2022-2023学年山东省聊城市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省聊城市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.

【详解】因为全集，，，则，，

因此，.

故选：D.

2．若为离散型随机变量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由方差的性质结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】由，解得，

则“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．今年2月份教育部教育考试院给即将使用新高考卷的吉林、黑龙江、安徽、云南命制了一套四省联考题，测试的目的是教考衔接，平稳过渡．假如某市有40000名考生参加了这次考试，其数学成绩服从正态分布，总体密度函数为，且，则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为（    ）

A．4000 B．3000 C．2000 D．1000

【答案】C

【分析】由对称性计算概率，进而得出所求人数.

【详解】由总体密度函数解析式可知，，

由对称性可知，，

则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为人.

故选：C

4．设，，，则、、的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用对数函数的单调性结合中间值可得出、、的大小关系.

【详解】，即.

故选：A.

5．若函数存在极值点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析可知，对于函数，，即可解得实数的取值范围.

【详解】因为，则，

因为函数存在极值点，则对于函数，，

解得或，故实数的取值范围是.

故选：A.

6．毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（    ）

A．40种 B．20种 C．180种 D．90种

【答案】D

【分析】可看成6位同学分成3组.

【详解】按列选取，相当于6位同学分成3组，只要选出来了，让高的同学站在后排即可，故种，

故选：D.

7．已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得分别为和图象交点的横坐标，作出图象可得，再判断的单调性，从而可得结果.

【详解】由，得，所以为与图象交点的横坐标，

由，得，所以为与图象交点的横坐标，

由，得，所以为与图象交点的横坐标，

分别作出和的图象，则由图象可得，

因为和在上单调递增，所以在上单调递增，

所以，

故选：B

8．托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可

【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：

①，；

②，；

③，；

根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为

故选：C

二、多选题

9．年月日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．某学校调查学生对神舟十六号的关注与性别是否有关，随机抽样调查了名学生，进行独立性检验，计算得到，依据表中给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（    ）

A．零假设对神舟十六号的关注与性别独立

B．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别无关

C．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于

D．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立

【答案】ACD

【分析】根据独立性检验逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】因为，对于A选项，零假设对神舟十六号的关注与性别独立，A对；

对于B选项，因为，

根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于，B错C对；

对于D选项，因为，

根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立，D对.

故选：ACD.

10．一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测．记随机变量为检测到的正品的件数，则（    ）

A．服从二项分布 B．

C． D．最有可能取得的为1

【答案】BCD

【分析】根据超几何分布的概率公式计算得分布列，即可结合选项逐一求解.

【详解】由题意可知的分布列为：

对于A, 服从超几何分布，而不是二项分布，故A错误，

对于B，,故B正确，

对于C，，C正确，

对于D，由于为1时的概率最大，所以最有可能.D正确

故选：BCD

11．若、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】BD

【分析】利用条件概率公式逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为，

但与不一定相等，故不一定等于，A错；

对于B选项，因为，，

所以，，B对；

对于C选项，，C错；

对于D选项，因为，所以，，

所以，事件、独立，故，D对.

故选：BD.

12．已知函数在上单调递增，且其图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（    ）

A． B．若，则

C．的图象关于直线轴对称 D．若，则

【答案】BC

【分析】对于A：根据对称性分析判断即可；对于B：构建，结合奇函数以及单调性分析判断；对于C：求导，结合对称性的定义分析判断；对于D：举反例，根据函数单调性以及周期性分析判断.

【详解】对于选项A：因为函数关于点中心对称，则，

可得，

即，故A错误；

对于选项B：因为，则，

构建，则，

可知为奇函数，且在在上单调递增，

又因为，即，

则，

所以，整理得，故B正确；

对于选项C：因为，两边求导得，

即，的图象关于直线轴对称，故C正确；

对于选项D：因为根据题意无法得知的单调性，故无法比较的大小关系，

例如为奇函数，为其对称中心点，此时，

且在上恒成立，则在上单调递增，符合题意，

因为，则由，得，

由周期性可知无法比较（即）的大小关系，故D错误；

故选：BC.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．

三、双空题

13．能够说明“若，，均为正数，则”是真命题的一组数，可以为        ，        ．（写出一组即可）

【答案】     1     2（只要满足即可）

【分析】由命题是真命题，得，进而可得.

