(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第9章 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程 (2份打包，原卷版+教师版)

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程

一、知识梳理

1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(3)范围：直线l的倾斜角的范围是[0，π).

2.直线的斜率

(1)直线l的倾斜角为α≠，则l的斜率k＝tan_α.

(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3.直线方程的五种形式

常用结论

1.直线的倾斜角和斜率的关系

(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.

(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tan α，当α∈[0,)时，α越大，斜率k就越大，同样α∈(,π)时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了.

2.识记几种特殊位置的直线方程

(1)x轴：y＝0.

(2)y轴：x＝0.

(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0).

(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0).

(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.

二、教材衍化

1.经过点P(2，﹣3)，倾斜角为45°的直线方程为________.

2.经过点A(﹣1，0)，B(2，﹣2)两点的直线方程为________.

3.若过点M(﹣2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)

(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)

(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y﹣y0＝k(x﹣x0)表示.(　　)

(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y﹣y1)(x2﹣x1)＝(x﹣x1)(y2﹣y1)表示.(　　)

二、易错纠偏

(1)对倾斜角的取值范围不清楚；

(2)忽略截距为0的情况.

1.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)

A.       B.       C.         D.

2.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.

考点一　直线的倾斜角与斜率(基础型)

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

核心素养：数学抽象，数学运算

(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.       B.[0,]∪[，π)    C.[0,]         D.[0,]∪(,π)

(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.

【迁移探究1】

(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcos α﹣y﹣3＝0(α∈[,])的倾斜角的变化范围为________.

【迁移探究2】

(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(﹣1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.

(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤

①求出斜率k＝tan α的取值范围；

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围.

求倾斜角时要注意斜率是否存在.

(2)斜率的求法

①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；

②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.　

1.若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________.　

2.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈[,)∪[，π)，则k的取值范围是________.

考点二　直线的方程(基础型)

根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系.

核心素养：数学运算

(1)若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝﹣4x的斜率的，则该直线的方程为________.

(2)若直线经过点A(﹣5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________.

巧设直线方程的方法

(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；

(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；

(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；

(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程.

[注意]　(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；

(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；

(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.　

1.已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)

A.2x＋y﹣12＝0         B.2x﹣y﹣12＝0

C.2x＋y﹣8＝0         D.2x﹣y＋8＝0

2.经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________.

考点三　直线方程的综合应用(综合型)

求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值.

已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.

【迁移探究】

(变问法)在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.

(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.　

　已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________.

[基础题组练]

1.倾斜角为120°，在x轴上的截距为﹣1的直线方程是(　　)

A.x﹣y＋1＝0　　　　  B.x﹣y﹣＝0

C.x＋y﹣＝0         D.x＋y＋＝0

2.直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)

A.ab＞0，bc＜0         B.ab＞0，bc＞0

C.ab＜0，bc＞0         D.ab＜0，bc＜0

3.(多选)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为(　　)

A.x﹣y＋1＝0         B.x＋y﹣3＝0

C.2x﹣y＝0           D.x﹣y﹣1＝0

4.直线x﹣2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A.[﹣2，2]                    B.(﹣∞，﹣2]∪[2，＋∞)

C.[﹣2，0)∪(0，2]             D.(﹣∞，＋∞)

5.在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(﹣1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)

A.3x﹣y﹣6＝0         B.3x＋y＋6＝0

C.3x﹣y＋6＝0         D.3x＋y﹣6＝0

6.已知三角形的三个顶点A(﹣5，0)，B(3，﹣3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.

7.直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________.

8.设点A(﹣1，0)，B(1，0)，直线2x＋y﹣b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.

9.已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3，0)，B(2，1)，C(﹣2，3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边的垂直平分线DE的方程.

10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(﹣3，4)；

(2)斜率为.

[综合题组练]

1.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(﹣3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A.﹣1＜k＜         B.k＞1或k＜

C.k＞或k＜1         D.k＞或k＜﹣1

2.若直线l：kx﹣y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为(　　)

A.x﹣2y＋4＝0         B.x﹣2y＋8＝0

C.2x﹣y＋4＝0         D.2x﹣y＋8＝0

3.已知实数x，y满足y＝x2﹣2x＋2(﹣1≤x≤1)，则的最大值为________，最小值为__________.

4.已知直线l：x﹣my＋m＝0上存在点M满足与两点A(﹣1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________.

5.已知直线l过点(2，1)，且在x，y轴上的截距相等.

(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值.

6.(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？