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湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)
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这是一份湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共43页。试卷主要包含了÷，其中a＝，之间有如下表所示关系，，与y轴相交于点C，，点P是抛物线H上的一个动点等内容，欢迎下载使用。
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
五．三角形综合题（共2小题）
7．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝ ；当h＝1时，a＝ ．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 ．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝时，求a的值．
8．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
六．四边形综合题（共1小题）
9．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．
七．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
八．作图—基本作图（共1小题）
11．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
九．相似形综合题（共1小题）
12．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）
一十二．条形统计图（共1小题）
15．（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【答案】，．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝，
当a＝时，原式＝＝．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
【答案】（1）A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
（2）有三种方案：①购买A种奖品23件，B种奖品77件；②购买A种奖品24件，B种奖品76件；③购买A种奖品25件，B种奖品75件．
【解答】解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，
由题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
则x﹣25＝15，
答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，
由题意得：，
解得：22.5≤m≤25，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种方案：
①购买A种奖品23件，B种奖品77件；
②购买A种奖品24件，B种奖品76件；
③购买A种奖品25件，B种奖品75件．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【答案】（1）见解答；（2）y＝﹣2x+16（x≤8）；（3）此时销售单价为3元．
【解答】解：（1）
（2）根据图象设y＝kx+b，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式，
得，
解得，
∴y＝﹣2x+16，
∵y≥0，
∴﹣2x+16≥0，
解得x≤8，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+16（x≤8）；
（3）①P＝（x﹣2）y
＝（x﹣2）（﹣2x+16）
＝﹣2x2+20x﹣32，
即P与x的函数表达式为：P＝﹣2x2+20x﹣32（x≤8）；
②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，
∴x≤2×200%，
即x≤4，
由题意得P＝10，
∴﹣2x2+20x﹣32＝10，
解得x1＝3，x2＝7，
∵x≤4，
∴此时销售单价为3元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；
（2）；
（3） 或（，2）或Q（3，﹣2）或．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；
（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线，
∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，
∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，
∵A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，
设直线BC的解析式为：y＝mx+n，
则：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
当 时，，
∴，
∵A（1，0），C（0，4），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∴；
（2）存在，
∵D为OC的中点，
∴D（0，2），
∴OD＝2，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
在Rt△BOD中，，
，
∴∠QDB＝∠OBD；
①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2，
设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：，
∴Q（，2）或（，2）；
②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，
则：DE＝BE，
设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，
∴p2+4＝（4﹣p）2，
解得：，
∴，
设DE的解析式为：y＝kx+q，
则：，
解得：，
∴，
联立，
解得：或，
∴Q（3，﹣2）或；
综上所述， 或（，2）或Q（3，﹣2）或．
5．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线MN的解析式为y＝x，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D（1，1），
方法一：
设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，
将C（0，﹣3），D（1，1）代 入得，
，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，
当y＝0时，4x﹣3＝0，
∴x＝，
∴E（，0），
∴OE＝．
方法二：
由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，
∵BC∥MN，
∴△DEO∽△CEB，
∴，
设OE＝x，则BE＝3﹣x，
∴，
解得x＝，
∴OE＝．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，
由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），
由点D在直线MN上，设D（t，t），
如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC（AAS），
∴GD＝OB，GF＝OC，
∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D（4，4），
如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，
同理可证△DKF≌△COB（AAS），
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，
由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，
如图，四边形BFCD为平行四边形，
设D（t，t），F（1，n），
同理可证△DHC≌△BPF（AAS），
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴，
∴，
∴D（2，2），F（1，﹣5），
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；
当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．
6．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+4；
（2）；
（3）点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF•EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
五．三角形综合题（共2小题）
7．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝ 1.5 ；当h＝1时，a＝ 1或3 ．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 A ．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝时，求a的值．
【答案】（1）①1.5；1或3；
②解答详见解答；
③A；
（2）①S＝；
②1或3．
【解答】解：（1）①从图1中，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝1.5，
从图2，当h＝1时，横坐标a对应1或3，