【详解】因为命题“若，，均为正数，则”是真命题，

所以，因为，，均为正数，

所以可得，不妨取，.

故答案为：1；2.

四、填空题

14．已知随机变量服从两点分布，且，，那么        ．

【答案】/0.5

【分析】根据概率之和为1即可求解.

【详解】由题意可知或，

由于，所以，

故答案为：

15．已知表示一个三位数，如果满足且，那么我们称该三位数为“凸数”，则没有重复数字的三位“凸数”的个数为        ．

【答案】

【分析】分两种情况讨论：①、、中有一个为；②、、三个数都不为零.确定三个数字的位置，结合分类加法计数原理可得结果.

【详解】由题意可知，在、、三个数中，最大，分以下两种情况讨论：

①若、、中有一个为，则最大的数放中间，放在个位上，另外一个数放在百位上，

此时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为个；

②若、、三个数都不为零，则最大的数放中间，另外两个数分别放在个位和百位上，

此时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为.

综上所述，没有重复数字的三位“凸数”的个数为个.

故答案为：.

16．已知定义域为的函数在上单调递增，且对定义域内任意的，都满足．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是        ．

【答案】

【分析】利用赋值法可得为偶函数，将问题转化为存在，使成立，构造函数，利用导数求解单调性即可得最值求解.

【详解】令，则，

令，则，

去，则，所以为定义域内的偶函数，

在上单调递增，故在上单调递减，

由得，

因此存在，使，

当，则，

记，，则，

故当单调递减，

当单调递增，

故当时，取极大值也是最大值单调递减，

所以，由于的定义域为，所以，

故解得

故答案为：

【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

五、解答题

17．病毒感染是指病毒通过多种途径侵入机体，并在易感的宿主细胞中增殖的过程．如果一个宿主感染了病毒并且在刚出现不良反应时就对症下药，在用药小时后病毒的数量为（细菌个数的单位：百个）

(1)求曲线点在处的切线方程；

(2)求细菌数量超过14（百个）的时间段．

【答案】(1)

(2)细菌数量超过14百个的时间段是

【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；

（2）分段讨论，解不等式即可.

【详解】（1）当时，，，

，．

故曲线在点处的切线方程为，即．

（2）当时，由，解得，所以；

当时，由，解得，

综上所述，即细菌数量超过14百个的时间段是．

18．已知（，且）．

(1)判断函数的奇偶性和单调性，并给出证明；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由定义判断的奇偶性，方法一：由单调性的定义证明即可；方法二：利用导数得出单调性；

（2）由基本不等式得出值域.

【详解】（1），

因为的定义域为，，

所以为奇函数．

（方法一）设，

当时，因为，，，所以，

故为增函数；

当时，因为，，，所以，

故为减函数．

综上，当时，为增函数；当时，为减函数．

（方法二），

当时，因为，又，所以，故为增函数；

当时，因为，又，所以，故为减函数．

综上，当时，为增函数；当时，为减函数．

（2）．

因为，所以（当且仅当时取等号），

又时，，所以的值域为．

19．已知的展开式中第4项和第6项的二项式系数相等．

(1)求项的系数；

(2)若，求的值．

【答案】(1)；

(2)1.

【分析】（1）由题意可得，从而可求，根据二项展开式的通项求解即可；

（2）令即可求解.

