(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第9章 第7讲　抛物线 (2份打包，原卷版+教师版)

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第7讲　抛物线


一、知识梳理
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝﹣2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝﹣2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝﹣
x＝
y＝﹣
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝﹣x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝﹣y0＋
常用结论
与焦点弦有关的常用结论

(以图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)y1y2＝﹣p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角).
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切.
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径).
二、教材衍化
1.若抛物线的焦点是F(0，-)，则抛物线的标准方程为________.
答案：x2＝﹣2y
2.抛物线y2＋4x＝0的准线方程________.
答案：x＝1
3.抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________.
答案：(3，±6)

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.(　　)
(3)若一抛物线过点P(﹣2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0).(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
(1)不注意抛物线方程的标准形式；
(2)忽视p的几何意义.
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(﹣4，﹣2)的抛物线的标准方程是(　　)
A.y2＝﹣x B.x2＝﹣8y
C.y2＝﹣8x或x2＝﹣y D.y2＝﹣x或x2＝﹣8y
解析：选D.设抛物线为y2＝mx，代入点P(﹣4，﹣2)，解得m＝﹣1，则抛物线方程为y2＝﹣x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(﹣4，﹣2)，解得n＝﹣8，则抛物线方程为x2＝﹣8y.

2.已知抛物线C与双曲线x2﹣y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________.
解析：由已知可知双曲线的焦点为(﹣，0)，(，0).
设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.
答案：y2＝±4x

考点一　抛物线的定义(基础型)
了解抛物线的定义及几何图形.
核心素养：　直观想象
(1)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P(x0，)在C上，且|PF|＝，则p＝(　　)
A. B. C. D.1
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
【解析】　(1)抛物线的准线方程为y＝﹣，因为P(x0，) 在抛物线上，
所以点P到准线的距离d＝＋＝|PF|＝，则p＝，故选B.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【答案】　(1)B　(2)4
【迁移探究1】　(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部.
因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2.
【迁移探究2】(变设问)若本例(2)条件不变，求P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________.
解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案：2

抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.　

1.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B.1 C. D.
解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，MM1⊥l于点M1，由抛物线的定义知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|﹣＝(|AA1|＋|BB1|)﹣＝.故选C.

2.抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为________.
解析：由y2＝6x，知p＝3，由焦半径公式得x1＋＝，即x1＝3.代入得y＝18，
则|MO|＝＝3(O为坐标原点)，故填3.
答案：3
考点二　抛物线的标准方程及性质(基础型)
了解抛物线的标准方程及其简单的几何性质.
核心素养：　数学运算、直观想象
(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为(　　)
A.y2＝x B.y2＝2x C.y2＝4x D.y2＝8x
(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，由抛物线的定义可得xM＋＝xM＋，所以p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x.故选B.
(2)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，
可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，
得＋8＝＋5，得p＝4，故选B.
【答案】　(1)B　(2)B

(1)求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置；
②再定形：即根据条件求p.
(2)抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.　

1.若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4＝0上，则此抛物线的标准方程为________.
解析：令x＝0，得y＝﹣2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，﹣2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝﹣8y.
答案：y2＝16x或x2＝﹣8y
2.已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________.
解析：如图，设△AOB的边长为a，则A(a，a)，因为点A在抛物线y2＝3x上，
所以a2＝3×a，所以a＝6.

答案：6
3.(2020·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为________.
解析：由题意知x2＝y，则F(0，)，设P(x0，2x)，
则|PF|＝ ＝＝2x＋，所以当x＝0时，|PF|min＝.
答案：
考点三　直线与抛物线的位置关系(综合型)
了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景.
核心素养：数学运算、逻辑推理
(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
【解】 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F(，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t﹣1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝﹣.
从而﹣＝，得t＝﹣.所以l的方程为y＝x﹣.
(2)由＝3可得y1＝﹣3y2.
由可得y2﹣2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而﹣3y2＋y2＝2，故y2＝﹣1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.

解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
[注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.　

1.已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x﹣2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为(　　)
A.x2＝y B.x2＝6y C.x2＝﹣3y D.x2＝3y
解析：选D.设点M(x1，y1)，N(x2，y2).
由消去y得x2﹣2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，
所以所求的抛物线方程是x2＝3y.
2.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(﹣2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解析：选D.法一：过点(﹣2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，
由得x2﹣5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或
不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，
所以·＝8.故选D.
法二：过点(﹣2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2﹣5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以＝(x1﹣1，y1)，＝(x2﹣1，y2)，所以·＝(x1﹣1)(x2﹣1)＋y1y2＝x1x2﹣(x1＋x2)＋1＋4＝4﹣5＋1＋8＝8.故选D.
3.过点(﹣2，1)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则由k的值组成的集合为________.
解析：设l的方程为y﹣1＝k(x＋2)，
由方程组得ky2﹣4y＋4(2k＋1)＝0，①当k＝0时，y＝1，此时x＝，l与抛物线仅有一个公共点(,1)；②当k≠0时，由Δ＝﹣16(2k2＋k﹣1)＝0，得k＝﹣1或k＝，所以k的值组成的集合为{0，﹣1，}.
答案：{0，﹣1，}.