故答案为：1.5；1或3；
②如图，
③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的函数；
当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，
故答案为A；
（2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a，
S△ADE＝AD•DE＝；
当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，
∴S＝＝，
∴S＝；
②当S＝时，当0≤a≤2时，
＝，
∴a1＝1，a2＝﹣1（舍去），
当2＜≤4时，
＝，
∴a3＝3，a4＝5（舍去），
综上所述：当S＝时，a＝1或3．
8．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
【答案】（1）证明见解答；
（2）①证明见解答；
②当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
【解答】（1）证明：如图1，
由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，
∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，
∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
六．四边形综合题（共1小题）
9．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．
【答案】（1），理由见解析过程；
（2）①成立，理由见解析过程；
②．
【解答】解：（1），理由如下：
如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，
∴DG＝CE，BD＝CG，
又∠DFG＝∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（AAS），
∴CF＝GF＝CG＝BD；
（2）①成立，理由如下：
如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，
∴DG＝CE，BD＝CG，
又∠DFG＝∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（AAS），
∴CF＝FG＝CG＝BD；
②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作 AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，
由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），
∴，
∵△ABC为等边三角形，，，
∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MEE＝90°，
∴△AEH≌△MEH（ASA），
∴，，
∵△DGF≌ECF，
∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，
∴∠AEH＝∠MDN，
∴tan∠AEH＝tan∠MDN，
∴，
设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，，
∴①，
∵DG∥BC，
∴△ABC∽△ADG，
∴，
即：，
联立①②可得： （负值已舍去），
经检验 是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴S△ACE＝CE•AH＝×（4+4）×2＝4+4，
∴＝＝，
∴S△CEF＝（4）＝4+2，
∴四边形BDFC的面积为＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF＝＝．
七．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
【答案】（1）见解答．
（2）2﹣．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，
∴∠AOC＝2∠A＝60°，
在Rt△OCD中，tan∠AOC＝＝tan60°，CD＝2，
∴，解得OC＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．
八．作图—基本作图（共1小题）
11．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；
（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
九．相似形综合题（共1小题）
12．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝90°，
∴∠DCE＝∠AEF，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：①连接AM，如图2，
∵BG⊥CF，
∴△BGC是直角三角形，
∵点M是BC的中点，
∴MB＝CM＝GM＝，
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，
当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，
此时，AG+GM取得最小值，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，
∴AG+GM的最小值为5．
②方法一：
如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，
∴△CMN∽△CBF，
∴，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∴MN＝BF＝（4﹣x），
∵MN∥AB，
∴△AFG∽△MNG，
∴，
由（2）可知AG+GM的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴AG＝2，
∴，
解得x＝1，
即AF＝1，
由（1）得，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴，
解得：y＝3+或y＝3﹣，
∵0＜6，0＜3﹣＜6，
∴DE＝3+或DE＝3﹣．
方法二：
如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H，
∴△MHG∽△MBA，
∴，
由（2）可知AG+MG的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴，
∴GH＝，MH＝，
由GH∥AB得△CHG∽△CBF，
∴，
即，
解得FB＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝1．
由（1）得，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴，
解得：y＝3+或y＝3﹣，
∵0＜6，0＜3﹣＜6，
∴DE＝3+或DE＝3﹣．
一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
【解答】解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴＝1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：，
∴＝，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）
【答案】约为141.1米．
【解答】解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：
则四边形AMBN是矩形，
∴AN＝BM，BN＝MA，
∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2＝，
∴设BM＝x米，则AM＝2x米，
∴AB＝＝＝x＝105，
∴x＝21，
∴AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米），
在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，
∴△BCN是等腰直角三角形，
∴CN＝BN＝42（米），
∴AC＝AN+CN＝21+42＝63≈141.1（米），
答：观光电梯AC的高度约为141.1米．
一十二．条形统计图（共1小题）
15．（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 200 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 198 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【答案】（1）200、198；（2）见解答；（3）288；（4）．
【解答】解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
故答案为：200，198；
（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），
补全图形如下：
（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；
（4）列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 200 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
故答案为：200；
②C组的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54；
（2）3200×＝1120（名），
答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120名；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为＝．
