2022-2023学年山东省青岛市莱西市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年山东省青岛市莱西市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.对于下列命题，其中为真命题的是( )
A. 所有的素数都是奇数
B. ∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数
C. 在平面直角坐标系中，至少有一个二次函数的图象与y轴不相交
D. 命题“至少有一个整数n，使得n2+n为奇数”的否定
2.已知a>1，化简2lg(lga100)2+lg(lga)+(19)−12，其结果为( )
A. 72B. 4C. 5D. 7
3.已知随机变量X的分布列如下表所示，随机变量Y=−3X+1，则下列选项正确的为( )
A. E(X)=0.5B. E(Y)=1.4C. D(X)=0.52D. D(Y)=1.44
4.若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是( )
A. ab>acB. ac>bcC. a|b|>c|b|D. a2>b2>c2
5.某工厂经过节能降耗技术改造后，在生产其产品的过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的一些数据如下表所示：
已知根据所给数据得到的y关于x的经验回归方程为y =5.3x−8.2，对应的经验回归直线为l.现发现表中有个数据看不清，且用m来表示，则下列说法正确的为( )
A. 看不清的数据m=11
B. l过点(4,m+3)
C. 据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为33.2吨
D. l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗就一定能增加5.3吨
6.函数f(x)=−2x3+2x2+2x−1的零点的个数及其分布情况为( )
A. f(x)的零点个数为1，在(1,+∞)内
B. f(x)的零点个数为2，分别在(−∞,−13)，(1,32)内
C. f(x)的零点个数为3，分别在(−∞,−12)，(−13,0)，(1,+∞)内
D. f(x)的零点个数为3，分别在(−1,−13)，(0,1)，(1,2)内
7.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为( )
A. 0.34B. 0.37C. 0.42D. 0.43
8.已知f(x)为定义在实数集R上的奇函数，f(2)=2，若对∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1>x2时，都有(x1−x2)[f(x1)x2−f(x2)x1]<0，则不等式(x+1)f(x+1)>4的解集为( )
A. (−3,1)B. (−∞,−1)∪(−1,1)
C. (−3,−1)∪(−1,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知全集U={x|x<10,x∈N*}，A⊆U，B⊆U，A∩(∁UB)={1,9}，A∩B={3}，(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7}，则下列选项正确的为( )
A. 8∈BB. A的不同子集的个数为8
C. {9}⊆AD. 7∉∁U(A∪B)
10.甲、乙、丙、丁、戊、己六名学生站成一排照相，则下列选项正确的为( )
A. 若甲和乙站在两端，则不同站法的种数为48
B. 若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为480
C. 若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为48
D. 若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为72
11.已知函数f(x)=lnxx，若x2>x1>1，则下列选项中正确的为( )
A. (x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0B. |f(x1)−f(x2)|<1e
C. x12f(x1)>x22f(x2)D. f(x1)−f(x2)12.已知函数f(x)=−x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(−∞,0],若关于x的不等式f(x)>c−1的解集为(m−4,m+1)，则下列选项正确的为( )
A. a+4b=0B. m=a+3C. b=−14(2m−3)2D. c=−214
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y= lg0.5(4x−3)的定义域为______.
14.在(2x3−1 x)n的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中x7的系数为______(用数字填写答案).
15.已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x2+2x+ξ=0有实数根的概率为0.5.若P(ξ≤2)=0.75，则P(0<ξ<2)=______.
16.若函数f(x)=2ax−ex2(a>0且a≠1)既有极大值又有极小值，则a的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ≥1)=1121.
(Ⅰ)求该文娱队的队员人数；
(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
18.(本小题12分)
已知函数y= 4−x2的定义域为A，x2+6x+8>0的解集为B，C={x∈R|3−2m≤x≤2+m,m∈R}，函数y=6x−173−x(x>2)的值域为D.
(Ⅰ)若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分条件，求m的取值范围；
(Ⅱ)若B∪C=R，且C⊆D，求m的取值范围.
19.(本小题12分)
已知f(x)是定义在实数集R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x4x+1.
(Ⅰ)求f(x)在实数集R上的解析式；
(Ⅱ)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性；
(Ⅲ)设a=f(0.30.4)，b=f(lg237)，c=f(−0.40.3)，d=f(−519)，试比较a，b，c，d的大小，请写出判断过程并按从大到小的顺序排起来，用“>”连接.
20.(本小题12分)
某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的12，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的23，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的34.
