2022-2023学年山东省青岛市莱西市高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛市莱西市高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，，则下列选项正确的为（    ）

A． B．的子集的个数为1024个

C． D．的非空真子集的个数为6个

【答案】D

【分析】由集合的运算确定集合,再由子集定义判断BD.

【详解】，

又，，所以，

，

的子集个数为，

的子集有8个，非空真子集有6个，

只有D正确．

故选：D．

2．已知函数，则的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】二次根式中被开方数不小于0,以及分母不为0，由此可得定义域．

【详解】由题意，解得且，

故选：B．

3．命题“”的否定为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】由全称量词命题的否定直接求得.

【详解】用存在量词否定全称量词命题，

所以命题“”的否定为“”.

故选：C

4．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】B

【分析】利用不等式的性质，结合特值法，判断每个选项即可.

【详解】对于A，当时，不成立，故A错误；

对于B，由，根据不等式的性质，可得，故B正确；

对于C，取，可知不成立，故C错误；

对于D，取，可知不成立，故D错误，

故选：B．

5．下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别比较定义域与对应关系是否与函数一致

【详解】对A，，与函数一致，A对；

对B，，与函数定义域不一致，B错；

对C，，与函数，对应关系不一致，C错；

对D，，与函数定义域不一致，D错.

故选：A

6．函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据解析式求出定义域,再对函数解析式进行分离常数,最后确定值域即可.

【详解】解:由题知,,

,

,

,

即值域为.

故选:B

7．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图象提供的信息：定义域，尽量大时函数值的正负，的解的正负判断．

【详解】由函数图象知，因此，

当时，，因此，

又，所以．

故选：C．

8．设函数，若实数满足：，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数的图象，数形结合，计算求解即可.

【详解】作函数的图象，如图，

设，，

所以，，，

所以，，，

故，

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象是一条直线

B．若函数为幂函数，则m=1

C．命题“所有的素数都是奇数”的否定是真命题

D．与比较接近的数可以构成一个集合

【答案】BC

【分析】根据函数的定义判断A，幂函数的定义判断B，写出命题的否定然后判断真假后判断C，根据集合的定义判断D．

【详解】函数的图象是由孤立的点构成，不是直线，A错；

若函数为幂函数，则，，B正确 ；

命题“所有的素数都是奇数”的否定是：不是所有的素数都是奇数也可写成：存在素数不是奇数，此命题是真命题，因为2是素数，它是偶数．C正确；

与比较接近的数不能构成一个集合，与集合中元素的确定性不合．D错．

故选：BC．

10．若“”为真命题，则下列选项中实数a可以取到的值为（    ）

A． B． C．4 D．10

【答案】AD

【分析】按的正负分类讨论求得的范围即可得．

【详解】，即时满足题意，

时，不等式为，满足题意，

时，，或，

综上，或，只有AD满足．

故选：AD．

11．已知,则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式,将选项A,C进行变形解得即可,选项B,D用“1”的代换即可证明求得.

【详解】解:由题知,

则由基本不等式得,,即,

当且仅当时取等,

关于选项A,

即,故选项A 正确;

关于选项B,

,

当且仅当,即时取等,即成立,

故选项B错误;

关于选项C,

,

,,

即,故选项C 正确;

关于选项D,

当且仅当,即时取等,,

故选项D正确.

故选:ACD

12．已知符号函数，下列选项正确的是（    ）

A．方程的解集为

B．

C．关于的不等式的解集为

D．函数的值域为

【答案】BC

【分析】对分类讨论，确定，根据题意，依次分析求解各选项，即可得答案．

【详解】对于A，当时，方程化为，解得；

当时，方程化为，解得；

当时，方程化为，解得．

综上，方程的解集为，故A错误；

对于B，当时，，，则；

当时，，则；

当时，，，则，

综上可知，B正确；

对于C，，

当即时，不等式可化为，即，解得；

当即时，不等式可化为，不成立；

当即时，不等式可化为，即，解得；

综合可得，不等式的解集为，故C正确；

对于D，，

当时，；当时，；当时，，

综合可得：函数的值域为，故D错误，

故选：BC．

三、填空题

13．设，则___________.

【答案】##

【分析】根据指数幂的运算性质求解.

【详解】

故答案为：.

14．已知为定义在上的偶函数,当时,,则当时,___________.

【答案】##6+5x

【分析】当,则,将代入解析式,根据偶函数定义即可得出结果.

【详解】解:由题知,为偶函数,则有,

,,

则当时,,

,

,

.

故答案为:

15．若关于的不等式的解集为或,则___________.

【答案】1

【分析】根据解集先判断的正负,其次根据一元二次不等式的解集也即是一元二次方程的两根,利用韦达定理求出,即可求出结果.