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
五．三角形综合题（共2小题）
7．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝ ；当h＝1时，a＝ ．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 ．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝时，求a的值．
8．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
六．四边形综合题（共1小题）
9．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．
七．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
八．作图—基本作图（共1小题）
11．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
九．相似形综合题（共1小题）
12．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）
一十二．条形统计图（共1小题）
15．（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
【答案】，．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝，
当a＝时，原式＝＝．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
【答案】（1）A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
（2）有三种方案：①购买A种奖品23件，B种奖品77件；②购买A种奖品24件，B种奖品76件；③购买A种奖品25件，B种奖品75件．
【解答】解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，
由题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
则x﹣25＝15，
答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，
由题意得：，
解得：22.5≤m≤25，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种方案：
①购买A种奖品23件，B种奖品77件；
②购买A种奖品24件，B种奖品76件；
③购买A种奖品25件，B种奖品75件．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：
x
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
y
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出y关于x的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
【答案】（1）见解答；（2）y＝﹣2x+16（x≤8）；（3）此时销售单价为3元．
【解答】解：（1）
（2）根据图象设y＝kx+b，把（4.0，8.0）和（5.0，6.0）代入上式，
得，
解得，
∴y＝﹣2x+16，
∵y≥0，
∴﹣2x+16≥0，
解得x≤8，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+16（x≤8）；
（3）①P＝（x﹣2）y
＝（x﹣2）（﹣2x+16）
＝﹣2x2+20x﹣32，
即P与x的函数表达式为：P＝﹣2x2+20x﹣32（x≤8）；
②∵物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，
∴x≤2×200%，
即x≤4，
由题意得P＝10，
∴﹣2x2+20x﹣32＝10，
解得x1＝3，x2＝7，
∵x≤4，
∴此时销售单价为3元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；
（2）；
（3） 或（，2）或Q（3，﹣2）或．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；
（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线，
∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，
∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，
∵A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，
设直线BC的解析式为：y＝mx+n，
则：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
当 时，，
∴，
∵A（1，0），C（0，4），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∴；
（2）存在，
∵D为OC的中点，
∴D（0，2），
∴OD＝2，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
在Rt△BOD中，，
，
∴∠QDB＝∠OBD；
①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2，
设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：，
∴Q（，2）或（，2）；
②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，
则：DE＝BE，
设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，
∴p2+4＝（4﹣p）2，
解得：，
∴，
设DE的解析式为：y＝kx+q，
则：，
解得：，
∴，
联立，
解得：或，
∴Q（3，﹣2）或；
综上所述， 或（，2）或Q（3，﹣2）或．
5．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线MN的解析式为y＝x，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D（1，1），
方法一：
设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，
将C（0，﹣3），D（1，1）代 入得，
，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，
当y＝0时，4x﹣3＝0，
∴x＝，
∴E（，0），
∴OE＝．
方法二：
由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，
∵BC∥MN，
∴△DEO∽△CEB，
∴，
设OE＝x，则BE＝3﹣x，
∴，
解得x＝，
∴OE＝．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，
由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），
由点D在直线MN上，设D（t，t），
如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC（AAS），
∴GD＝OB，GF＝OC，
∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D（4，4），
如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，
同理可证△DKF≌△COB（AAS），
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，
由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，
如图，四边形BFCD为平行四边形，
设D（t，t），F（1，n），
同理可证△DHC≌△BPF（AAS），
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴，
∴，
∴D（2，2），F（1，﹣5），
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；
当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．
6．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+4；
（2）；
（3）点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF•EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
五．三角形综合题（共2小题）
7．（2022•郴州）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝ 1.5 ；当h＝1时，a＝ 1或3 ．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 A ．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝时，求a的值．
【答案】（1）①1.5；1或3；
②解答详见解答；
③A；
（2）①S＝；
②1或3．
【解答】解：（1）①从图1中，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝1.5，
从图2，当h＝1时，横坐标a对应1或3，
故答案为：1.5；1或3；
②如图，
③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的函数；
当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，