(Ⅰ)根据所给信息完成下列2×2列联表：
(Ⅱ)基于(Ⅰ)中完成的2×2列联表，依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？
(Ⅲ)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为23，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为ξ，求E(ξ).
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d
21.(本小题12分)
定义一种新的运算“⊕”：∀x，y∈R，都有x⊕y=lg(10x+10y).
(Ⅰ)对于任意实数a，b，c，试判断(a⊕b)−c与(a−c)⊕(b−c)的大小关系；
(Ⅱ)若关于x的不等式(x−1)2>[(a2x2)⊕(a2x2)]−lg2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)已知函数f(x)=lg{[x+4⊕(x+4)]− 2x+3−lg2}，g(x)=(1⊕x)⊕(−x)，若对任意的x1∈R，总存在x2∈[−32,+∞),使得g(x1)=lg|3m−2|+f(x2)，求实数m的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+1−xax(a∈R且a≠0)，g(x)=(b−1)x−xex−1x(b∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的极值；
(Ⅱ)当a=1时，若f(x)+g(x)≤−2在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数b的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：对于A，2是素数，不是奇数，故A错误；
对于B，令y=33是无理数，则x3=3是有理数，故B错误；
对于C，令x=0，得(0,c)是二次函数的图象与y轴的交点，故C错误；
对于D，命题“至少有一个整数n，使得n2+n为奇数”的否定是：
任意一个整数n，使得n2+n为偶数是真命题，故D正确．
故选：D.
根据素数和奇数的定义判断A；举例判断B；令x=0，求出二次函数的图象与y轴交点的坐标判断C；求出命题的否定，判断D.
本题考查了命题的否定，考查全称量词和全称命题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：原式=2lg(100lga)2+lg(lga)+(3−2)−12
=2(lg100+lg(lga))2+lg(lga)+3
=2(2+lg(lga))2+lg(lga)+3
=2+3
=5.
故选：C.
根据对数的运算性质以及指数幂的运算性质计算即可．
本题考查了对数的运算，考查指数幂的运算，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8，D(X)=(0−0.8)2×0.2+(1−0.8)2×0.8=0.16，
E(Y)=E(−3X+1)=−3E(X)+1=−3×0.8+1=−1.4，
D(Y)=D(−3X+1)=9D(X)=1.44.
故选：D.
根据分布列求得X的期望和方差，再利用期望与方差的性质求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望和方差的计算和性质，是中档题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用特殊值法可排除B、C、D，分析可得A正确.
【解答】
解：a>b>c且a+b+c=0，∴a>0>c，b∈R.
不妨取a=1，b=0，c=−1，
此时B、C、D均不满足;
当b>0时，ab>0，ac<0，故ab>ac;
当b=0时，ab=0，ac<0，故ab>ac;
当b<0时，由于b>c，a>0，故ab>ac.
故选A.
5.【答案】B
【解析】解：x−=2+3+4+5+65=4，y−=5+6+m+19+255=m+555，
样本点的中心的坐标为(4,m+555)，代入y =5.3x−8.2，
则m+555=5.3×4−8.2，即m=10，故A错误；
l过点(4,13)=(4,m+3)，故B正确；
据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为5.3×8−8.2=34.2吨，故C错误；
l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗预测增加5.3吨，故D错误．
故选：B.
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m判断A与B；求出x=8时的y值判断C；由线性回归方程的性质判断D.
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得：f′(x)=−6x2+4x+2，
令f′(x)=0，解得x1=−13，x2=1，
所以当x∈(−∞,−13)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(−13,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
又f(−1)=1>0，f(−13)=−3727<0，f(0)=−1<0，f(1)=1>0，f(2)=−3<0，
由零点存在定理可知，f(x)的零点有3个，分别位于(−1,−13)，(0,1)，(1,2)内．
故选：D.
利用导数判断原函数单调性，结合零点存在性定理分析判断．
本题考查了函数的零点及导数的综合运用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设事件A表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则P1=C32C42×0.82=0.32，
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则P2=C11C31C42×0.8×0.25=0.1，
故P(A)=P1+P2=0.32+0.1=0.42.
故选：C.
根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为当x1>x2>0时，都有(x1−x2)[f(x1)x2−f(x2)x1]<0，
所以(x1−x2)x1f(x1)−x2f(x2)x1x2<0，
所以函数g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减，
因为f(2)=2，
所以g(2)=2f(2)=4，
又f(x)为奇函数，即f(−x)=−f(x)，
所以g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，g(x)在(−∞,0)上单调递增，
由(x+1)f(x+1)>4可得g(x+1)>g(2)，
所以0解得−3故选：C.
