湖南省株洲市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份湖南省株洲市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共23页。试卷主要包含了计算，，统计如下表，在函数 的图象上，＝OC2等内容，欢迎下载使用。

湖南省株洲市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023•株洲）计算：．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
13
14
15
16
17
18
天数
1
1
2
4
1
1
（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；
（2）当n＜16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y＝10n﹣80；当n≥16时，日利润为80元．
①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．
三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．

四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2021•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Γ于点E．
（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U的最大值．

五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．
①求证：．
②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．

6．（2021•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．

7．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．

六．平行四边形的判定与性质（共1小题）
8．（2023•株洲）如图所示，在△ABC 中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．
​

七．圆的综合题（共1小题）
9．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．

八．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2021•株洲）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．

九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
11．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．
（1）求∠COD的大小；
（2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
​
一十．加权平均数（共1小题）
12．（2022•株洲）某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：
专业评委
给分（单位：分）
①
88
②
87
③
94
④
91
⑤
90
（专业评委给分统计表）
记“专业评委给分”的平均数为．
（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
（2）对于该作品，问的值是多少？
（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为S，若规定：
①＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；
②S＝0.7+0.3．
求该作品的“综合得分”S的值．


湖南省株洲市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023•株洲）计算：．
【答案】2．
【解答】解：原式＝
＝1+1
＝2．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
13
14
15
16
17
18
天数
1
1
2
4
1
1
（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；
（2）当n＜16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y＝10n﹣80；当n≥16时，日利润为80元．
①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．
【答案】（1）花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；
（2）①当n＝14时，该花店这天的利润为60元；
②该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为．
【解答】解：（1）1+1+2＝4，
答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天；
（2）①当n＝14时，y＝10n﹣80＝10×14﹣80＝60，
答：当n＝14时，该花店这天的利润为60元；
②当n＜16时，70＝10n﹣80，解得：n＝15，
当n＝15时，有2天，
∴＝．
答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为．
三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．

【答案】（1）k＝2；
（2）Tmx＝1．
【解答】解：（1）∵点P（1，2）在函数 的图象上，
∴2＝，
∴k＝2，
即k的值为2；
（2）∵点A（t，0）在x轴负半轴上，
∴OA＝﹣t，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x轴，
∴△BCP的面积为S＝×（﹣t）×（2﹣t）＝t2﹣t，
∴T＝2S﹣2t2＝2（t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝﹣1时，T有最大值，T的最大值是1．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2021•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Γ于点E．
（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U的最大值．

【答案】（1）k＝2，点D的横坐标为t；
（2）．
【解答】解：（1）∵AB⊥y轴，且AB＝1，
∴点A的横坐标为1，
∵点A在直线y＝2x上，
∴y＝2×1＝2，
∴点A（1，2），
∴B（0，2），
∵点A在函数y＝上，
∴k＝1×2＝2，
∵OC＝t，
∴C（0，t），
∵CE∥x轴，
∴点D的纵坐标为t，
∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，
∴x＝t，
∴点D的横坐标为t；

（2）由（1）知，k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
由（1）知，CE∥x轴，
∴C（0，t），
∴点E的纵坐标为t，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴x＝，
∴E（，t），
∴CE＝，
∵B（0，2），
∴OB＝2．
∴S1＝S△OBE＝OB•CE＝×2×＝
由（1）知，A（1，2），D（t，t），
∴DE＝﹣t，
∵CE∥x轴，
∴S2＝S△ADE＝DE（yA﹣yD）＝（﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+﹣1，
∴U＝S1﹣S2＝﹣（t2﹣t+﹣1）＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣1）2+，
∵点C在线段OB上（不含端点），
∴0＜t＜2，
∴当t＝1时，U最大＝．
五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．
①求证：．
②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．

【答案】（1）；（2）①见解析；②0．
【解答】（1）解：∵a＝1，c＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝x2+bx﹣1，
∵该二次函数的图象过点（2，0），
∴4+2b﹣1＝0，
解得：b＝﹣；
（2）①证明：∵∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO，
∴△DOF∽△DEO，
∴，
∴＝，
∵，
∴；
②解∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，
∴OA＝﹣x1，OB＝x2，
∵BE＝1．
∴OE＝x2﹣1，
∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，
∴OD＝﹣2x1，
∵，
∴，
∴3x1+x2﹣1＝0，
即x2＝1﹣3x1①，
∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴，
∵4ac＝﹣a2﹣b2，a≠0，
∴，
即4（x1x2）+1+（x1+x2）2＝0②
①代入②，即，
即，
整理得﹣8（x1）2＝﹣2，
∴，
解得：（正值舍去），
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0．
6．（2021•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．
①求证：△AOC≌△DOB；
②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．

【答案】（1）8；（2）①见解答；②2．
【解答】解：（1）当a＝，b＝c＝﹣2时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；

