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湖南省常德市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)
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这是一份湖南省常德市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共35页。试卷主要包含了，B两点，两点，与y轴交于点C，顶点为D等内容，欢迎下载使用。
湖南省常德市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
4．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．
5．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．
四．三角形综合题（共1小题）
6．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．
五．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2023•常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
8．（2021•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
六．相似形综合题（共2小题）
9．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．
10．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．
七．解直角三角形的应用（共2小题）
11．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）
12．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
九．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2021•常德）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．
请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是多少人？
（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
湖南省常德市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】（1）A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）最多可购进A型玩具25个．
【解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个），
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个．
根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，
解得：m≤25，
答：最多可购进A型玩具25个．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【答案】（1）x＜﹣2或0＜x＜2；
（2）AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4，BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．
【解答】解：（1）设反比例函数y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，
解得：k＝4，
∴y2＝，
由，解得：，，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为4，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
【答案】（1）y＝x2﹣4x；
（2）点B的坐标为（2，8）；
（3）P（﹣2，12），PA﹣PB的最大值为3．
【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．
4．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由详见解析过程；
（3）P（9，﹣）．
【解答】解：（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：
由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴，
∵B（﹣2，0）、C（8，0）、D（13，10），
∴BO＝2，CH＝13﹣8＝5，DH＝10，
∴，
解得：EO＝4，
∴点E坐标为（0，4），
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8），将E点代入得：
4＝a×2×（﹣8），
解得：a＝﹣，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；
（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：
由（1）可知该抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3，
当x＝3时，y＝，
∴该抛物线的顶点坐标为（3，），
又∵F是AD的中点，
∴F（8，10），
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，将E（0，4），F（8，10）代入得，
解得：，
∴直线EF解析式为：y＝，
把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝，
故抛物线的顶点在直线EF上；
（3）由（1）（2）可知：A（3，10），
设直线AB的解析式为：y＝k'x+b'，将B（﹣2，0），A（3，10）代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，
∵FQ∥AB，
故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x+b1，将F（8，10）代入得：
b1＝﹣6，
∴直线FQ的解析式为：y＝2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴Q点坐标为（0，﹣6），
设M（0，m），直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，将M、B点代入得：
，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝，
∵点P为直线BM与抛物线的交点，
∴联立方程组有：，
化简得：（x+2）（x﹣8+2m）＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8﹣2m，
∴点P的横坐标为：8﹣2m，
则此时，S△PBQ＝MQ×（|xP|+|xB|）＝＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，S取得最大值，
∴点P横坐标为8﹣2×（﹣）＝9，
将x＝9代入抛物线解析式中y＝﹣，
综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为（9，﹣）．
5．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；
（2）30；
（3）．
【解答】解：（1）∵AO＝1，tan∠ACO＝，
∴OC＝5，即C的坐标为（0，5），
∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点且过C的坐标（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点的坐标为（2，9），
过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，
四边形ACDB的面积＝S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB
＝；
（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，
连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，
∵OC＝OB＝5，则BC＝5，
∵∠ACO＝∠PBC，
∴tan∠ACO＝tan∠PBC，
即，
∴，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴FC＝FE＝1，
∴E的坐标为（1，6），
所以过B、E的直线的解析式为，
令，
解得，或，
所以BE直线与抛物线的两个交点为，
即所求P的坐标为．
四．三角形综合题（共1小题）
6．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①②证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
又∵E在AD上，
∴EB＝EC，
在△BAE和△CAE中，
，
∴△BAE≌△CAE（SSS）；
（2）①连接AH，
∵A，H分别是ED和EC的中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AH∥DC，
