新高考数学一轮复习讲练测第2章第01讲 函数的概念（讲义）（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习讲练测第2章第01讲 函数的概念（讲义）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习讲练测第2章第01讲函数的概念讲义原卷版doc、新高考数学一轮复习讲练测第2章第01讲函数的概念讲义解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。


1、函数的概念
（1）一般地，给定非空数集 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，按照某个对应法则 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 中任意元素 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 中唯一确定的 SKIPIF 1 < 0 与之对应，那么从集合 SKIPIF 1 < 0 到集合 SKIPIF 1 < 0 的这个对应，叫做从集合 SKIPIF 1 < 0 到集合 SKIPIF 1 < 0 的一个函数．记作： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．集合 SKIPIF 1 < 0 叫做函数的定义域，记为 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 叫做值域，记为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
2、函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3、函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【解题方法总结】
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
（6）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域求解 SKIPIF 1 < 0 的定义域，或已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域求 SKIPIF 1 < 0 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1） SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 的值域是：当 SKIPIF 1 < 0 时，值域为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ．
（4） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ．
（5） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ．
题型一：函数的概念
例1．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意 SKIPIF 1 < 0 都有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
不符合函数定义，A错误；
对于B,令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
不符合函数定义，B错误；
对于C, 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
不符合函数定义，C错误；
对于D, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
符合函数定义，即存在函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，D正确，
故选：D
例2．（2023·重庆·二模）任给 SKIPIF 1 < 0 ，对应关系 SKIPIF 1 < 0 使方程 SKIPIF 1 < 0 的解 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应，则 SKIPIF 1 < 0 是函数的一个充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，按 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 的范围中必有唯一的值与之对应， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的范围要包含 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，对于一个 SKIPIF 1 < 0 ，只能有唯一的 SKIPIF 1 < 0 与之对应，只有D满足要求
故选：D
变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点个数（ ）
A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 有1个交点，
故选：B.
【解题方法总结】
利用函数概念判断
题型二：同一函数的判断
例4．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】对于A： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .因为定义域不同，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不是同一个函数.故A错误；
对于B： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .因为定义域不同，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不是同一个函数.故B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；
对于D： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .因为定义域不同，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不是同一个函数.故D错误；
故选：C
例5．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的定义域都是 SKIPIF 1 < 0 ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域不同，不是同一个函数，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域不同，不是同一个函数，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域不同，不是同一个函数，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
例6．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A： SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于C： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于D： SKIPIF 1 < 0 对应点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选：D．
【解题方法总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
题型三：给出函数解析式求解定义域
例7．（2023·北京·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
例8．（2023·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 有意义可得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
例9．（2023·高三课时练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】要使函数有意义，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
所以函数定义域为 SKIPIF 1 < 0
故答案为: SKIPIF 1 < 0
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，底边长 SKIPIF 1 < 0 是腰长 SKIPIF 1 < 0 的函数，则函数的定义域为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题设有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
【解题方法总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 SKIPIF 1 < 0 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
题型四：抽象函数定义域
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， 则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为_____
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
例11．（2023·高三课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在函数 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
解得: SKIPIF 1 < 0 ；所以原函数的定义域是： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【解题方法总结】
1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的解 SKIPIF 1 < 0 的范围，即为 SKIPIF 1 < 0 的定义域，口诀：定义域指的是 SKIPIF 1 < 0 的范围，括号范围相同．已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域，求四则运算型函数的定义域
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五：函数定义域的应用
例13．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，那么a的取值范围为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】依题可知， SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
例15．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 R，所以 SKIPIF 1 < 0 的解为R，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴没有交点，
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与x轴没有交点，故 SKIPIF 1 < 0 成立；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，要使函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴没有交点，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R,得 SKIPIF 1 < 0 恒成立,化简得 SKIPIF 1 < 0 恒成立,所以由 SKIPIF 1 < 0 解得: SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
【解题方法总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
题型六：函数解析式的求法
例16．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 是一次函数且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(4)已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.
【解析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)∵ SKIPIF 1 < 0
由勾型函数 SKIPIF 1 < 0 的性质可得，其值域为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
(3)由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，
∴ SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①
∴将x用 SKIPIF 1 < 0 替换，得 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②解得f(x)=3x.
例17．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式
(1)已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是一次函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ①得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例18．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
(1)已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为__________．
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的实数x，y都有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式．
【解析】（1）方法一（换元法）：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
方法二（配凑法）： SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式.
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
变式8．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足： SKIPIF 1 < 0 的函数解析式为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 的解集为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】∵定义在 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在上式中令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
在同一坐标系中作出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图像，
可知这两个图像有2个交点，即 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
则方程 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
（2）当已知表达式为 SKIPIF 1 < 0 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含 SKIPIF 1 < 0 的式子配成 SKIPIF 1 < 0 ，用配凑法．若易换元后求出 SKIPIF 1 < 0 ，用换元法．
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出 SKIPIF 1 < 0 ．
题型七：函数值域的求解
例19．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 ；
（6） SKIPIF 1 < 0 ；
（7） SKIPIF 1 < 0 ；
（8） SKIPIF 1 < 0
（9） SKIPIF 1 < 0 ；
（10） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）分式函数 SKIPIF 1 < 0 ，
定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所有 SKIPIF 1 < 0 ，
故值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 中，分母 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）函数 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
易见函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是减函数，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时是递减的，故 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
故值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ，
故值域为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（6）函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，故值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（7）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由y的非负性知， SKIPIF 1 < 0 ，故函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（8）函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（9）函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所有 SKIPIF 1 < 0 ，故值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（10）函数 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据对勾函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增,
可知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故值域为 SKIPIF 1 < 0 .
例20．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 __．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
例21．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为_____
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率，
SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 表示圆 SKIPIF 1 < 0 上的点与点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率，
由图象可知：过 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，斜率必然存在，
则设过 SKIPIF 1 < 0 的圆 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 到切线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
结合图象可知：圆 SKIPIF 1 < 0 上的点与点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式10．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 有意义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【解题方法总结】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如 SKIPIF 1 < 0 ≥0， SKIPIF 1 < 0 及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如 SKIPIF 1 < 0 的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 SKIPIF 1 < 0 的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．
（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的函数，当ac>0时可利用单调性法．
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．
（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域．
题型八：分段函数的应用
例22．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
【答案】A
【解析】由分段函数知：当 SKIPIF 1 < 0 时，周期 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
例23．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-16B．16C．26D．27
【答案】C
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：D
变式12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】①当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无解，
若 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 无解，
若 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BCD.
变式13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】根据题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
其中当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，变形可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，无解；
综合可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，分析可得选项可得：ACD符合；
故选：ACD．
【解题方法总结】
1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．
1．（2020·山东·统考高考真题）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．（2014·江西·高考真题）已知函数f(x)= SKIPIF 1 < 0 (a∈R)，若 SKIPIF 1 < 0 ，则a=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】A
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得a= SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ________；若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .