2022-2023学年山东省青岛市莱西市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省青岛市莱西市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．对于下列命题，其中为真命题的是（    ）

A．所有的素数都是奇数

B．，是无理数

C．在平面直角坐标系中，至少有一个二次函数的图象与y轴不相交

D．命题“至少有一个整数n，使得为奇数”的否定

【答案】D

【分析】分别对各选项判断即可得出结论.

【详解】最小的素数是2,而2不是奇数，故A是假命题；

令，则是无理数，而是有理数，故B是假命题；

二次函数,令代入均有，故二次函数的图象与y轴相交，故C是假命题；

知: 当为奇数时, 为偶数, 当为偶数时, 为 奇数, 所以 不可能为奇数；故命题“至少有一个整数n，使得为奇数”是假命题,则命题的否定为真命题；

故选：D.

2．已知，化简，其结果为（    ）

A． B．4 C．5 D．7

【答案】C

【分析】利用对数与指数幂运算求解即可.

【详解】.

故选：C.

3．已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量，则下列选项正确的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据两点分布求，再根据期望、方差的性质求.

【详解】由题意可得：随机变量X服从两点分布，其中，

所以，

又因为，所以，

故A、B、C错误，D正确.

故选：D

4．若，且，则下列不等式中一定成立的是 （ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】题目已知，且，于是可以推出得到最大数和最小数,而为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的,逐一验证.

【详解】解：且.

当时,,则,与已知条件矛盾,所以必有,同理可得.

A项,，即，故A项正确;

B项,，即，故B项错误;

C项,时,,故C项错误;

D项,当,,时,,故D项错误.     

故选A

【点睛】本题主要考查给定条件判断不等式的性质，注意考虑的正负.

5．某工厂经过节能降耗技术改造后，在生产其产品的过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的一些数据如下表所示：

已知根据所给数据得到的y关于x的经验回归方程为，对应的经验回归直线为l.现发现表中有个数据看不清，且用m来表示，则下列说法正确的为（    ）

A．看不清的数据

B．l过点

C．据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为33.2吨

D．l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗就一定能增加5.3吨

【答案】B

【分析】根据经验回归的概念和性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：由题意可得：，则，

可得，解得，故A错误；

对于选项B：因为经验回归直线l过样本中心点，即，故B正确；

对于选项C：令时，则，

所以据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为34.2吨，故C错误；

对于选项D：l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗大约增加5.3吨，并不是一定，故D错误；

故选：B.

6．函数的零点的个数及其分布情况为（    ）

A．的零点个数为1，在内

B．的零点个数为2，分别在，内

C．的零点个数为3，分别在，，内

D．的零点个数为3，分别在，，内

【答案】D

【分析】利用导数判断原函数单调性，结合零点存在性定理分析判断.

【详解】由题意可得：，

令，解得或；令，解得；

则在上单调递减，在上单调递增，

且，又因为函数图象连续不间断，

所以的零点个数为3，分别在，，内.

故选：D.

7．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（    ）

A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43

【答案】C

【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.

【详解】设事件表示“两道题全做对”，

若两个题目都有思路，则,

若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，

故,

故选：C

8．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递减，由将原不等式转化为和，函数的单调性解不等式即可.

【详解】由，得，

因为，所以，

即，设，

则在上单调递减，

而，

则，解得：；

因为为R上的奇函数，所以，

则为R上的偶函数，故在上单调递增，

，

则，解得：；

综上，原不等式的解集为.

故选：B.

二、多选题

9．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ）

A． B．A的不同子集的个数为8

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断.

【详解】由题意可知：，，

所以，故A正确；

集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确；

，故C正确；

因为，所以，故D错误；

故选：ABC.

10．甲、乙、丙、丁、戊、己六名学生站成一排照相，则下列选项正确的为（    ）

A．若甲和乙站在两端，则不同站法的种数为48

B．若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为480

C．若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为48

D．若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为72

【答案】ACD

【分析】利用分步乘法原理，结合捆绑法、间接法与插空法对选项逐一分析判断即可.

【详解】对于A，由于甲和乙站在两端，故有种站法，

再将其余四人全排列，有种站法，

所以一共有种不同站法，故A正确；

对于B，六名学生全排列有种站法，

甲站排头有种站法，乙站排尾种站法，

甲站排头且乙站排尾有种站法，

所以甲不站排头，乙不站排尾有种不同站法，故B错误；

对于C，乙和丙相邻，丁和戊相邻，将他们分别捆绑在一起，共有种方法，

将他们看作两个元素，与甲、己进行排列，由于甲不站两端，故有种方法，

所以甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻有种不同站法，故C正确；

对于D，将甲、乙、丙全排列，有种站法，

将丁、戊、己全排列，也有种站法，

将甲、乙、丙插到丁、戊、己之间的空隙中，有种方法，

所以甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻有种不同站法，故D正确.

故选：ACD.

11．已知函数，若，则下列选项中正确的为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BD

【分析】利用导数说明的单调性，求出的最大值，即可判断A、B，令，利用导数说明单调性，即可判断C，令，利用导数说明单调性，即可判断D.

【详解】因为，所以，所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，且当时，当时，

又，若成立，即在上单调递减，显然不符合题意，故A错误；

因为，所以，故B正确；

令，则，当时，

所以在上单调递增，因为，所以，即，故C错误；

令，则，

令，，则，所以当时，

即在上单调递增，则，

所以在上恒成立，所以在上单调递增，

因为，所以，即，即，故D正确；

故选：BD

12．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用配方法求出函数值域可判断A；的解集为可判断B；利用韦达定理可判断CD.