由已知不等式结合函数单调性定义可知g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减，然后判断g(x)的单调性，结合单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：根据题意作出Venn图如图所示，
由图可知，A={1,3,9}，B={2,3,5,8}，故A，C正确；
集合A的子集个数为23=8个，故B正确；
因为∁U(A∪B)={4,6,7}，所以7∈∁U(A∪B)，D错误．
故选：ABC.
用Venn图来表示集合中的元素关系，即可对选项进行判断．
本题考查用Venn图解决集合问题，集合的运算，属基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A选项，若甲和乙站在两端，则不同站法的种数A22A44=48，A正确；
B选项，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为A66−2A55+A44=504，B错误；
C选项，若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为A22A22A33A21=48，C正确；
D选项，若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为2×A33A33=72，D正确．
故选：ACD.
根据排列组合公式逐项计算即可判断．
本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，是基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A：因为f(x)=lnxx，
所以f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)=0得x=e，
所以在(0,e)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(e,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max=f(e)=1e，
当x>1时，f(x)>0，
当x→+∞时，f(x)→0，
因为x2>x1>1，
若(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0成立，则f(x)在(1,+∞)上单调递减，不合题意，故A错误；
对于B：因为x2>x1>1，
所以|f(x1)−f(x2)|对于C：令g(x)=x2f(x)=xlnx，
则g′(x)=lnx+1，
当x>1时，g′(x)=lnx+1>0，
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，
因为x2>x1>1，
所以g(x2)>g(x1)，即x12f(x1)对于D：令m(x)=f(x)+x=lnxx+x，
则m′(x)=1−lnxx+1=x+1−lnxx，
令h(x)=x+1−lnx，x∈(1,+∞)，
则h′(x)=1−1x=x−1x，
所以当x>1时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)>h(1)=2>0，
所以m(x)>0在(1,+∞)上恒成立，
所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，
因为x2>x1>1，
所以m(x2)>m(x1)，即f(x2)+x2>f(x1)+x1，
所以f(x1)−f(x2)故选：BD.
对于A：求导分析f(x)的单调性可得f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，f(x)max=f(e)=1e，当x>1时，f(x)>0，当x→+∞时，f(x)→0，若(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0成立，则f(x)在(1,+∞)上单调递减，不合题意，即可判断A是否正确；
对于B：由x2>x1>1，得|f(x1)−f(x2)|对于C：令g(x)=x2f(x)=xlnx，求导分析g(x)的单调性，即可判断C是否正确；
对于D：令m(x)=f(x)+x=lnxx+x，求导可得m′(x)=x+1−lnxx，令h(x)=x+1−lnx，x∈(1,+∞)，求导分析单调性，可得h(x)>h(1)=2>0，进而可得m(x)在(1,+∞)上单调递增，若x2>x1>1，则f(x2)+x2>f(x1)+x1，即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】CD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x)=−x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(−∞,0],
则有Δ=a2+4b=0，必有b=−a24，
则a+4b=a+a2，由于a不一定为0，则a+4b=0不一定成立，A错误；
对于B，关于x的不等式f(x)>c−1的解集为(m−4,m+1)，
则方程−x2+ax+b=c−1即x2−ax−b+c−1=0的两个根为x1=m−4和x1=m+1，
则有a=(m−4)+(m+1)=2m−3，变形可得m=12(a+3)，B错误；
对于C，由B的结论，a=2m−3且b=−a24，则b=−14(2m−3)2，C正确；
对于D，由于方程−x2+ax+b−c+1=0的两个根为x1=m−4和x1=m+1，
则有(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=a2−4(−b+c−1)=a2+4b−4c+4=4−4c=25，
解可得c=−214，D正确．
故选：CD.
根据题意，有二次函数的性质分析A，可得A正确，由函数与方程的关系可得方程−x2+ax+b=c−1即x2−ax−b+c−1=0的两个根为x1=m−4和x1=m+1，结合根与系数的关系分析BCD，可得B错误，而C、D正确，综合可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及二次函数的性质，属于中档题．
13.【答案】(34,1]
【解析】解：∵lg0.5(4x−3)≥0，∴0<4x−3≤1，解之得34∴函数y= lg0.5(4x−3)的定义域为(34,1].
故答案为(34,1].