∴∠EAH＝∠EDC＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
又∵HG∥AB，
∴∠FAD＝∠AMH，
∴△AFD∽△MAH，
∴＝，
∴AF⋅MH＝AM⋅AD，
∵AE＝AD，
∴AF⋅MH＝AM⋅AE；
②∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，
∴∠AHM＝∠ACB，
∴△AMH∽△DAC，
∵A、H分别为ED和EC中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴＝＝，
∴AM＝AD，即M为AD中点，
∵AF∥GH，
∴G为FD中点，
∴GF＝GD．
五．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2023•常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
【答案】（1）详见解答；
（2）DE＝，EC＝．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵点C是的中点，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∵点C是的中点，即＝，
∴CD＝BC＝6，
∴，
答：DE＝，EC＝．
8．（2021•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）﹣1．
【解答】（1）证明：
连接OD，
由题可知∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
故：FE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知BE＝EC＝DE＝BC＝2，
在Rt△FBE中，FE＝＝＝，
∴FD＝FE﹣DE＝﹣2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，
∴△FDO∽△FBE，
∴，即，
求得OD＝，
∴AB＝2OD＝﹣1，
故：AB长为﹣1．
六．相似形综合题（共2小题）
9．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①证明见解析过程；
②证明见解析过程．
【解答】证明：（1）∵AT∥BC，
∴∠ATD＝∠BCD，
∵点D是AN的中点，
∴AD＝DN，
在△ATD和△NCD中，
，
∴△ATD≌△NCD（AAS），
∴CN＝AT，TD＝DC，
∵AT＝BN，
∴BN＝CN；
（2）①∵AT＝BN，AT∥BN，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∵AB＝AC，BN＝CN，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAN＝90°，
∵点M，点N关于AC对称，
∴CN＝MC，∠ACN＝∠ACM，
∴AT＝CM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠ACN＝90°，
∴∠OCA+∠ACM＝90°＝∠OCM，
∴∠OCM＝∠TAN，
又∵AT＝CM，OA＝OC，
∴△TAO≌△MCO（SAS），
∴OT＝OM，∠TOA＝∠COM，
∴∠TOM＝∠AOC，，
∴△TOM∽△AOC；
②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，
∴EM＝CM＝AT，
∴∠MEC＝∠MCE，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，
∴∠TAN+∠NAC+∠ACM＝180°，
∴∠TAC+∠ACM＝180°，
又∵∠AEM+∠CEM＝180°，
∴∠TAC＝∠AEM，
∴AT∥EM，
∴四边形ATEM是平行四边形，
∴TP＝PM，
又∵TD＝DC，
∴PD∥CM，PD＝CM．
10．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∴∠AFB＝∠BAF＝45°，
∴BA＝BF，
∵BE＝CF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FC，AG＝GF，
∴DJ＝JC，
∵GJ⊥CD，
∴GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADG＝∠GCO，
∴∠OEB＝∠OCG，
∵∠BOE＝∠GOC，
∴△OBE∽△OGC，
∴＝，
∵GC＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC；
（2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AFB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAG＝∠BAF，
∴BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FT，AG＝GF，
∴DJ＝JT，
∵GJ⊥DT，
∴GD＝GT，
∴∠GDT＝∠GTD，
∵∠ADT＝∠BTD＝90°，
∴∠ADG＝∠GTO，
∴∠OEB＝∠OTG，
∵∠BOE＝∠GOT，
∴△OBE∽△OGT，
∴＝，
∵GT＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC．
解法二：延长EG交AD于点M，在DM上取一点N，使得GN＝GM．
证明△OGF≌△MGA，推出GM＝OG＝GN，∠AMG＝∠GOF，
再证明△BOE∽△GDN，可得结论．
七．解直角三角形的应用（共2小题）
11．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）
【答案】72.7cm．
【解答】解：过点F作FQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA＝114.2°，
∴∠FCQ＝180°﹣114.2°＝65.8°，FQ＝FC•sin∠FCQ＝57sin65.8°，
过点A作AP⊥MN于点P，
由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，
则∠ANP＝∠FCQ＝65.8°，又AN＝43cm，
∴AP＝AN•sin∠ANP＝43sin65.8°，
过C作CH⊥AB于点H，
∵BC＝CE，EB＝16.4，
∴BH＝8.2，
∴CH＝BH•tan∠CBH＝8.2×2.23≈18.29，
∴靠背顶端F点距地面（MN）高度为
FQ+AP﹣HC＝57sin65.8°+43sin65.8°﹣18.29＝100×0.91﹣18.29＝72.71≈72.7cm．
12．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【答案】此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．
根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，
EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
【答案】1.6米．
【解答】解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，
由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），
则FN＝GB＝40米，
在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，
∴DM＝EM＝15.8米，
∵MG＝AE＝1.4米，
∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），
∵NG＝FB＝1.8米，
∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），
在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，
∵tan∠CFN＝≈0.4245，
∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），
∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）
故国旗的宽度CD约为1.6米．
九．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2021•常德）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．
请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是多少人？
（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
【答案】（1）200人；
（2）40%，30人；
（3）11700人；
（4）．
【解答】解：（1）此次抽样调查的人数为：20÷10%＝200（人）；
（2）接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%＝40%，
接种C类疫苗的人数为：200×15%＝30（人）；
（3）18000×（1﹣35%）＝11700（人），
即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．
（4）画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为＝．
