2023-2024学年吉林省长春108中八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春108中八年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  使分式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知点在函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在日常生活中，对某些技能的训练，新手的表现通常不太稳定以下是四名学生进行次射击训练之后的成绩统计图，请根据图中信息估计最可能是新手的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在菱形中，对角线，，则菱形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点是的中点，连结，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  若分式的值为，则的值为______．

10.  分式与的最简公分母是______ ．

11.  体育课中名同学的“一分钟跳绳”的成绩如表单位：个分：

则这组数据的中位数是______ ．

12.  如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为______ ．

13.  如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接若，则 ______ 度

14.  如图是函数，和在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断、和间的大小关系为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
先化简，再求值，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．

17.  本小题分
解方程：．

18.  本小题分
如图，将平行四边形的边延长到点，使，连结，交于点，，连结、求证：四边形是矩形．

19.  本小题分
净月潭国家森林公园是长春市市民休闲、健身的好去处，是国家级全民健身户外活动基地公园管理单位准备对其中一段长米的森林步道进行翻新，翻新米后，为了尽快完成任务，每天的工作效率比原计划提高，结果共用天完成翻新任务，求原计划每天翻新多少米森林步道？

20.  本小题分
某校为了解八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从八年一班和八年二班每班人中各随机抽取名学生进行测试，并对成绩单位：分，满分分进行整理、描述和分析部分信息如下：
收集数据
八年一班被抽取学生成绩：
八年二班被抽取学生成绩：
分析数据
根据以上信息，回答下列问题：

八年一班被抽取学生成绩在分以上含分的有______ 人
填空： ______ ， ______ ， ______ ．
在这次测试中，八年一班学生甲与八年二班学生乙的成绩都是分，若以上分析数据恰好与两个班级整体的平均数、中位数和众数相同，请判断两位学生在各自班级的排名谁更靠前，并说明理由．

21.  本小题分
图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
在图中以为边作正方形．
在图中以为边作菱形除正方形之外．
在图中以为对角线作平行形，且其面积为．

 

22.  本小题分
甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车同时从甲、乙两地出发，沿同一条公路相向而行，货车先以千米时的速度匀速行驶了千米后与轿车相遇，再以另一速度继续匀速行驶个小时到达乙地，轿车匀速行驶至甲地，两车到达各自的目的地后停止如图是货车和轿车两车各自距甲地的路程与行驶时间之间的函数图象或部分图象．
补全货车的函数图象．
求两车相遇后，货车距甲地的路程与行驶时间之间的函数关系式．
直接写出当轿车到达甲地时货车距乙地的路程．

23.  本小题分
【模型感知】如图，在正方形中，点是对角线上一点不与点和点重合，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结，求证：．
【模型发展】如图，在正方形中，点是对角线的延长线上一点，连结将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结，线段与的数量关系为______ ，与所在直线的位置关系为______ ．
【解决问题】如图，在正方形中，点是对角线的延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结，，若，则 ______ ．

 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线其中，为常数，经过点和点．
求该直线对应的函数关系式．
当点在直线上时，求的值．
点是直线其中为常数，经过的定点，求点的坐标．
当直线其中为常数，与线段有交点时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
．
解得：．
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零，从而得到．
本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义时，分式的分母不为零是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：把点代入函数，
得，
解得：．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征．把点代入函数解析式中求即可．
本题考查一次函数图象上点与函数解析式的关系，知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．

5.【答案】 

【解析】解：根据图中的信息可知，的成绩波动性大，
则新手最可能是；
故选：．
根据图中的信息找出波动性大的即可．
本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，再由三角形内角和定理得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，交于点，

四边形是菱形，，，
，，，，
，
菱形的周长为：．
故选：．
首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，对角线，，则可求得，的长，然后由勾股定理即可求得边的长，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点
，
点是的中点，
．
故选：．
根据反比例函数值的几何意义，先求出三角形的面积，再利用中线均分面积即可得到结果．
本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上的点的纵横坐标之积是定值．

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得且，
解得．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．

10.【答案】 

【解析】解：分式与的最简公分母是：
故答案为：
利用最简公分母的定义计算．
本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义．