【详解】（1）因为展开式中第4项和第6项的二项式系数相等，所以，解得．

所以的展开式的通项公式为，．

令，则，

所以项的系数为．

（2）由（1）知，，由，

令，得，

所以．

20．天气越来越热，某冷饮店统计了近六天每天的用电量和对应的销售额，目的是了解二者之间的关系，数据如下表：

(1)该冷饮店做了一次摸奖促销活动，在一个口袋里放有大小、质地完全相同的个红色雪花片和个白色雪花片．若有放回地从口袋中每次摸取个雪花片，连续摸两次，两次摸到的雪花片颜色不同定为一等奖，两次摸到的雪花片颜色相同定为二等奖，试比较中一等奖和中二等奖的概率的大小．

(2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，据此能否预测明年同时期用电量为千瓦时的销售额？如果能，计算出结果；如果不能，请说出理由．

参考公式：，．

相关数据：，．

【答案】(1)中二等奖的概率大

(2)，不能，理由见解析

【分析】（1）计算出两次摸到的雪花片颜色不同的概率和两次摸到的雪花片颜色相同的概率，比较大小后可得出结论；

（2）根据相关系数公式结合参考数据可求得，进而可求得的值，根据可求得的值，可得出，由此可得出回归直线方程，再结合经验回归方程有时效性可得出结论.

【详解】（1）解：两次摸到的雪花片颜色不同的概率为，

两次摸到的雪花片颜色相同的概率为，

显然，所以中二等奖的概率大．

（2）解：依题意可得，

所以，

由于，

所以，所以，

因为，，

所以，则，

所以，所以，回归方程为．

因为经验回归方程有时效性，即冷饮受温度影响较大，明年的这个时期的温度不一定和现在相同，

故不能用今年求出的经验回归方程估算明年的情况．

21．甲、乙两位同学进行乒乓球打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用三球换发制，即每比赛三班交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是，乙发球时甲得分的概率是，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．

(1)用表示比赛三球后甲的得分，求的分布列和均值；

(2)求比赛六球后甲比乙的得分多的概率．

【答案】(1)分布列见解析；期望为

(2)

【分析】（1）由题意得的所有可能取值是0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列和均值；

（2）设“比赛六球后甲比乙的得分多”，“比赛六球后甲得6分，乙得0分”，“比赛六球后甲得5分，乙得1分”，“比赛六球后甲得4分，乙得2分”，则，且，，两两互斥，然后求出根据题意求出，，的概率，再利用互斥事件的概率公式可求得结果.

【详解】（1）由题意得的所有可能取值是0，1，2，3．

则，

，

，

，

所以的分布列为

的均值．

（或因为，所以．）

（2）设“比赛六球后甲比乙的得分多”，“比赛六球后甲得6分，乙得0分”，“比赛六球后甲得5分，乙得1分”，“比赛六球后甲得4分，乙得2分”，则，且，，两两互斥．

因为，

，

，

所以．

所以比赛六球后甲比乙的得分多的概率为．

22．已知函数．

(1)当时，求在区间上的最值；

(2)若有两个不同的零点，，求的取值范围，并证明：．

【答案】(1)最大值为0，最小值为

(2)的取值范围为，证明见解析

【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负确定单调区间最后求出最值即可；

（2）先根据零点个数求出参数的范围，再设，把二元不等式转化为一元，结合导函数的性质求解即得.

【详解】（1）当时，，，

．

由，得；由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．

因为，，

，

，

所以在区间上的最大值为0，最小值为．

（2）．

当时，，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去；

当时，所以，

由，得，所以在上单调递增；

由，得，所以在上单调递减．

当时，取得极大值，极大值为．

为满足题意，必有，得．

又时，，

时，，

所以的取值范围为．

因为，是的两个不同的零点，

所以，，

两式相减得．

设，要证，

只需证，即证．

设，只需证，

设，则，

∴在上为增函数，从而，

所以成立，从而．

【点睛】关键点点睛：解题关键是设，把二元不等式转化为一元，结合导函数的性质求解即得.