令y= u，u=lg0.5(4x−3)，必须满足u≥04x−3>0，解之即可．
本题考查了复合函数的定义域，掌握函数y= x和y=lgax的定义域是解决问题的关键．
14.【答案】280
【解析】解：∵各项的二项式系数之和为128，
∴2n=128，得n=7，
则展开式的通项公式为Tk+1=C7k(2x3)7−k(−1 x)k=C7k27−k(−1)kx21−7k2，
由21−7k2=7，得k=4，
则x7的对应系数C74×23×(−1)4=280.
故答案为：280.
根据各项的二项式系数之和为128，求出n的值，求出展开式的通项公式，令x的次数为7，求出k的值即可得到结论．
本题主要考查二项式定理的应用，求出二项式定理展开式的通项公式，求出k的值是解决本题的关键，是中档题．
15.【答案】0.5
【解析】解：∵方程x2+2x+ξ=0有实数解的概率为12，
∴P(△≥0)=12，
即P(ξ≥1)=12，
故正态曲线的对称轴是：x=1，如图．
∵P(ξ≤2)=0.75，
∴P(ξ≤0)=0.25，
∴P(0≤ξ≤2)=1−(0.25+0.25)=0.5.
故答案为：0.5.
根据随机变量ξ服从正态分布，且方程x2+2x+ξ=0有实数解的概率为12，知正态曲线的对称轴是x=1，欲求P(0≤ξ≤2)，只需依据正态分布对称性，即可求得答案．
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、概率的基本性质、方程有解的条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
16.【答案】(1e,1)∪(1,e)
【解析】解：f′(x)=2axlna−2ex，x∈R，
若函数f(x)=2ax−ex2(a>0且a≠1)既有极大值又有极小值，
则2axlna−2ex=0(a>0且a≠1)至少有两个根，
即axlna=ex(a>0且a≠1)至少有两个根，
令g(x)=axlna，h(x)=ex，
则y=g(x)与y=h(x)至少有两个交点，
①当0在(0,+∞)上，g(x)<0，h(x)<0，
设直线l过(0,0)点与y=g(x)相切时，切点为(x0,y0)，x0<0，
g′(x)=ax(lna)2，
所以k切=g′(x0)=ax0(ln⁡a)2，k切=y0−0x0−0=y0x0=ax0ln⁡ax0，
所以ax0(lna)2=ax0lnax0，
所以x0=1lna=lgae，
所以k切=algae(ln⁡a)2=e(ln⁡a)2，
若y=h(x)与y=g(x)有两个交点，则e(lna)2所以1e又因为0所以1e②当a>1时，在(−∞,0)上，g(x)>0>h(x)，此时y=g(x)与y=h(x)没有交点，
在(0,+∞)上，g(x)>0，h(x)>0，
设直线l过(0,0)点与y=g(x)相切时，切点为(x0,y0)，x0>0，
g′(x)=ax(lna)2，
所以k切=g′(x0)=ax0(ln⁡a)2，k切=y0−0x0−0=y0x0=ax0ln⁡ax0，
所以ax0(lna)2=ax0lnax0，
所以x0=1lna=lgae，
所以k切=algae(ln⁡a)2=e(ln⁡a)2，
若y=h(x)与y=g(x)有两个交点，则e(lna)2所以1e又因为a>1，
所以1综上所述，1e故答案为：(1e,1)∪(1,e).
求导得f′(x)=2axlna−2ex，x∈R，若函数f(x)=2ax−ex2(a>0且a≠1)既有极大值又有极小值，则axlna=ex(a>0且a≠1)至少有两个根，令g(x)=axlna，h(x)=ex，则y=g(x)与y=h(x)至少有两个交点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有9−m人，只会一项的是9−2m人，
则P(ξ=0)=C9−2m2C9−m2，
所以P(ξ≥1)=1−P(ξ=0)=1−C9−2m2C9−m2=1121，解得：m=2，
所以该文娱队有7人．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，该文娱队共有7人，既会唱歌又会跳舞的有2人，只会一项的是5人，
ξ可能的取值为0，1，2，
P(ξ=0)=C52C72=1021，
P(ξ=1)=C21⋅C51C72=1021，
P(ξ=2)=C22C72=121，
ξ的分布列为：
E(ξ)=0×1021+1×1021+2×121=47.