【详解】函数，

因为函数的值域为，

所以，即，故A错误；

对于B，由得，

因为的解集为，所以，故B错误；

对于C，由、得，故C正确；

对于D，由得，

因为的解集为，所以，

得，

所以，整理的，故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．函数的定义域为         .

【答案】

【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域.

【详解】由函数解析式知：，解得，

故答案为：.

14．在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为      （用数字填写答案）；

【答案】280

【分析】依题意可得，即可求出，再写出展开式的通项，从而求出展开式中的系数.

【详解】依题意可得，则，

所以展开式的通项为（且），

令，解得，

所以，所以展开式中的系数为.

故答案为：

15．已知随机变量服从正态分布，且方程有实数根的概率为0.5.若，则      ；

【答案】0.5/

【分析】根据题意结合二次方程的判别式可得，进而结合正态分布的对称性运算求解.

【详解】若方程有实数根，则，解得，

可得，则，

所以.

故答案为：.

16．若函数（且）既有极大值又有极小值，则a的取值范围为      .

【答案】且.

【分析】先求导，令，由导数研究函数的图象，有两个不相等的实数根则等价于既有极大值又有极小值，从而得解.

【详解】由题，

令，则，

所以有两个不相等的实数根.

令，则，

若，则时，在单调递减，

则时，在单调递增，

，

所以，

故，

若，则时，在单调递增，

则时，在单调递减，

，

所以，

故或，

所以且.

故答案为：且.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

四、解答题

17．某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且.

(1)求该文娱队的队员人数；

(2)求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】(1)7

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人，利用，可得，从而可求出结果，

（2）由题意可知可能的取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列和数学期望.

【详解】（1）设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人.

，

即，化简得，又，解得：，

该文娱队的队员人数为7；

（2）可能的取值为0，1，2，

由（1）可知，该文娱队共有7人，既会唱歌又会跳舞的有2人，只会一项的是5人.

，，

，

的分布列为

.

18．已知函数的定义域为A，的解集为B，，函数的值域为D.

(1)若“”是“”的充分条件，求m的取值范围；

(2)若，且，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意求集合A，B，由充分条件可知，列式求解即可；

（2）先由解得，再求解集合D，结合子集关系运算求解.

【详解】（1）因为，

，

所以，

又因为“”是“”的充分条件，可得

则，解得，

所以m的取值范围为.

（2）因为，则，解得，

因为，可得，

由可得：，解得或，

所以，

可知，

又因为，则，解得，

综上可知：m的取值范围.

19．已知是定义在实数集上的偶函数，当时，.

(1)求在实数集上的解析式；

(2)判断在上的单调性；

(3)设，，，，试比较a，b，c，d的大小，请写出判断过程并按从大到小的顺序排起来，用“>”连接.

【答案】(1)，

(2)在上为减函数

(3)过程见解析，

【分析】（1）利用的奇偶性求得时的解析式，从而求得在实数集上的解析式；

（2）利用导数法或定义法，结合指数函数的性质即可得解；

（3）利用指数函数与对数函数的性质判断得自变量的大小，从而利用的单调性即可得解.

【详解】（1）因为当时，，

所以当时，，则，

是定义在实数集R上的偶函数，

，从而，

又当时，

综上可知，对于，

（2）法一：导数法

因为当时，，

所以，

，，从而，，

在上为减函数.

法二：定义法

因为当时，，

所以，且，

有，

，，从而，

，，从而，，

又，，

，从而，

在上为减函数.

（3）是定义在实数集R上的偶函数，

，，

，

，

又，

，

由（2）可知，在上为减函数，

.

20．某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的.

(1)根据所给信息完成下列列联表：

(2)基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关?

(3)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求.

附：，

【答案】(1)列联表见解析；

(2)有关；

(3)34.

【分析】（1）根据给定信息计算，完善列联表.

（2）求出的观测值，与临界值表比对作答.

（3）求出的可能值及各个值对应的概率，再求出期望作答.

【详解】（1）设男性患者人数为m，则女性患者人数为，由可得：，

因此男性患者人数为1200，女性患者人数为600，

男性患A型疾病的人数为，女性患A型疾病的人数是

列联表如下：

（2）零假设：所患疾病的类型与性别无关，

根据列联表中的数据，经计算得到，

由于，

依据小概率值的独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.

（3）接种疫苗的费用可能的取值为27，54，

，，

则的分布列为

期望为.

21．定义一种新的运算“”：，都有.

(1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系；

(2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；

(3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

(3)且

【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解；

（2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可；

（3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围.

【详解】（1），

，

（2）

原不等式可化为：，即，

为满足题意，必有，即或①

令，

由于，，结合①可得：，

的一个零点在区间，另一个零点在区间，

从而，即②

由①②可得：或

（3），

设，

令，，则，

，

，

的值域为

，

的值域为

根据题意可知：，

解之得：且

【点睛】关键点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之.

22．已知函数（且），

(1)讨论函数的极值；

(2)当时，若在上恒成立，求实数b的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性、极值；

（2）恒成立问题，分离参数得到：，令，则,求导，利用导数研究函数的单调性，找到最小值.

【详解】（1）的定义域为，

当时，，，在上为增函数，

此时没有极值；

当时，由可得：，

时，，为减函数；

时，，为增函数

没有极大值，仅有一个极小值，

；

综上所述：当时，没有极值；

当时，，无极大值.

（2）当时，

分离参数得：.

令，则，

令，则，在上为增函数，

由于，，所以，使得.

当时，，，为减函数；

当时，，，为增函数，

，

由可得：，

从而（*），

令，则（*）可表示为：，

，，故为增函数，

从而，

也即，，

从而.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．