2023-2024学年吉林省长春外国语学校九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春外国语学校九年级（下）开学数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面的式子是分式的是( )
A. x2B. 3xC. 25D. x2y
2.今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示为( )
A. 30.479×105B. 3.0479×105C. 3.0479×106D. 3.0479×107
3.下列运算正确的是( )
A. a3−a2=aB. a2⋅a=a3C. (a2)3=a5D. a6÷a2=a3
4.如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，游乐场有一个长120cm的跷跷板AB，AB的支撑柱OH垂直地面于点H，O为AB的中点，当AB一端A着地时，∠BAH=25°，则支撑柱OH的长可表示为( )
A. 60cs25∘cmB. 60sin25∘cmC. 60sin25°cmD. 60tan25°cm
6.如图，已知AB/​/CD/​/EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=24，那么CE等于( )
A. 9
B. 4
C. 6
D. 3
7.如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD.若AB=8，AC=4，则△ACD的周长为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
8.双曲线C1：y=4x(x>0)和C2：y=2x(x>0)如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形OAPB的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：a2b−b= ．
10.关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
11.一桶方便面为x元，一瓶矿泉水比一桶方便面便宜2元，小明准备买2桶方便面和3瓶矿泉水，小明一共花的钱数为______元.
12.如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，则FG所对的圆周角∠FPG的大小为 度．
13.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1： 3，堤坝高BC=60米，则迎水坡面AB的长度为______米.
14.如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行使，并保持车辆顶部与隧道有不少于13米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为______米．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：x2−2x+1x2−1−xx+1，其中x=2．
16.(本小题6分)
从一副扑克牌中选取红桃A、方块A、梅花K三张扑克牌，正面朝下洗均后放在桌面上，小红先从中随机抽取一张，放回洗匀；小明再从中随机抽取一张，用画树状图(或列表)的方法，求小红和小明抽取的扑克牌的牌面都是A的概率．
17.(本小题6分)
2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢.某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
18.(本小题7分)
将两个完全相同的含有30°的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A、E、B、D依次在同一条直线上，连接AF、CD．
(1)判断四边形AFDC的形状，并给出证明．
(2)已知BC=8，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为______．
19.(本小题7分)
某校举办了“弘扬中华传统文化，做新时代的中学生”的知识竞赛.以下是从七年、八年两个年级随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：
七年级：76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
八年级：74 97 96 89 98 74 69 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
根据上面的数据，进行理、分析，给出以下信息：
说明：成绩90分及以上为优秀，60分以下为不合格)分析数据：
(1)求a= ______，b= ______，c= ______，d= ______；
(2)七年级按照竞赛规则凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励.如果想让一半左右的学生能获奖，应根据______来确定奖励标准比较合适(填“平均数”、“众数”或“中位数”)；
(3)若八年级有900名学生，试估计八年级学生成绩优秀的人数．
20.(本小题7分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
(1)在图1中作出BC边上的高AD；
(2)在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE=3：4；
(3)在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF=25．
21.(本小题8分)
甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)甲队在开挖后6小时内，每小时挖______m.
(2)当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式．
(3)直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
22.(本小题9分)
教材呈现：如图是华师大版数学九年级上册教材第77页的部分内容，猜想：如图在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想：DE/​/BC，且DE=12BC.对此，我们可以用演绎推理给出证明.(1)定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
(2)定理应用：如图②，已知矩形ABCD中，AD=8，CD=6，点P在BC上从B向C移动，
G、E、F分别是DC、AP、GP的中点，则EF= ______．
(3)拓展提升：在平行四边形ABCD中，AB=12，点E是CD的中点，过点A作∠ABC平分线的垂线，垂足为点F，连结EF，若EF=3，则BC= ______．
23.(本小题10分)
