山东省青岛市莱西市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

高二学业水平阶段性检测（四）

数学试题

本试卷共22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将答题卡上交.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 对于下列命题，其中为真命题的是（    ）

A. 所有的素数都是奇数

B. ，是无理数

C. 在平面直角坐标系中，至少有一个二次函数的图象与y轴不相交

D. 命题“至少有一个整数n，使得为奇数”的否定

【答案】D

【解析】

【分析】分别对各选项判断即可得出结论.

【详解】最小的素数是2,而2不是奇数，故A是假命题；

令，则是无理数，而是有理数，故B是假命题；

二次函数,令代入均有，故二次函数的图象与y轴相交，故C是假命题；

知: 当为奇数时, 为偶数, 当为偶数时, 为 奇数, 所以 不可能为奇数；故命题“至少有一个整数n，使得为奇数”是假命题,则命题的否定为真命题；

故选：D.

2. 已知，化简，其结果为（    ）

A.  B. 4 C. 5 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】利用对数与指数幂运算求解即可.

【详解】.

故选：C.

3. 已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量，则下列选项正确的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据两点分布求，再根据期望、方差的性质求.

【详解】由题意可得：随机变量X服从两点分布，其中，

所以，

又因为，所以，

故A、B、C错误，D正确.

故选：D

4. 若，且，则下列不等式中一定成立的是 （ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】题目已知，且，于是可以推出得到最大数和最小数,而为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的,逐一验证.

【详解】解：且.

当时,,则,与已知条件矛盾,所以必有,同理可得.

A项,，即，故A项正确;

B项,，即，故B项错误;

C项,时,,故C项错误;

D项,当,,时,,故D项错误.    

故选A

【点睛】本题主要考查给定条件判断不等式的性质，注意考虑的正负.

5. 某工厂经过节能降耗技术改造后，在生产其产品的过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的一些数据如下表所示：

已知根据所给数据得到的y关于x的经验回归方程为，对应的经验回归直线为l.现发现表中有个数据看不清，且用m来表示，则下列说法正确的为（    ）

A. 看不清的数据

B. l过点

C. 据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为33.2吨

D. l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗就一定能增加5.3吨

【答案】B

【解析】

【分析】根据经验回归的概念和性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：由题意可得：，则，

可得，解得，故A错误；

对于选项B：因为经验回归直线l过样本中心点，即，故B正确；

对于选项C：令时，则，

所以据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为34.2吨，故C错误；

对于选项D：l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗大约增加5.3吨，并不是一定，故D错误；

故选：B.

6. 函数的零点的个数及其分布情况为（    ）

A. 的零点个数为1，在内

B. 的零点个数为2，分别在，内

C. 的零点个数为3，分别在，，内

D. 的零点个数为3，分别在，，内

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数判断原函数单调性，结合零点存在性定理分析判断.

【详解】由题意可得：，

令，解得或；令，解得；

则在上单调递减，在上单调递增，

且，又因为函数图象连续不间断，

所以的零点个数为3，分别在，，内.

故选：D.

7. 某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（    ）

A. 0.34 B. 0.37 C. 0.42 D. 0.43

【答案】C

【解析】

【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.

【详解】设事件表示“两道题全做对”，

若两个题目都有思路，则,

若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，

故,

故选：C

8. 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递减，由将原不等式转化为和，函数的单调性解不等式即可.

【详解】由，得，

因为，所以，

即，设，

则在上单调递减，

而，

则，解得：；

因为为R上的奇函数，所以，

则为R上的偶函数，故在上单调递增，

，

则，解得：；

综上，原不等式的解集为.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（    ）

A.  B. A的不同子集的个数为8

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断.

【详解】由题意可知：，，

所以，故A正确；

集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确；

，故C正确；

因为，所以，故D错误；

故选：ABC.