11.【答案】 

【解析】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，处于中间位置的数是，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故答案为：．
先把这组数据按从小到大的顺序排列，再求出中间数即可．
本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积，
，
．
故答案为：．
由菱形的性质得到，，，由勾股定理求出，得到，由菱形的面积，即可求出．
本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的面积公式得到．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
根据垂直的定义及角的和差求出，根据矩形的性质推出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
此题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知正比例函数经过第二、四象限，
，
又反比例函数和图象在第一象限，且更远离坐标轴，
，
．
故答案为：．
根据正比例函数图象的性质：时，图象占一、三象限；时，图象占二、四象限，可判断根据反比例函数图象的性质：时，图象占一、三象限；时，图象占二、四象限，的绝对值越大，图象越远离坐标轴，可判断，即可求解．
本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质，根据函数图象判断出的取值范围是解题的关键．

15.【答案】解：原式
． 

【解析】利用有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．

16.【答案】解：



，
要使分式有意义，且，
所以不能为和，
取，
所以原式． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件得出不能为和，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．

17.【答案】解：方程两边都乘，得
，
解得．
经检验是增根．
原分式方程无解． 

【解析】本题的最简公分母是方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，然后根据，得到，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；通过角的关系得出，，得证．
此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．

19.【答案】解：设原计划每天翻新米森林步道，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：原计划每天翻新米森林步道． 

【解析】设原计划每天翻新米森林步道，根据共用天完成翻新任务得：，解方程并检验可得答案．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程．

20.【答案】       

【解析】解：八年一班被抽取学生成绩在分以上含分有，，，，，，共人．
故答案为：；
八年二班被抽取学生的平均数，
把八年一班被抽取学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是、，故中位数，
八年二班被抽取学生的成绩中出现的次数最多，故众数．
故答案为：，，；
乙学生在该年级的排名更靠前，理如下：
八年一班学生甲的成绩小于中位数分，其名次在该年级抽查的学生数的名之后，
八年二班学生乙的成绩大于中位数分，其名次在该年级抽查的学生数的名之前，
乙学生在该年级的排名更靠前．
根据题目给出的数据解答即可；
分别根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案．
本题主要考查众数、中位数及算术平均数，解题的关键是掌握中位数的定义和意义．

21.【答案】如图所示，四边形即为所求；

如图所示，菱形即为所求；

如图所示，平行四边形即为所求．
 

【解析】根据网格中的规律即可解答；
作出四条边相等的四边形即可；
确定另一个对角线即可确定四个顶点．
本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．

22.【答案】解：图象如图所示：

货车车先以千米时的速度匀速行驶千米后与轿车相遇，
货车行驶千米与轿车相遇，此时的时间，点的坐标为，
又货车在与轿车车相遇后以另一速度继续匀速行驶小时到达乙地；
点的坐标为，
设货车行驶段函数关系式为：，
将点，代入，
，
解得：．
两车相遇后，货车距甲地的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；
设轿车距离甲地的路程与行驶时间之间的函数关系为：，
将点，代入，可得

解得：，
则轿车满足的函数关系为：，
轿车到达甲地时用的时间即时，，
解得：，
此时货车满足；
货车距甲地路程，
当轿车到达甲地时货车距乙地的路程为． 

【解析】由已知货车从甲地先以千米时的速度匀速行驶了千米后，以另一速度匀速行驶到达乙地，故货车图象开始是正比例函数，即过，又行驶至乙地，走完全程，过，描点连线即得货车图象；轿车全程速度不变，过，描点连线即得轿车图象；先依题意求出点，的坐标，然后利用待定系数法可分别求出甲、乙两车各自距地的路程与行驶时间之间的函数关系
式；
先根据的函数关系式求出轿车到达甲地的时间，进而可求出货车车距甲地的路程，用总路程减去货车行驶的路程即可．
此题主要考查了一次函数、正比例函数的实际应用，解答此题的关键是理解题意，从函数的图象中提取正确的相关的解题信息，熟练掌握待定系数法求函数的解析式．

23.【答案】    

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
，，
，
≌，
；
解：四边形是正方形，
，，，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
，，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：，；
解：如图，过点作，交的延长线于，

四边形是正方形，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，，即可求解；
由“”可证≌，可得，，根据等腰直角三角形的性质求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

24.【答案】解：直线其中，为常数，经过点和点，
，
解得，
该直线对应的函数关系式为；
点在直线上，
，
解得，
的值为；
，为任意数，
，，
解得，，
点的坐标为；
把点和点分别代入，
得，，
解得或，
当直线其中为常数，与线段有交点时，的取值范围为或． 

【解析】利用待定系数法即可求出函数关系式；
把点代入解析式即可求出的值；
根据即可求出经过的定点的坐标；
分别把点和点分别代入，求出的值，即可得的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．