[基础题组练]
1.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(﹣1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A.(﹣1，0) B.(1，0) C.(0，﹣1) D.(0，1)
解析：选B.抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝﹣且过点(﹣1，1)，
故﹣＝﹣1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0).
2.抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，﹣3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为(　　)
A.x2＝8y B.x2＝4y C.x2＝﹣4y D.x2＝﹣8y
解析：选C.依题意，设抛物线的方程为x2＝﹣2py(p＞0)，则＋3＝4，所以p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝﹣4y，故选C.
3.已知抛物线C1：x2＝2py(y＞0)的焦点为F1，抛物线C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为F2，点P(x0，)在C1上，且|PF1|＝，则直线F1F2的斜率为(　　)
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣
解析：选B.因为|PF1|＝，所以＋＝，解得p＝.
所以C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1(0，)，F2(1，0)，
所以直线F1F2的斜率为＝﹣.故选B.

4. (应用型)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)

A. m B. m C. m D. m
解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系.

设抛物线的解析式为x2＝﹣2py，p＞0，
因为抛物线过点(6，﹣5)，所以36＝10p，可得p＝，
所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m.故选D.
5.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解析：选A.根据抛物线的定义，知||，||，||分别等于点A，B，C到准线x＝﹣1的距离，所以由||＋||＋||＝10，可得2＋x1＋1＋x2＋1＝10，即x1＋x2＝6.故选A.
6.在直角坐标系xOy中，有一定点M(﹣1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.
解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x﹣4y＋5＝0，
把焦点坐标(0，)代入可求得p＝，所以准线方程为y＝﹣.
答案：y＝﹣.
7.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为________.
解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.
答案：4
8.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________.
解析：抛物线的焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝﹣，准线方程与双曲线方程联立可得﹣＝1，解得x＝±，因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即×2＝p，解得p＝6.则抛物线的焦点坐标为(0，3)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为＝.
答案：6　
9.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x﹣4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程.
解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把直线y＝2x﹣4代入y2＝ax，得4x2﹣(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2﹣256＞0，得a＞0或a＜﹣32.
又x1＋x2＝，x1x2＝4，
所以|AB|＝＝ ＝3，
所以5＝45，所以a＝4或a＝﹣36.
故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝﹣36x.
10.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝﹣，于是4＋＝5，所以p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2).
又因为F(1，0)，所以kFA＝，因为MN⊥FA，所以kMN＝﹣.
又FA的方程为y＝(x﹣1)，① MN的方程为y﹣2＝﹣x，②
联立①②，解得x＝，y＝， 所以点N的坐标为(，).
[综合题组练]
1.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则(　　)
A.∠FQP＝60°　 B.|QM|＝1 C.|FP|＝4 D.|FR|＝2
解析：选ACD.如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°，由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，|FN|＝|PF|＝2，则△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2.故选ACD.

2.(多选)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为(　　)
A.　 B. C.﹣ D.﹣
解析：选BD.如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形.由抛物线的定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，所以|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为﹣.

3.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.
解析：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，
所以x1＝2，y1＝2.

设AB的方程为x﹣1＝ty，由消去x得y2﹣4ty﹣4＝0.
所以y1y2＝﹣4，所以y2＝﹣，x2＝，所以S△AOB＝×1×|y1﹣y2|＝.
答案：
4.过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________.
解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.
因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，
所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，
所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为120°.
又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为30°，斜率是.
答案：
5.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，
故直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝x.设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M(1，).
设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1，1＋m)，|MN|＝|m+|.
将y＝x＋m代入y＝，得x2﹣2x﹣2m＝0.
由Δ＝4＋8m＞0，得m＞﹣，x1，2＝1±.
从而|AB|＝|x1﹣x2|＝2.
由题设知|AB|＝2|MN|，即＝|m+|，解得m＝或m＝﹣(舍).
所以直线AB的方程为y＝x＋.
6.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2﹣2pkx﹣2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝﹣2p.①
(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝﹣，
因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，
所以﹣＝﹣1，所以p＝2.
(2)易得直线AN：y﹣y1＝(x﹣x1)，直线BN：y﹣y2＝(x﹣x2)，
联立，得结合①式，解得即N(pk，﹣1).
|AB|＝|x2﹣x1|＝·＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
因为△ABN的面积的最小值为4，
所以2＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.