故答案为A；
（2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a，
S△ADE＝AD•DE＝；
当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，
∴S＝＝，
∴S＝；
②当S＝时，当0≤a≤2时，
＝，
∴a1＝1，a2＝﹣1（舍去），
当2＜≤4时，
＝，
∴a3＝3，a4＝5（舍去），
综上所述：当S＝时，a＝1或3．
8．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
【答案】（1）证明见解答；
（2）①证明见解答；
②当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
【解答】（1）证明：如图1，
由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，
∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，
∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
六．四边形综合题（共1小题）
9．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．
【答案】（1），理由见解析过程；
（2）①成立，理由见解析过程；
②．
【解答】解：（1），理由如下：
如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，
∴DG＝CE，BD＝CG，
又∠DFG＝∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（AAS），
∴CF＝GF＝CG＝BD；
（2）①成立，理由如下：
如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，
∴DG＝CE，BD＝CG，
又∠DFG＝∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（AAS），
∴CF＝FG＝CG＝BD；
②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作 AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，
由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），
∴，
∵△ABC为等边三角形，，，
∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MEE＝90°，
∴△AEH≌△MEH（ASA），
∴，，
∵△DGF≌ECF，
∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，
∴∠AEH＝∠MDN，
∴tan∠AEH＝tan∠MDN，
∴，
设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，，
∴①，
∵DG∥BC，
∴△ABC∽△ADG，
∴，
即：，
联立①②可得： （负值已舍去），
经检验 是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴S△ACE＝CE•AH＝×（4+4）×2＝4+4，
∴＝＝，
∴S△CEF＝（4）＝4+2，
∴四边形BDFC的面积为＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF＝＝．
七．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
【答案】（1）见解答．
（2）2﹣．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，
∴∠AOC＝2∠A＝60°，
在Rt△OCD中，tan∠AOC＝＝tan60°，CD＝2，
∴，解得OC＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．
八．作图—基本作图（共1小题）
11．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；
（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
九．相似形综合题（共1小题）
12．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝90°，
∴∠DCE＝∠AEF，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：①连接AM，如图2，
∵BG⊥CF，
∴△BGC是直角三角形，
∵点M是BC的中点，
∴MB＝CM＝GM＝，
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，
当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，
此时，AG+GM取得最小值，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，
∴AG+GM的最小值为5．
②方法一：
如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，
∴△CMN∽△CBF，
∴，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∴MN＝BF＝（4﹣x），
∵MN∥AB，
∴△AFG∽△MNG，
∴，
由（2）可知AG+GM的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴AG＝2，
∴，
解得x＝1，
即AF＝1，
由（1）得，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴，
解得：y＝3+或y＝3﹣，
∵0＜6，0＜3﹣＜6，
∴DE＝3+或DE＝3﹣．
方法二：
如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H，
∴△MHG∽△MBA，
∴，
由（2）可知AG+MG的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴，
∴GH＝，MH＝，
由GH∥AB得△CHG∽△CBF，
∴，
即，
解得FB＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝1．
由（1）得，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴，
解得：y＝3+或y＝3﹣，
∵0＜6，0＜3﹣＜6，
∴DE＝3+或DE＝3﹣．
一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
【解答】解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴＝1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：，
∴＝，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
14．（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24．结果精确到0.1米）
【答案】约为141.1米．
【解答】解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：
则四边形AMBN是矩形，
∴AN＝BM，BN＝MA，
∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2＝，
∴设BM＝x米，则AM＝2x米，
∴AB＝＝＝x＝105，
∴x＝21，
∴AN＝BM＝21（米），BN＝AM＝42（米），
在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，
∴△BCN是等腰直角三角形，
∴CN＝BN＝42（米），
∴AC＝AN+CN＝21+42＝63≈141.1（米），
答：观光电梯AC的高度约为141.1米．
一十二．条形统计图（共1小题）
15．（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 200 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 198 度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【答案】（1）200、198；（2）见解答；（3）288；（4）．
【解答】解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
故答案为：200，198；
（2）绿色部分的人数为200﹣（16+44+110）＝30（人），
补全图形如下：
（3）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；
（4）列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
16．（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 200 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
故答案为：200；
②C组的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54；
（2）3200×＝1120（名），
答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120名；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为＝．
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