如图①，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE=2，动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0)
(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求PEQE的比值是多少？
(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；
(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，请直接写出t的取值范围．
24.(本小题12分)
如图，一次函数y=12x−2与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y=ax2−12x+c经过点A、B，并与x轴交于另一点C．
(1)点A的坐标是______，点B的坐标是______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在直线AB下方的抛物线上有一个点D，求这个四边形ACBD面积的最大值，并写出点D坐标；
(4)在x轴上有一个动点P(m,0)，当线段OA绕点P逆时针旋转90°后得到线段MN.当线段MN与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：上面的式子是分式的是3x，
故选：B．
一般地，如果A、B(B≠0)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，由此判断即可．
本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：3047900=3.0479×106．
故选：C．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.a3−a2，无法合并，故此选项不合题意；
B.a2⋅a=a3，故此选项符合题意；
C.(a2)3=a6，故此选项不合题意；
D.a6÷a2=a4，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：从正面看易得底层有3个正方形，上层中间有一个正方形．
故选：A．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5.【答案】C
【解析】解：∵O为AB的中点，AB=120cm，
∴OA=12AB=60(cm)，
在Rt△AOH中，∠BAH=25°，
∴OH=OA⋅sin25°=60⋅sin25°(cm)，
故选：C．
根据线段中点的定义可得OA=12AB=60cm，然后在Rt△AOH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD/​/EF，
∴ADDF=BCCE=3，
∴BC=3CE，
∵BC+CE=BE，
∴3CE+CE=24，
∴CE=6．
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理得到ADDF=BCCE=3，则BC=3CE，然后利用BC+CE=BE=12可计算出CE的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7.【答案】D
【解析】解：根据作图过程可知：
MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=4+8=12．
故选：D．
根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得CD=BD，进而可得△ACD的周长．
本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
8.【答案】B
【解析】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△AOC=S△BOD=12×2=1，S矩形PCOD=4，
∴四边形PAOB的面积=4−2×1=2．
故选：B．
根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=12×|2|=1，S矩形PCOD=|4|=4，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积．
本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9.【答案】b(a+1)(a−1)
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键，属于基础题．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：a2b−b
=b(a2−1)
=b(a+1)(a−1)．
故答案为：b(a+1)(a−1)．
10.【答案】k≤2且k≠1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+1=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=4−4(k−1)≥0且k−1≠0，
解得：k≤2且k≠1．
故答案为：k≤2且k≠1．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．以及方程的意义．
11.【答案】(5x−6)
【解析】解：2x+3(x−2)
=2x+3x−6
=5x−6，
故答案为：(5x−6)．
根据单价乘数量等于总价，用含有x的代数式表示即可．
本题考查了列代数式，解题的关键是利用合并同类项的方法来化简代数式．
12.【答案】60
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理与正六边形的性质．此题比较简单，注意掌握正六边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．
首先求得正六边形OABCDE的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【解答】
解：∵六边形OABCDE是正六边形，
∴∠AOE=180°×(6−2)6=120°，
即∠FOG=120°，
∴∠FPG=12∠FOG=60°．
故答案为：60．
13.【答案】120
【解析】解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1： 3，
∴BCAC= 33，
∵BC=60m，
∴AC=60 3m，
∴AB= AC2+CB2=120m，
故答案为：120．
根据题意可得BCAC= 33，把BC=60m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可
此题主要考查了解直角三角形的应用−坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
14.【答案】3
【解析】解：
建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意得：
A(0,6)，B(6,0)，
设抛物线解析式为y=ax2+6，把B(6,0)代入，得
a=−16，
