2023新教材高中数学第2章平面解析几何单元质量测评新人教B版选择性必修第一册

这是一份2023新教材高中数学第2章平面解析几何单元质量测评新人教B版选择性必修第一册，共11页。
第二章　单元质量测评　　时间：120分钟　　　满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)A．－4          B．20          C．0         D．24答案　A解析　由直线互相垂直可得－×＝－1，∴a＝10，所以直线方程为5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.故选A.2．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(　　)A．－  B．1  C．2  D.答案　C解析　易知点P(2,2)在圆上，由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，且经过点M(2，y0)，若点M到焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)A．2           B．2         C．4        D．2答案　B解析　由题可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，∴|MF|＝2＋＝3，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.将M(2，y0)代入抛物线方程可得y＝8，∴|OM|＝＝2.故选B.4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为(　　)A．3          B．2           C．2         D.答案　A解析　抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±x，它们所围成的三角形为边长为2的正三角形，所以所求三角形的面积为3，故选A.5．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－   B．－1C．－   D．－答案　C解析　因为点A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，所以－2＝－，所以p＝4，因此焦点F(2,0)，故直线AF的斜率k＝＝－.6．若存在斜率且过点P的直线l与双曲线－＝1(a>0，b>0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于(　　)A．2   B．4C．1或2   D．2或4答案　B解析　因为直线斜率存在，则过P与左顶点(－a,0)的直线必与y＝±x平行，所以有＝，解得a＝2或a＝0(舍去)．所以实轴长为4.故选B.7．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A.            B.             C．2             D.答案　A解析　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故选A.8．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)A．5  B.＋C．7＋   D．6答案　D解析　设Q(x，y)，则该点到圆心的距离d＝＝＝＝＝，y∈[－1,1]，∴当y＝－时，dmax＝＝5.∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax＋r＝5＋＝6.故选D.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线可能是(　　)A．椭圆   B．双曲线C．抛物线   D．圆答案　ABD解析　∵θ∈R，∴－1≤sinθ≤1，∴当－1≤sinθ＜0时，方程表示双曲线；当sinθ＝0时，方程表示两条直线；当0＜sinθ＜1时，方程表示椭圆；当sinθ＝1时，方程表示圆．故选ABD.10．已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　)A．(0，)   B．(1，－1)C．(，0)   D．(－1,1)答案　AC解析　设点A的坐标为(t，－t)，当AP，AQ均为圆的切线时，∠PAQ＝90°，此时四边形PAQO为正方形，则|OA|＝，即t2＋(－t)2＝2，解得t＝0或t＝，故点A的坐标为(0，)或(，0)．故选AC.11．S＝直线lx＋y＝1，m，n为正常数，θ∈[0,2π)，下列结论中正确的是(　　)A．当θ＝时，S中直线的斜率为－B．S中所有直线均经过同一个定点C．当m≥n时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2nD．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面答案　AC解析　当θ＝时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为－，故A正确；根据x＋y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；当m≥n时，S中的两条平行直线间的距离为d＝≥2n，即最小值为2n，C正确；∵(0,0)不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确．故选AC.12．平面内与两定点A1(0，－a)，A2(0，a)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的为(　　)A．当m＝－1时，曲线C是一个圆B．当m＝－2时，曲线C的离心率为C．当m＝2时，曲线C的渐近线方程为y＝±xD．当m∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，曲线C的焦点坐标分别为0，－a和0，a答案　ABD解析　设动点为M(x，y)，当x≠0时，由条件可得kMA1·kMA2＝·＝m，即y2－mx2＝a2(x≠0)，又A1(0，－a)，A2(0，a)的坐标满足y2－mx2＝a2，∴当m＝－1时，曲线C的方程为y2＋x2＝a2，C是圆心在原点的圆，故A正确；当m＝－2时，曲线C的方程为＋＝1，C是焦点在y轴上的椭圆，c＝＝a，离心率为，故B正确；当m＝2时，曲线C的方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±x＝±x，故C错误；当m∈(－∞，－1)时，曲线C的方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，由c＝＝a，可知焦点坐标分别为0，－a和0，a；当m∈(0，＋∞)时，C是焦点在y轴上的双曲线，方程为－＝1，由c＝＝a，可知焦点坐标分别为0，－a和0，a，故D正确．故选ABD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知A(1,0)，B(－1,0)，P是平面上一动点，且满足||·||＝·，则点P的轨迹方程为________．