10. 甲、乙、丙、丁、戊、己六名学生站成一排照相，则下列选项正确的为（    ）

A. 若甲和乙站在两端，则不同站法的种数为48

B. 若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为480

C. 若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为48

D. 若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为72

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用分步乘法原理，结合捆绑法、间接法与插空法对选项逐一分析判断即可.

【详解】对于A，由于甲和乙站在两端，故有种站法，

再将其余四人全排列，有种站法，

所以一共有种不同站法，故A正确；

对于B，六名学生全排列有种站法，

甲站排头有种站法，乙站排尾种站法，

甲站排头且乙站排尾有种站法，

所以甲不站排头，乙不站排尾有种不同站法，故B错误；

对于C，乙和丙相邻，丁和戊相邻，将他们分别捆绑在一起，共有种方法，

将他们看作两个元素，与甲、己进行排列，由于甲不站两端，故有种方法，

所以甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻有种不同站法，故C正确；

对于D，将甲、乙、丙全排列，有种站法，

将丁、戊、己全排列，也有种站法，

将甲、乙、丙插到丁、戊、己之间的空隙中，有种方法，

所以甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻有种不同站法，故D正确.

故选：ACD.

11. 已知函数，若，则下列选项中正确的为（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用导数说明的单调性，求出的最大值，即可判断A、B，令，利用导数说明单调性，即可判断C，令，利用导数说明单调性，即可判断D.

【详解】因为，所以，所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，且当时，当时，

又，若成立，即在上单调递减，显然不符合题意，故A错误；

因为，所以，故B正确；

令，则，当时，

所以在上单调递增，因为，所以，即，故C错误；

令，则，

令，，则，所以当时，

即在上单调递增，则，

所以在上恒成立，所以在上单调递增，

因为，所以，即，即，故D正确；

故选：BD

12. 已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用配方法求出函数值域可判断A；的解集为可判断B；利用韦达定理可判断CD.

【详解】函数，

因为函数的值域为，

所以，即，故A错误；

对于B，由得，

因为解集为，所以，故B错误；

对于C，由、得，故C正确；

对于D，由得，

因为的解集为，所以，

得，

所以，整理的，故D正确.

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域为_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域.

【详解】由函数解析式知：，解得，

故答案为：.

14. 在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为______（用数字填写答案）；

【答案】280

【解析】

【分析】依题意可得，即可求出，再写出展开式的通项，从而求出展开式中的系数.

【详解】依题意可得，则，

所以展开式的通项为（且），

令，解得，

所以，所以展开式中的系数为.

故答案为：

15. 已知随机变量服从正态分布，且方程有实数根的概率为0.5.若，则______；

【答案】0.5##

【解析】

【分析】根据题意结合二次方程的判别式可得，进而结合正态分布的对称性运算求解.

【详解】若方程有实数根，则，解得，

可得，则，

所以.

故答案为：.

16. 若函数（且）既有极大值又有极小值，则a的取值范围为______.

【答案】且.

【解析】

【分析】先求导，令，由导数研究函数的图象，有两个不相等的实数根则等价于既有极大值又有极小值，从而得解.

【详解】由题，

令，则，

所以有两个不相等的实数根.

令，则，

若，则时，在单调递减，

则时，在单调递增，

，

所以，

故，

若，则时，在单调递增，

则时，在单调递减，

，

所以，

故或，

所以且.

故答案为：且.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且.

（1）求该文娱队的队员人数；

（2）求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】（1）7    （2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人，利用，可得，从而可求出结果，

（2）由题意可知可能的取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列和数学期望.

【小问1详解】

设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人.

，

即，化简得，又，解得：，

该文娱队的队员人数为7；

【小问2详解】

可能的取值为0，1，2，

由（1）可知，该文娱队共有7人，既会唱歌又会跳舞的有2人，只会一项的是5人.

，，

，

的分布列为

.

18. 已知函数的定义域为A，的解集为B，，函数的值域为D.

