.12 B.18 C.21 D.24

5.过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ）

A. B. C. D.4

6.“曲线恒在直线上方”的一个充分不必要条件是（    ）

A. B. C. D.

7.已知为锐角，若，则（    ）

A. B. C. D.

8.记为等比数列的前项和，若，，则（    ）

A. B. C.85 D.120

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数的最大值为2，则（    ）

A.  B.的图象关于点对称

C.是图象的一条对称轴 D.在上单调递增

10.已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A. B. C. D.

11.如图，棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）

A.直线

B.直线

C.

D.过，，三点的平面截正方体的截面面积为

12.已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（    ）

A.  B.直线过定点

C.的最小值为 D.的最小值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则圆锥的体积为________.

14.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，并记录正面向上的点数，记事件为“第一次的点数大于第二次的点数”，记事件为“两次点数之和为偶数”，则的值为________.

15.已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________.

16.若函数的图象关于直线对称，且有且仅有4个零点，则的值为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知中，内角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求外接圆的半径；

（2）若，求的面积.

18.（12分）随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响.为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：

（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额.

参考公式及数据：，，，

，，.

19.（12分）等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项.

（1）求和的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

20.（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，点是棱的中点，点是棱上一点.

（1）证明：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.

21.（12分）已知双曲线：的一条渐近线方程为，点在上.

（1）求的方程；

（2）过右焦点的直线交于，两点，若，求的方程.

22.（12分）已知函数.

（1）若，求的值；

（2）证明：当且时，.

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 14. 15. 16.39

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）【解析】（1）因为，

所以，

所以，

因为，

所以，即

所以，即

（2）由（1）可知：，，

因为，

所以，

由余弦定理得，

所以，

所以.

18.（12分）【解析】（1）由已知数据可得，，，

所以，，

所以，

因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系

（2）由已知数据可得，，

所以，

，

所以，关于的回归方程为

令，则（万元）

所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元.

19.（12分）【解析】（1）法一：由题意可得：，

解得，，

所以，；

法二：由题意可得，，所以，

则，

所以.

又且，，

所以，

所以.

（2）因为，

所以

20.（12分）【解析】（1）在正方形中，有，

又，，

所以，又，

所以，又，所以，

又，点是棱的中点，所以有，

又，所以，

又，所以.

（2）如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，设点，，

设平面的法向量，

，

令，可得，

又，

所以直线与平面所成角的正弦值，

化简可得，即，

所以或（舍），

即点，由可得，，，

所以点到平面的距离.

21.（12分）【解析】（1）由题，所以，

故双曲线的方程为.

（2）显然直线的斜率不为0，

设：，，，

则联立双曲线得：，故，，，

，

化简得：，

故，

即，或

当时，直线过点，不合题意，舍去，

所以直线的方程.

22.（12分）【解析】（1）方法一：由题意知，，，

①当时，，在上单调递减，所以，当时，，不合题意；

②当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意；

③当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，对于任意的，，符合题意；

④当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意.

综上所述，.

（2）由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立.

令，其中且，则有，

又，所以，，即

所以.

所以，原不等式得证.