(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第3章 第1讲　函数及其表示 (2份打包，原卷版+教师版)

第1讲　函数及其表示

一、知识梳理

1.函数的概念

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.

[注意]  函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.

3.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

[注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

常用结论

几种常见函数的定义域

(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合.

(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合.

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.

(5)指数函数的底数大于0且不等于1.

(6)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}.

二、教材衍化

1.下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)

A.y＝()2     B.y＝＋1     C.y＝＋1        D.y＝＋1

2.函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________.

3.函数y＝·的定义域是________.

4.已知函数f(x)＝则f(﹣2)＝________，f[f(﹣2)]＝________.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)

(2)函数f(x)＝x2﹣2x与g(t)＝t2﹣2t是同一函数.(　　)

(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.(　　)

(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点.(　　)

(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.(　　)

二、易错纠偏

常见误区(1)对函数概念理解不透彻；

(2)对分段函数解不等式时忘记范围；

(3)换元法求解析式，反解忽视范围.

1.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________.(填序号)

①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.

2.设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________.

3.已知f()＝x﹣1，则f(x)＝________.

考点一　函数的定义域(基础型)

学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

核心素养：数学抽象

角度一　求函数的定义域

(1)函数y＝的定义域为(　　)

A.(﹣1，3]        B.(﹣1，0)∪(0，3]

C. [﹣1，3]        D.[﹣1，0)∪(0，3]

(2)已知函数f(x)的定义域是[﹣1，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)

A.[0，1]        B.(0，1)      C.[0，1)        D.(0，1]

求函数定义域的两种方法

[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.

角度二　已知函数的定义域求参数

若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________.

已知函数的定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围.

1.函数f(x)＝＋ln(2x﹣x2)的定义域为(　　)

A.(2，＋∞)        B.(1，2)      C.(0，2)        D.[1，2]

2.如果函数f(x)＝ln(﹣2x＋a)的定义域为(﹣∞，1)，那么实数a的值为(　　)

A.﹣2        B.﹣1      C.1        D.2

3.已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(x)＋ 的定义域为(　　)

A.[0，3]        B.[0，2]     C.[1，2]        D.[1，3]

考点二　函数的解析式(基础型)

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

核心素养：数学运算

(1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)的解析式为________.

(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)﹣f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________.

(3)已知函数f(x)满足f(﹣x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________.

求函数解析式的4种方法

1.已知二次函数f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5，则f(x)＝________.

2.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1﹣x)，则当﹣1≤x≤0时，f(x)＝________.

考点三　分段函数(基础型)

通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

核心素养：数学抽象、数学运算

角度一　求分段函数的函数值

(1)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　)

A.﹣        B.2        C.4        D.11

(2)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则f(﹣m)＝________.

分段函数的求值问题的解题思路

(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.

角度二　分段函数与方程、不等式问题

(1)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f()＝(　　)

A.2        B.4        C.6        D.8

(2)设函数f(x)＝，则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A.(﹣∞，﹣1]     B.(0，＋∞)    C.(﹣1，0)        D.(﹣∞，0)

有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解.

1.已知函数f(x)＝若a[f(a)﹣f(﹣a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)

A.(1，＋∞)                  B.(2，＋∞)

C.(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)      D.(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞)

2.已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a﹣1)，则f()＝________.

考点四　函数的新定义问题(创新型)

复习指导所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数.函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数.给出下列函数：

①f(x)＝sin 2x；  ②g(x)＝x3；  ③h(x)＝()x；④φ(x)＝ln x.

其中是一阶整点函数的是(　　)

A.①②③④        B.①③④     C.①④        D.④

本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解.如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解.　

1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有(　　)

A.1个        B.2个       C.3个        D.4个

2.若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：

(1)∀x∈R，都有f(﹣x)＋f(x)＝0；

(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.

①f(x)＝sin x；②f(x)＝﹣2x3；③f(x)＝1﹣x；

以上三个函数中，________是“优美函数”.

[基础题组练]

1.函数y＝的定义域为(　　)

A.(1，＋∞)               B.[1，＋∞)

C.(1，2)∪(2，＋∞)        D.(1，2)∪[3，＋∞)

2.已知f(x﹣1)＝2x﹣5，且f(a)＝6，则a等于(　　)

A.﹣         B.        C.        D.﹣

3.(多选)下列四组函数中，f(x)与g(x)是相等函数的是(　　)

A.f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x

B.f(x)＝x，g(x)＝()2

C.f(x)＝x，g(x)＝

D.f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)

4.已知f(x)＝则f()＋f(﹣)的值等于(　　)

A.﹣2        B.4        C.2        D.﹣4

5.(多选)函数f(x)＝，x∈(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　)

A.f(x)＝f()      B.﹣f(x)＝f()    C.＝f()    D.f(﹣x)＝﹣f(x)

6.已知函数y＝f(2x﹣1)的定义域是[0，1]，则函数的定义域是(　　)

A.[1，2]        B.(﹣1，1]     C.[-，0]        D.(﹣1，0)

7.(创新型)定义a⊕b＝设函数f(x)＝ln x⊕x，则f(2)＋f()＝(　　)

A.4ln 2        B.﹣4ln 2       C.2        D.0

8.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)

A.|x|＝x|sgn x|        B.|x|＝xsgn|x|

C.|x|＝|x|sgn x        D.|x|＝xsgn x

9.若函数f(x)在闭区间[﹣1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________.

10.已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________.

11.设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________.

12.设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________.

[综合题组练]

1.下列四个函数：①y＝3﹣x；②y＝2x﹣1(x>0)；③y＝x2＋2x﹣10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为(　　)

A.1        B.2      C.3        D.4

2.(创新型)设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x)).若f(x)＝g(x)＝则(　　)

A.(f·f)(x)＝f(x)         B.(f·g)(x)＝f(x)

C.(g·f)(x)＝g(x)        D.(g·g)(x)＝g(x)

3.已知函数f(x)＝则f(x＋1)﹣9≤0的解集为________.

4.(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝﹣f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：

①f(x)＝x2；②f(x)＝；  ③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x﹣1.

其中是“美丽函数”的序号有________.