（2）①设ax2+bx+c＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
则+x1＝﹣x2＝c，即x2＝﹣c＝OC，x1＝÷x2＝﹣，
∵OB＝x2＝CO，∠ACO＝∠ABD，∠COA＝∠BOD＝90°，
∴△AOC≌△DOB（ASA）；

②∵∠OCA＝∠CAF+∠CFA，∠ACO＝∠CAF+∠CBD，
∴∠CBD＝∠AFO，
∵OB＝OC，故∠OCB＝45°，
∵CD＝OC﹣OD＝OC﹣OA＝﹣c﹣，
则DE＝CD＝﹣（c+）＝CE，
则BE＝BC﹣CE＝OB﹣CE＝﹣c+（﹣c+），
则tan∠CBD＝＝＝，
而tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，
解得ca＝﹣2或ca＝1，
又∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，即ca＝1（舍去），
而＝＝﹣ac＝2，
故的值为2．
7．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．

【答案】（1）c＝﹣3；
（2）①9；
②﹣4．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝3时，y＝x2+3x+c，
把x＝1，y＝1代入得，
1＝1+3+c，
∴c＝﹣3；
（2）①方法（一）由ax2+bx+c＝0得，
x1＝，x2＝，
∴AB＝x2﹣x1＝，
∵抛物线的顶点坐标为：（﹣，），
∴AE＝，OM＝，
∵∠BAE＝90°，
∴tan∠ABE＝＝，
∴＝，
∴b2﹣4ac＝9；
（方法二）由ax2+bx+c＝0得，
∵x1+x2＝，x1x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝，
下面过程相同；
②∵b2﹣4ac＝9，
∴x2＝，
∵OP∥MN，
∴，
∴：＝2，
∴b＝2，
∴22﹣4ac＝9，
∴c＝﹣，
∴T＝c＝﹣＝﹣＝（﹣2）2﹣4，
∴当＝2时，T最小＝﹣4，
即a＝时，T最小＝﹣4．
六．平行四边形的判定与性质（共1小题）
8．（2023•株洲）如图所示，在△ABC 中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．
​

【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，
∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝2，
∵DG⊥BH，
∴∠DGB＝90°，
∴BG＝＝＝，
即线段BG的长度为．
七．圆的综合题（共1小题）
9．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．

【答案】（1）证明见解析部分．
（2）①证明见解析部分．
②1．
【解答】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3CE，
∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，
∴EF2＝EC2+CF2，
∴∠ECF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴直线CF是⊙O的切线．

（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，
∴∠DAC＝∠EOB，
∵∠DCA＝∠EBO，
∴△ACD∽△OBE．

②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，
∴OB：OE＝3：2，
∵△ACD∽△OBE，
∴＝，
∴＝＝，
∵AD＝4，
∴AC＝6，
∵M是AC的中点，
∴CM＝MA＝3，
∵EG∥OA，
∴＝＝，
∴CG＝2，
∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1，
即线段MG的长度为1．

八．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2021•株洲）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．

【答案】（1）米．
（2）4米．
【解答】解：（1）∵GM∥PA，
∴∠FGH＝∠FBP＝30°，
∵FH⊥GM，
∴∠FHG＝90°，
∴FG＝2FH＝（米）．

（2）∵EF＝4米，FG＝米．
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣＝（米），
∵∠ABA1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BA＝米，
∴点A运动至点A2所经过的路程＝+＝4（米）．
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
11．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．
（1）求∠COD的大小；
（2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
​
【答案】（1）30°；
（2）24米．
【解答】解：（1）∵AO⊥OP，
∴∠POD＝90°，
∵∠POQ＝30°，
∴∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，
∵OC⊥OQ，
∴∠COQ＝90°，
∴∠COD＝∠COQ﹣∠DOQ＝90°﹣60°＝30°，
即∠COD的大小为30°；
（2）∵BC∥OQ，
∴∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，
在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米，
∴（米），
∴＝＝6（米），
∵tan，
∴BC＝（米），
∴BD＝BC﹣CD＝30﹣6＝24（米），
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．
一十．加权平均数（共1小题）
12．（2022•株洲）某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：
专业评委
给分（单位：分）
①
88
②
87
③
94
④
91
⑤
90
（专业评委给分统计表）
记“专业评委给分”的平均数为．
（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
（2）对于该作品，问的值是多少？
（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为S，若规定：
①＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；
②S＝0.7+0.3．
求该作品的“综合得分”S的值．

【答案】（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；（2）的值是90分；（3）该作品的“综合得分”S的值为96分．
【解答】解：（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50﹣40＝10（张），
答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；
（2）＝（88+87+94+91+90）÷5＝90（分）；
答：的值是90分；
（3）①＝40×3+10×（﹣1）＝110（分）；
②∵S＝0.7+0.3
＝0.7×90+0.3×110
＝96（分）．
答：该作品的“综合得分”S的值为96分．