【解析】(Ⅰ)设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有(9−m)人，根据P(ξ≥1)=1121，列方程求解即可；
(Ⅱ)求得ξ的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由4−x2≥0可得−2≤x≤2，所以集合A=[−2,2]，
不等式x2+6x+8>0的解集为B={x|x<−4或x>−2}，
∴A∩B=(−2,2],
∵“x∈A∩B”是“x∈C”的充分条件，
∴3−2m≤−22+m≥2，解得m≥52；
(Ⅱ)∵B∪C=R，∴3−2m≤−42+m≥−2，解得m≥72(*)，
由y=6x−173−x解得x=3y+17y+6，
∵x>2，∴3y+17y+6>2，即y+5y+6>0，解得y<−6或y>−5，
∴D={y|y<−6或y>−5}，
由(*)知m≥72，∴2+m≥112，3−2m≤−4，
又C⊆D，∴3−2m>−5⇒m<4，
综上可知：72≤m<4.
【解析】(Ⅰ)计算出A∩B的结果，根据“x∈A∩B”是“x∈C”的充分条件，列不等式组，可得m的取值范围；
(Ⅱ)利用反解法求出集合D，由B∪C=R，且C⊆D解出m的取值范围．
本题考查充分必要条件的应用，考查集合间的关系以及集合的运算，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当x<0时，−x>0，∴f(−x)=2−x4−x+1=2x4x+1，
∵f(x)是定义在实数集R上的偶函数，
∴f(−x)=f(x)，从而f(x)=2x4x+1，
又当x≥0时，f(x)=2x4x+1，
综上可知，对于x∈R，f(x)=2x4x+1.
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时，f(x)=2x4x+1，
f′(x)=2x(4x+1)ln2−2x⋅4xln4(4x+1)2=2x(1−4x)ln2(4x+1)2，
∵x∈(0,+∞)，∴4x>1，从而1−4x<0，∴f′(x)<0，
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数．
(Ⅲ)∵f(x)是定义在实数集R上的偶函数，
∴c=f(−0.40.3)=f(0.40.3)，d=f(−519)=f(519)，
b=f(lg237)=f(−lg237)=f(lg273)，
∵519<0.31<0.30.4<0.40.4<0.40.3<0.40=1，
又∵lg273>lg263=1，
∴519<0.30.4<0.40.3由(Ⅱ)可知，f(x)在(0,+∞)上为减函数，
∴d>a>c>b.
【解析】(Ⅰ)利用偶函数的性质即可求解；
(Ⅱ)对f(x)求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
(Ⅲ)利用函数奇偶性与单调性即可判断a，b，c，d的大小关系．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)设男性患者人数为m，则女性患者人数为12m，由m+12m=1800，可得m=1200，
所以女性患者人数为1800−1200=600，
男性患A型疾病的人数为1200×23=800，
女性患A型疾病的人数是600×34=450，
得到2×2列联表如下：
(Ⅱ)χ2=1800×(800×150−400×450)21250×550×1200×600≈13.09>10.828，
所以依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关．
(Ⅲ)ξ可能的取值为27，54，
P(ξ=27)=C32(23)2(1−23)+(23)3=2027，
P(ξ=54)=1−2027=727，
所以ξ的分布列为：
E(ξ)=27×2027+54×727=34.
【解析】(Ⅰ)设男性患者人数为m，则女性患者人数为12m，可得m=1200，根据题意即可完成分布列；
(Ⅱ)计算χ2，与题中数据比较，即可得出结论；
(Ⅲ)求得ξ的可能取值及对应概率，根据期望公式求解即可．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的期望，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵∀x，y∈R，都有x⊕y=lg(10x+10y).
∴(a⊕b)−c=lg(10a+10b)−c，
(a−c)⊕(b−c)=lg(10a−c+10b−c)=lg[10−c(10a+10b)]
=lg(10a+10b)−c，
∴(a⊕b)−c=(a−c)⊕(b−c).
(Ⅱ)∵(a2x2)⊕(a2x2)=lg(10a2x2+10a2x2)=lg(2×10a2x2)=a2x2+lg2，
∴关于x的不等式(x−1)2>[(a2x2)⊕(a2x2)]−lg2可化为：(x−1)2>a2x2，即(1−a2)x2−2x+1>0，
不等式(x−1)2>[(a2x2)⊕(a2x2)]−lg2的解集中的整数恰有3个，
为满足题意，必有1−a2<0，即a<−1或a>1①，
令h(x)=(1−a2)x2−2x+1，
由于h(0)=1>0，h(1)=−a2，结合①可得：h(1)<0，
∴h(x)的一个零点在区间(0,1)，另一个零点在区间[−3,−2),
从而h(−3)≤0h(−2)>0②，
由①②可得：−32实数a的取值范围：(−32,−43]∪[43,32).