所以抛物线的解析式为y=−16x2+6，
当x=4时，y=103，
103−13=3．
所以通过隧道车辆的高度限制应为3米．
故答案为3．
首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系．
15.【答案】解：x2−2x+1x2−1−xx+1
=(x−1)2(x+1)(x−1)−xx+1
=x−1x+1−xx+1
=−1x+1，
当x=2时，原式=−12+1=−13．
【解析】先将分式的分子和分母分解因式，然后约分，再计算减法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】解：树状图如图所示：
一共有9种情形，AA有4种情形
∴P(牌面都是A)=49．
【解析】画出树状图，利用概率公式计算即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是(1+20%)x元钱，
由题意得：2400x−2400(1+20%)x=10，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元钱．
【解析】设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是(1+20%)x元钱，根据该商场第二次同样用2400元购进的数量比第一次少10件，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】24
【解析】解：(1)四边形AFDC平行四边形，
理由：由题意得：△ACB≌△DFE，
∴AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°，
∴AC/​/DF，
∴四边形AFDC平行四边形；
(2)∵四边形AFDC是菱形，
∴CA=CD，
∴∠CAB=∠CDA=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2BC=16，∠ABC=90°−∠CAB=60°，
∵∠ABC是△CBD的一个外角，
∴∠DCB=∠ABC−∠CDA=30°，
∴∠DCB=∠CDA=30°，
∴BC=BD=8，
∴AD=AB+BD=16+8=24，
故答案为：24．
(1)利用全等三角形的性质可得AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°，从而可得AC/​/DF，然后根据平行四边形的判定即可解答；
(2)利用菱形的性质可得CA=CD，从而可得∠CAB=∠CDA=30°，然后在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AB=16，∠ABC=60°，最后利用三角形的外角性质可得∠DCB=∠CDA=30°，从而可得BC=BD=8，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了平行四边形的判定，含30度角的直角三角形，菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，以及菱形的性质是解题的关键．
19.【答案】3 8 89 77 中位数
【解析】解：(1)根据题意，得：七年级人数：70≤x≤79的有3人，即a=3；80≤x≤89的有8人，即b=8；
七年级知识竞赛的成绩的众数为89，即c=89，
八年级知识竞赛的成绩的中位数为：76+782=77，即d=77．
故答案为：3，8，89，77；
(2)七年级按照竞赛规则凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励．如果想让一半左右的学生能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适；
故答案为：中位数；
(3)900×820=360(人)，
答：估计八年级学生成绩优秀的人数大于为360人．
(1)根据题意中给出的数据，直接找出答案即可；
(2)根据中位数的定义即可得到结论；
(3)用总人数乘成绩优秀的人数所占的百分比即可得到结论．
本题主要考查中位数、众数、算术平均数用样本估计总体等，解决此类问题的关键是要细心处理相关数据．
20.【答案】解：(1)如图1，高AD即为所求．

(2)如图2，点E即为所求．

(3)如图3，点F即为所求．

【解析】(1)取格点G，连接AG，与BC交于点D，则AD即为所求；
(2)取格点P，Q，连接PQ，交AC于点E，则△AEP∽△CEQ，可得APCQ=AECE=34，即AE=34CE．
(3)取格点M，连接AM，此时AM=AC，∠CAM=90°，借助格点P与格点Q，在AM上找到点N，使得ANMN=2：3，即ANAC=25，再连接CN，交AB于点F，可得tan∠ACF=tan∠ACN=ANAC=25．
本题考查作图−应用与设计作图、三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
21.【答案】10
【解析】解：(1)根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖606=10(米)，
故答案为：10；
(2)设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系式为y乙=kx+b(k≠0)，
由图可知，函数图象过点(2,30)、(6,50)，
∴2k+b=306k+b=50，
解得k=5b=20，
∴当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙=5x+20；
(3)当0≤x≤2时，设y乙与x的函数解析式为y乙=mx，
可得2m=30，
解得m=15，
即y乙=15x；
设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲=k1x，
由图可知，函数图象过点(6,60)，
∴6k1=60，
解得k1=10，
∴y甲=10x；
当0≤x≤2时，15x−10x=5，
解得x=1；
当2解得x=3或x=5．
答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
(1)结合图象，用甲6小时挖的长度÷时间，即可得出结论；
(2)根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
(3)先用待定系数法求出y甲与x的之间的函数关系式以及当0≤x≤2时y乙与x的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为5米，列出方程，解方程即可．
此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
22.【答案】 732 3或9
【解析】解：(1)如图①中，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF//AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF//BC，DF=BC，
∵FE=DE，
∴DE=12DF，
∴DE/​/BC，DE=12BC；
(2)如图②，连接AG，
∵点G是CD的中点，
∴DG=12CD=3，