【详解】解:由题知不等式的解集为或,

,且的两根分别为,

由韦达定理可知:

,

,

.

故答案为:1

16．已知，若“”是“函数在区间上为增函数”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先求出函数在区间上为增函数时的范围，再由必要不充分条件求解的范围．

【详解】函数在区间上为增函数，

时，符合题意；

时，，，

时，，，

综上，即，

又“”是“”的必要不充分条件，

所以，解得．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合，.

(1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围；

(2)若，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合，并计算出，由充分条件得集合的包含关系，由此可得参数范围；

（2）由得出参数满足的不等关系，再由得出参数满足的不等关系，然后联立可解得结论．

【详解】（1）由可得：或，.

由可得：或，或

“”是“”的充分条件，

，

；

（2）

且①

②

由①②可㥂：

18．解关于实数的不等式：.

【答案】答案见解析

【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解（注意的正负区别）．

【详解】当时，不等式可化为

，不等式的解集为

若，由可得：或

因为，所以

当时，，不等式的解集为或

当时，，不等式的解集为

当时，，不等式的解集为.

当时，，不等式的解集为.

19．试分别解答下列两个小题：

(1)已知函数，解不等式：.

(2)若奇函数是定义在上的减函数，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）可转化为： ，分别求解取并集即可；

（2）由奇函数及减函数性质可将等价为，再结合函数定义域不等式求解即可.

【详解】（1）因为，所以可以转化为： ，

解得：或，即，

不等式的解集为；

（2）函数定义在上，①，

由可得：，

因为为奇函数，所以，

因为为减函数，所以②，

由①和②解得：或.

故实数的取值范围为.

20．已知指数函数，且的图象过点，.

(1)若，求的取值范围；

(2)判断在上的单调性；

(3)设，试比较的大小，并将它们按从小到大的顺序排起来.

【答案】(1)；

(2)函数在上为增函数；

(3).

【分析】（1）由题可得，然后根据二次不等式的解法及指数函数的单调性即得；

（2）利用函数单调性的定义结合指数函数的性质即得；

（3）根据指数函数及幂函数的单调性可得，然后利用函数的单调性即得.

【详解】（1）过点，

∴，解得，

∴，

于是可化为：，

令，则，

∴，即，

所以；

（2）由题可知，

，且，则

，

，

∴，从而，

，且，

∴，从而，

， ，

，即，

在上为增函数；

（3），

，

在上为增函数，

.

21．某航空集团引进了一条发动机装配流水线，已知在一个季度内这条流水线装配的发动机数量x（台）与销售收入y（万元）之间有这样的函数关系：（为常数），且满足下表：

(1)若这家航空集团希望在一个季度内利用这条流水线使销售收入不少于6000万元，那么它在该季度内至少要装配多少台发动机？

(2)若这家航空集团希望在一个季度内利用这条流水线使销售收入最大，那么它在该季度内要装配多少台发动机？并求出销售收入的最大值.

【答案】(1)至少要配装50台发动机

(2)要装配55台发动机才能使销售收入在一个季度内最大，最大值为6050万元

【分析】（1）由已知数据列方程组求得值得函数解析式，然后解不等式可得；

（2）由二次函数性质得最大值．

【详解】（1）根据题意，对于

当时，；当对，.

解得

设这家航空集团在一个季度门至少要装配x台发动机，才能使这条流水线的销售收入不少于6000万元，则

化简得，解得：

所以至少要配装50台发动机

（2）

当时，

故要装配55台发动机才能使销售收入在一个季度内最大，最大值为6050万元

22．已知函数的图象过点.

(1)讨论在区间上的单调性；

(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)在区间上为减函数，函数在区间上为增函数

(2)或

【分析】（1）代入已知点坐标求得值，然后由单调性的定义确定单调性；

（2）求出和的值域，由的值域包含于的值域可得参数范围．

【详解】（1）的图象过点，

.

此时

设，且，则

当时，由于，所

以，

，即

函数在区间上为减函数

当吋，由于，

所以，

，即

函数在区间上为增函数

（2）由（1）可知：在区间上为减函数，在区间上

为增函数，

的最大值只能是和中的最大者，

由于，所以

从而

记函数的值域为，由题意可知：

当，即时，，不合题意；

当，即时，为增函数，，

当，即时，为减函数，，

综上可知：或，

【点睛】方法点睛：

不等式恒成立问题的转化方法：

在区间上的值域为，在区间上的值域为，

若对任意的，总存在，使得，

若对任意的，总存在，使得，

若对任意的，总存在，使得，

若对任意的，对任意，总成立，

若存在，存在，使得成立．