(Ⅲ)函数f(x)=lg{[x+4⊕(x+4)]− 2x+3−lg2}，f(x)=lg(x+4− 2x−3)，
g(x)=(1⊕x)⊕(−x)，g(x)=lg(10x+10−x+10)，
设t=x+4− 2x+3，x∈[−32,+∞),
令 2x+3=r，r∈[0,+∞),则x=12(r2−3)，
∴t=12(r2−3)+4−r=12r2−r+52=12(r−1)2+2≥2，
∴f(x)≥lg2，
φ(x)=lg|3m−2|+f(x)的值域为A=[lg|3m−2|+lg2,+∞),
∵10x+10−x+10≥2 10x×10−x+10=12，∴g(x)≥lg12，
g(x)的值域为B=[lg12,+∞),
根据题意可知：B⊆A，∴lg|3m−2|+lg2≤lg12，
解之得：−43≤m≤83且m≠23.
实数m的取值范围：[−43,23)∪(23,83].
【解析】(Ⅰ)利用新定义，化简求解推出(a⊕b)−c=(a−c)⊕(b−c).
(Ⅱ)化简不等式，结合不等式(x−1)2>[(a2x2)⊕(a2x2)]−lg2的解集中的整数恰有3个，推出a的范围，令h(x)=(1−a2)x2−2x+1，棱长不等式组，转化求解即可．
(Ⅲ)求出f(x)=lg(x+4− 2x−3)，g(x)=lg(10x+10−x+10)，
设t=x+4− 2x+3，x∈[−32,+∞),令 2x+3=r，r∈[0,+∞),推出f(x)≥lg2，利用条件推出B⊆A，棱长不等式求解即可．
本题考查函数与方程的应用，不等式的解法，新定义的应用，是难题．
22.【答案】解：(Ⅰ)已知f(x)=lnx+1−xax=lnx+1ax−1a(a∈R且a≠0)，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=1x−1ax2=ax−1ax2，
当a<0时，ax−1<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，无极值；
当a>0时，
当0当x>1a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=1a时，函数f(x)取得极小值，极小值f(1a)=−lna−1a+1，无极大值；
综上，当a<0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)有极小值−lna−1a+1，无极大值；
(Ⅱ)当a=1时，f(x)=lnxx+1x−1，
若f(x)+g(x)≤−2在x∈(0,+∞)上恒成立，
即f(x)+g(x)=(lnx+1−xx)+[(b−1)x−xex−1x]≤−2，
整理得b≤ex−lnxx−1x+1，
不妨设h(x)=ex−lnxx−1x+1，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=x2ex+lnxx2，
不妨设k(x)=x2ex+lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=(x2+2x)ex+1x>0，
所以k(x)单调递增，
又k(12)= e4−ln2<0，k(1)=e>0，
所以存在点x0∈(12,1)，使得k(x0)=0，
当0当x>x0时，k(x)>0，h′(x)>0，h(x)为单调递增，
所以h(x)min=h(x0)=ex0−lnx0x0−1x0+1，
又k(x0)=0，
解得x02ex0+lnx0=0，
所以x0ex0=1x0ln1x0=(−lnx0)e−lnx0，
不妨设m(x)=xex，函数定义域为(0,+∞)，
可得m′(x)=(x+1)ex>0，
所以m(x)单调递增，
又m(x0)=m(−lnx0)，
所以x0=−lnx0，
即ex0=1x0，
所以h(x)min=1x0−−x0x0−1x0+1=2，
此时b≤2，
则实数b的取值范围为(−∞,2].
【解析】(Ⅰ)由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论a<0和a>0这两种情况，结合导数的几何意义即可得到函数f(x)的极值；
(Ⅱ)将a=1代入函数f(x)的解析式中，将不等式恒成立转化成b≤ex−lnxx−1x+1，通过构造新函数，将问题转化成导数求新函数的最值问题，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值以及不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．X
0
1
P
0.2
0.8
x
2
3
4
5
6
y
5
6
m
19
25
性别
疾病类型
合计
A型
B型
男
女
合计
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
ξ
0
1
2
P
1021
1021
121
性别
疾病类型
合计
A型
B型
男
800
400
1200
女
450
150
600
合计
1250
550
1800
ξ
27
54
P
2027
727