∴AG= AD2+DG2= 64+9= 73，
∵E、F分别是AP、GP的中点，
∴EF=12AG= 732；
(3)解：延长AD交∠ABC平分线于点G，延长FE交AB于点H，如图③，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AB=CD=12，
∴∠G=∠CBG，
∴∠G=∠ABG，
∴AG=AB=12，
∵AF⊥BG，
∴BF=FG，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴CEDE=BFFG=1，
∴EF//BC//AG，
∴FHAG=BFBG=12，
∴FH=12AG=6，
∵EF=3，
∴EH=FH−EF=6−3=3，
∵EF/​/BC，AB/​/CD，
∴四边形BCEH是平行四边形，
∴BC=EH=3；
如图④，
同理可得：FH=12AG=6，
∵EF=3，
∴EH=FH+EF=6+3=9，
∵EH//BC，AB/​/CD，
∴四边形BCEH是平行四边形，
∴BC=EH=9；
综上所述，BC=3或9，
故答案为：3或9．
(1)如图①中，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，利用全等三角形的性质证明四边形BDFC是平行四边形即可解决问题；
(2)由三角形中位线定理可得EF=12AG= 732；
(3)分点F在平行四边形ABCD内部和外部两种情况，延长AD交∠ABC平分线于点G，延长FE交AB于点H，由平行四边形的性质和角平分线的性质易得∠G=∠ABG，于是AG=AB=12，根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BG，BF=FG，于是由三角形中位线定理FH=12AG=6，进而求出EH，即可得到BC的值．
本题是四边形综合题，考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
23.【答案】2 5
【解析】(1)解：如图1所示，连接BQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAQ=∠ABE=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
当点P和点B重合时，
∴QE=AB=4，BE=2，
在Rt△QBE中，BQ= BE2+QE2= 42+22=2 5，
故答案为：2 5；
(2)解：如图2所示，
∵∠PEQ=90°，∠PBE=∠ECD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△PBE∽△ECD，
∴PEDE=BECD，
∵BE=2，CD=AB=4，
∴PEDE=BECD=12；
(3)证明：如图3所示，过点P作PH⊥BC于点H，
∵∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABHP是矩形，
∴PH=AB=4，
又∵EC=BC−BE=6−2=4，
∴PH=EC，
∴△PHE≌ECQ(ASA)，
∴PE=QE，
∴△PQE是等腰直角三角形；
(4)解：①如图4所示，当点P在BE上时，
∵QE=QF=4，AQ=BE=2，
在Rt△AQF中，AF= QF2−AQ2= 42−22=2 3，
则BF=4−2 3，
∵PE=t，
∴BP=2−t，PF=PE=t，
在Rt△PBF中，PF2=PB2+FB2，
∴t2=(4−2 3)2+(2−t)2，
解得：t=8−4 3，
当t<8−4 3时，点F在矩形内部，
∴0②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图5，
则PB=t−BE=t−2，PE=AP=AB−PB=4−(t−2)=6−t，
在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2，
∴(6−t)2=(t−2)2+22，
解得t=3.5；
③当点P在AD上，当F，D重合时，此时点Q与点C重合，如图6，
则PFQE是正方形，此时t=2+4+2=8．
综上所述，0(1)证明四边形ABEQ是矩形，进而在Rt△QBE中，勾股定理即可求解；
(2)证明△PBE∽△ECD，得出PEDE=BECD=12；
(3)过点P作PH⊥BC于点H，证明△PHE≌△ECQ得出PE=QE，即可得出结论；
(4)分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图，③当点P在AD上，当F，D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求解．
本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
24.【答案】(0,−2) (4,0)
【解析】解：(1)直线y=12x−2与y轴交于点A，与x轴交于点B，
当x=0时，y=0−2=−2．
当y=0时，0=12×x−2，x=4，
∴点A的坐标是(0,−2)，点B的坐标是(4,0)．
故答案为：(0,−2)，(4,0)；
(2)抛物线y=ax2−12x+c经过点A，点B，
∴16a−2+c=0c=−2，解得a=14c=−2．
∴抛物线的解析式为y=14x2−12x−2；
(3)作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，
设点D横坐标为d，
∴yF=12d−2，yD=14d2−12d−2，
DF=yF−yD，
则FD=−14d2+d，
抛物线上，y=0时，14x2−12x−2=0．
解得x1=−2，x2=4，
∴C(−2,0)，
∴BC=6，
∴S△ABC=12×6，2=6．
∴S△ABD=S△ADF+S△BDF=12×DF×OE+12×DF×BE=12×DF×OB=2DF=−12d2+2d．
∴S四边形ADBC=S△ABC+S△ADB=−12(d−2)2+8．
∴当d=2时，四边形ADBC面积最大值为8．
∴四边形ADBC面积最大值为8，点D坐标为(2,−2)；
(4)如图：
，
∵点P(m,0)，将线段OA绕点P逆时针旋转90°得到线段MN，
∴M(m,−m)，N(m+2,−m)，
当点N在抛物线上时，−m=14(m+2)2−12(m−2)−2，
解得m=−3± 17．
当点M在抛物线上时，−m=14m2−12m−2，
解得m=−4或2．
∴当−3− 17≤m≤−4或−3+ 17≤m≤2时，线段MN与抛物线只有一个公共点．
(1)根据坐标轴上的点的坐标特点，即可求得点的坐标．
(2)用待定系数法，列方程组，求抛物线的解析式．
(3)把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．
(4)根据旋转的特点，找出旋转前后点的坐标，得到点M，N恰好在抛物线上时m的值，从而得到m的取值范围．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，旋转的性质，综合性较强，先求出抛物线的解析式，利用数形结合思想解题是关键．成绩
人数
年级
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年
1
2
a
b
6
八年
0
1
10
1
8
年级
平均数
中位数
众数
七年
84
88.5
c
八年
84.2
d
74