湖南省常德市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
4．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．
5．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．
四．三角形综合题（共1小题）
6．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．
五．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2023•常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
8．（2021•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
六．相似形综合题（共2小题）
9．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．
10．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．
七．解直角三角形的应用（共2小题）
11．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）
12．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
九．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2021•常德）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．
请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是多少人？
（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
湖南省常德市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【答案】（1）A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）最多可购进A型玩具25个．
【解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个），
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个．
根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，
解得：m≤25，
答：最多可购进A型玩具25个．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【答案】（1）x＜﹣2或0＜x＜2；
（2）AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4，BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．
【解答】解：（1）设反比例函数y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，
解得：k＝4，
∴y2＝，
由，解得：，，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为4，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
【答案】（1）y＝x2﹣4x；
（2）点B的坐标为（2，8）；
（3）P（﹣2，12），PA﹣PB的最大值为3．
【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．
4．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；
（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由详见解析过程；
（3）P（9，﹣）．
【解答】解：（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：
由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴，
∵B（﹣2，0）、C（8，0）、D（13，10），
∴BO＝2，CH＝13﹣8＝5，DH＝10，
∴，
解得：EO＝4，
∴点E坐标为（0，4），
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8），将E点代入得：
4＝a×2×（﹣8），
解得：a＝﹣，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；
（2）抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：
由（1）可知该抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3，
当x＝3时，y＝，
∴该抛物线的顶点坐标为（3，），
又∵F是AD的中点，
∴F（8，10），
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，将E（0，4），F（8，10）代入得，
解得：，
∴直线EF解析式为：y＝，
把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝，
故抛物线的顶点在直线EF上；
（3）由（1）（2）可知：A（3，10），
设直线AB的解析式为：y＝k'x+b'，将B（﹣2，0），A（3，10）代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，
∵FQ∥AB，
故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x+b1，将F（8，10）代入得：
b1＝﹣6，
∴直线FQ的解析式为：y＝2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴Q点坐标为（0，﹣6），
设M（0，m），直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，将M、B点代入得：
，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝，
∵点P为直线BM与抛物线的交点，
∴联立方程组有：，
化简得：（x+2）（x﹣8+2m）＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8﹣2m，
∴点P的横坐标为：8﹣2m，
则此时，S△PBQ＝MQ×（|xP|+|xB|）＝＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，S取得最大值，
∴点P横坐标为8﹣2×（﹣）＝9，
将x＝9代入抛物线解析式中y＝﹣，
综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为（9，﹣）．
5．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；
（2）30；
（3）．
【解答】解：（1）∵AO＝1，tan∠ACO＝，
∴OC＝5，即C的坐标为（0，5），
∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点且过C的坐标（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点的坐标为（2，9），
过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，
四边形ACDB的面积＝S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB
＝；
（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，
连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，
∵OC＝OB＝5，则BC＝5，
∵∠ACO＝∠PBC，
∴tan∠ACO＝tan∠PBC，
即，
∴，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴FC＝FE＝1，
∴E的坐标为（1，6），
所以过B、E的直线的解析式为，
令，
解得，或，
所以BE直线与抛物线的两个交点为，
即所求P的坐标为．
四．三角形综合题（共1小题）
6．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①②证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
又∵E在AD上，
∴EB＝EC，
在△BAE和△CAE中，
，
∴△BAE≌△CAE（SSS）；
（2）①连接AH，
∵A，H分别是ED和EC的中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AH∥DC，
∴∠EAH＝∠EDC＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
又∵HG∥AB，
∴∠FAD＝∠AMH，
∴△AFD∽△MAH，
∴＝，
∴AF⋅MH＝AM⋅AD，
∵AE＝AD，
∴AF⋅MH＝AM⋅AE；
②∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，
∴∠AHM＝∠ACB，
∴△AMH∽△DAC，
∵A、H分别为ED和EC中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴＝＝，
∴AM＝AD，即M为AD中点，
∵AF∥GH，
∴G为FD中点，
∴GF＝GD．
五．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2023•常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
【答案】（1）详见解答；
（2）DE＝，EC＝．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵点C是的中点，
∴∠OAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
即，
∴，
∵点C是的中点，即＝，
∴CD＝BC＝6，
∴，
答：DE＝，EC＝．
8．（2021•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）﹣1．
【解答】（1）证明：
连接OD，
由题可知∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
故：FE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知BE＝EC＝DE＝BC＝2，
在Rt△FBE中，FE＝＝＝，
∴FD＝FE﹣DE＝﹣2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，
∴△FDO∽△FBE，
∴，即，
求得OD＝，
∴AB＝2OD＝﹣1，
故：AB长为﹣1．
六．相似形综合题（共2小题）
9．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①证明见解析过程；
②证明见解析过程．
【解答】证明：（1）∵AT∥BC，
∴∠ATD＝∠BCD，
∵点D是AN的中点，
∴AD＝DN，
在△ATD和△NCD中，
，
∴△ATD≌△NCD（AAS），
∴CN＝AT，TD＝DC，
∵AT＝BN，
∴BN＝CN；
（2）①∵AT＝BN，AT∥BN，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∵AB＝AC，BN＝CN，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAN＝90°，
∵点M，点N关于AC对称，
∴CN＝MC，∠ACN＝∠ACM，
∴AT＝CM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠ACN＝90°，
∴∠OCA+∠ACM＝90°＝∠OCM，
∴∠OCM＝∠TAN，
又∵AT＝CM，OA＝OC，
∴△TAO≌△MCO（SAS），
∴OT＝OM，∠TOA＝∠COM，
∴∠TOM＝∠AOC，，
∴△TOM∽△AOC；
②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，
∴EM＝CM＝AT，
∴∠MEC＝∠MCE，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，
∴∠TAN+∠NAC+∠ACM＝180°，
∴∠TAC+∠ACM＝180°，
又∵∠AEM+∠CEM＝180°，
∴∠TAC＝∠AEM，
∴AT∥EM，
∴四边形ATEM是平行四边形，
∴TP＝PM，
又∵TD＝DC，
∴PD∥CM，PD＝CM．
10．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∴∠AFB＝∠BAF＝45°，
∴BA＝BF，
∵BE＝CF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FC，AG＝GF，
∴DJ＝JC，
∵GJ⊥CD，
∴GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADG＝∠GCO，
∴∠OEB＝∠OCG，
∵∠BOE＝∠GOC，
∴△OBE∽△OGC，
∴＝，
∵GC＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC；
（2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AFB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAG＝∠BAF，
∴BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FT，AG＝GF，
∴DJ＝JT，
∵GJ⊥DT，
∴GD＝GT，
∴∠GDT＝∠GTD，
∵∠ADT＝∠BTD＝90°，
∴∠ADG＝∠GTO，
∴∠OEB＝∠OTG，
∵∠BOE＝∠GOT，
∴△OBE∽△OGT，
∴＝，
∵GT＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC．
解法二：延长EG交AD于点M，在DM上取一点N，使得GN＝GM．
证明△OGF≌△MGA，推出GM＝OG＝GN，∠AMG＝∠GOF，
再证明△BOE∽△GDN，可得结论．
七．解直角三角形的应用（共2小题）
11．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）
【答案】72.7cm．
【解答】解：过点F作FQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA＝114.2°，
∴∠FCQ＝180°﹣114.2°＝65.8°，FQ＝FC•sin∠FCQ＝57sin65.8°，
过点A作AP⊥MN于点P，
由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，
则∠ANP＝∠FCQ＝65.8°，又AN＝43cm，
∴AP＝AN•sin∠ANP＝43sin65.8°，
过C作CH⊥AB于点H，
∵BC＝CE，EB＝16.4，
∴BH＝8.2，
∴CH＝BH•tan∠CBH＝8.2×2.23≈18.29，
∴靠背顶端F点距地面（MN）高度为
FQ+AP﹣HC＝57sin65.8°+43sin65.8°﹣18.29＝100×0.91﹣18.29＝72.71≈72.7cm．
12．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【答案】此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．
根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，
EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2021•常德）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？（最后结果保留一位小数）
（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）
【答案】1.6米．
【解答】解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，
由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），
则FN＝GB＝40米，
在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，
∴DM＝EM＝15.8米，
∵MG＝AE＝1.4米，
∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），
∵NG＝FB＝1.8米，
∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），
在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，
∵tan∠CFN＝≈0.4245，
∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），
∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）
故国旗的宽度CD约为1.6米．
九．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2021•常德）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．
请根据统计图回答下列问题
（1）此次抽样调查的人数是多少人？
（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
【答案】（1）200人；
（2）40%，30人；
（3）11700人；
（4）．
【解答】解：（1）此次抽样调查的人数为：20÷10%＝200（人）；
（2）接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%＝40%，
接种C类疫苗的人数为：200×15%＝30（人）；
（3）18000×（1﹣35%）＝11700（人），
即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．
（4）画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为＝．
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