（1）若“”是“”的充分条件，求m的取值范围；

（2）若，且，求m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意求集合A，B，由充分条件可知，列式求解即可；

（2）先由解得，再求解集合D，结合子集关系运算求解

【小问1详解】

因为，

，

所以，

又因为“”是“”的充分条件，可得

则，解得，

所以m的取值范围为.

【小问2详解】

因为，则，解得，

因为，可得，

由可得：，解得或，

所以，

可知，

又因为，则，解得，

综上可知：m的取值范围.

19. 已知是定义在实数集上的偶函数，当时，.

（1）求在实数集上的解析式；

（2）判断在上的单调性；

（3）设，，，，试比较a，b，c，d的大小，请写出判断过程并按从大到小的顺序排起来，用“>”连接.

【答案】（1），   

（2）在上为减函数   

（3）过程见解析，

【解析】

【分析】（1）利用的奇偶性求得时的解析式，从而求得在实数集上的解析式；

（2）利用导数法或定义法，结合指数函数的性质即可得解；

（3）利用指数函数与对数函数的性质判断得自变量的大小，从而利用的单调性即可得解.

【小问1详解】

因为当时，，

所以当时，，则，

是定义在实数集R上的偶函数，

，从而，

又当时，

综上可知，对于，

【小问2详解】

法一：导数法

因为当时，，

所以，

，，从而，，

在上为减函数.

法二：定义法

因为当时，，

所以，且，

有，

，，从而，

，，从而，，

又，，

，从而，

在上为减函数.

【小问3详解】

是定义在实数集R上的偶函数，

，，

，

，

又，

，

由（2）可知，在上为减函数，

.

20. 某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的.

（1）根据所给信息完成下列列联表：

（2）基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关?

（3）某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求.

附：，

【答案】（1）列联表见解析；   

（2）有关；    （3）34.

【解析】

【分析】（1）根据给定信息计算，完善列联表.

（2）求出的观测值，与临界值表比对作答.

（3）求出的可能值及各个值对应的概率，再求出期望作答.

【小问1详解】

设男性患者人数为m，则女性患者人数为，由可得：，

因此男性患者人数为1200，女性患者人数为600，

男性患A型疾病的人数为，女性患A型疾病的人数是

列联表如下：

【小问2详解】零假设：所患疾病的类型与性别无关，

根据列联表中的数据，经计算得到，

由于，

依据小概率值的独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.

【小问3详解】

接种疫苗的费用可能的取值为27，54，

，，

则的分布列为

期望为.

21. 定义一种新的运算“”：，都有.

（1）对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系；

（2）若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；

（3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或   

（3）且

【解析】

【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解；

（2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可；

（3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围.

【小问1详解】

，

，

【小问2详解】

原不等式可化为：，即，

满足题意，必有，即或①

令，

由于，，结合①可得：，

的一个零点在区间，另一个零点在区间，

从而，即②

由①②可得：或

【小问3详解】

，

设，

令，，则，

，

，

的值域为

，

的值域为

根据题意可知：，

解之得：且

【点睛】关键点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之.

22. 已知函数（且），

（1）讨论函数的极值；

（2）当时，若在上恒成立，求实数b的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，利用导数研究函数单调性、极值；

（2）恒成立问题，分离参数得到：，令，则,求导，利用导数研究函数的单调性，找到最小值.

【小问1详解】

的定义域为，

当时，，，在上为增函数，

此时没有极值；

当时，由可得：，

时，，为减函数；

时，，为增函数

没有极大值，仅有一个极小值，

；

综上所述：当时，没有极值；

当时，，无极大值.

【小问2详解】

当时，

分离参数得：

令，则，

令，则，在上为增函数，

由于，，所以，使得.

当时，，，为减函数；

当时，，，为增函数，

，

由可得：，

从而（*），

令，则（*）可表示为：，

，，故为增函数，

从而，

也即，，

从而.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；