答案　y2＝4x解析　设P(x，y)，则＝(1－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(－2,0)，＝(2,0)．因为||·||＝·，所以2 ＝2(x＋1)，即y2＝4x，所以点P的轨迹方程为y2＝4x.14．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案　－2　解析　根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|＝＝2，|AC|＝＝，|BC|＝|m－3|.∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.因此r＝|AC|＝＝.15．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.答案　－1解析　设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(如图)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，所以|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.16.如图所示，设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8，线段AB的中点到y轴的距离为3.直线l2与圆x2＋y2＝相切于点P，与抛物线C相切于点Q，则△FPQ的面积为________．答案　解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB的中点到y轴的距离为3，可得x1＋x2＝6.又|AB|＝x1＋x2＋p＝8，∴p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.设直线l2的方程为y＝kx＋m，由l2与⊙O相切，得＝，∴2m2＝1＋k2　①.联立直线l2与抛物线C的方程，得消元得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0(*)．∵直线l2与抛物线相切，∴Δ＝(2km－4)2－4k2m2＝－16km＋16＝0②.由①②得k＝＝±1，∴方程(*)为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，∴Q(1，±2)，∴|PQ|＝＝ ＝，此时直线l2的方程为y＝x＋1或y＝－x－1，∴点F(1,0)到直线l2的距离d＝，∴S△PQF＝××＝.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解　椭圆＋＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)．又因为双曲线过点(0,2)，所以c＝5，a＝2.所以b2＝c2－a2＝25－4＝21.所以双曲线的标准方程是－＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e＝＝，渐近线方程是y＝±x.18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.解　(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，∵(4，－)在双曲线上，∴n＝42－(－)2＝6.故所求双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：∵M(3，m)在双曲线上，则M(3，±)，∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.∴MF1⊥MF2，故·＝0.19．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C交于点B，若＝，求抛物线C的方程．解　设B，A点的坐标分别为(x1，y1)，，∵＝，∴M为AB的中点．于是有即又＝，∴－y2＝，y1＝.把B点坐标代入抛物线方程得32＝2p，又p>0，得p＝2.故所求抛物线C的方程为y2＝4x.20. (本小题满分12分)如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时，求△ABP面积的最大值．解　(1)由得x2＋2pkx－4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以解得所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.(2)设点P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与直线l平行时，△ABP的面积最大．设切线方程是y＝2x＋t.由得x2＋4x＋2t＝0，所以Δ＝42－4×2t＝0，解得t＝2，所以切线方程为y＝2x＋2.此时，点P到直线l的距离为两平行线间的距离d＝＝.由得x2＋4x－4＝0，则|AB|＝·＝×＝4.所以△ABP面积的最大值为×4×＝8.21．(本小题满分12分)设F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2.(1)若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；(2)设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x＋y－2＝0上．解　(1)∵点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，∴A(－a,0)，B(0，b)．又|AB|＝2，∴a2＋b2＝4，又e＝＝＝，∴a＝，b＝1.∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题意知a2＋b2＝4，从而椭圆E的方程为＋＝1，则F1(－c,0)，F2(c,0)，c＝＝.设P(x0，y0)．由题意知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，直线F2P的斜率kF2P＝，∴直线F2P的方程为y＝(x－c)，当x＝0时，y＝，即点Q0，，∴直线F1Q的斜率kF1Q＝.∵以PQ为直径的圆经过点F1，∴PF1⊥F1Q.∴kF1P·kF1Q＝·＝－1.化简得y＝x－(2a2－4)，①又P为椭圆E上一点，且在第一象限内，∴＋＝1，x0，y0>0，②由①②解得x0＝，y0＝2－，∴x0＋y0＝2，即点P在直线x＋y－2＝0上．22．(本小题满分12分)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．解　(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.设u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.(*)设G(xG，yG)，则－u和xG是方程(*)的解，故xG＝，由此得yG＝.从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.因此△PQG面积的最大值为.