湖南省益阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份湖南省益阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共28页。试卷主要包含了先化简，再求值，的函数表达式为，在第一象限内的函数图象上，的顶点P在抛物线F等内容，欢迎下载使用。

湖南省益阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•益阳）先化简，再求值：，其中a＝2．
二．一元一次不等式的应用（共1小题）
2．（2021•益阳）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）﹣常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•益阳）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yA＝x，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yB＝﹣x2+2x．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
​
5．（2021•益阳）已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

6．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

五．四边形综合题（共1小题）
7．（2022•益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？


六．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．
（1）求∠ACB的度数；
（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若AC＝6，求的长．​

9．（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．

七．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．
（1）求证：△ADE≌△A′DG；
（2）求证：AF•GB＝AG•FC；
（3）若AC＝8，tanA＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．​

八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2021•益阳）“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

九．扇形统计图（共1小题）
12．（2023•益阳）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意，根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：
等级
人数
A
72
B
108
C
48
D
m
​请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生人数是多少？
（2）求图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？

一十．条形统计图（共1小题）
13．（2022•益阳）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

湖南省益阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•益阳）先化简，再求值：，其中a＝2．
【答案】，﹣2．
【解答】解：原式＝•
＝，
当a＝2时，原式＝＝﹣2．
二．一元一次不等式的应用（共1小题）
2．（2021•益阳）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）﹣益（阳）﹣常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．
（2）甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成．
【解答】解：（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，
根据题意，
得：，
解得：，
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．
（2）设甲队后期每天施工a千米，
甲原来每天的施工长度为64÷40×＝0.7（千米），
乙每天的施工长度为64÷40×＝0.9（千米），
根据题意，得：0.7×5+0.9×（40﹣3）+（40﹣3﹣5）a≥64，
解得：a≥0.85，
答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•益阳）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yA＝x，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yB＝﹣x2+2x．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元；
（2）m＝8；
（3）投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元．
【解答】解：（1）当x＝10时，yA＝（万元），
答：将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元；
（2）由题意得：当x＝m时，yA＝yB，
∴
∴m1＝8，m2＝0（舍去），
∴m＝8；
（3）设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金（32﹣t），一年后获利为W万元，
由题意得，
W＝＝﹣，
∴当t＝4时，W最大＝16，
32﹣t＝28，
∴投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
​
【答案】（1）（﹣2，0）；
（2）a＝1或a＝；
（3）＜a≤或a＝7．
【解答】解：（1）令y＝a（x+2）＝0，得x＝﹣2，
A点的坐标为（﹣2，0）；
（2）联立直线l：y＝a（x+2）与抛物线E：y＝ax2得：
，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣1或x＝2，
∴B（﹣1，a），C（2，4a），
∵B点关于x轴的对称点为B′点，
∴B'（﹣1，﹣a），
∴AB'2＝（﹣2+1）2+（0+a）2＝a2+1，
AC2＝（2+2）2+（4a﹣0）2＝16a2+16，
B'C2＝（2+1）2+（4a+a）2＝25a2+9，
若∠CAB'＝90°，则AB'2+AC2＝B'C2，即a2+1+16a2+16＝25a2+9，所以a＝1，
若∠AB'C＝90°，则AB'2+B'C2＝AC2，即a2+1+25a2+9＝16a2+16，所以a＝，
若∠ACB'＝90°，则AC2+B'C2＝AB'2，即16a2+16+25a2+9＝a2+1，此方程无解．
∴a＝1或a＝．
（3）如图，直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上，
∵D（0，2a），E（1，a），F（1，3a），
∴OD＝EF＝2a，
∵格点数恰好是26个，
∴落在y轴和直线x＝1上的格点数应各为13个，
∴落在y轴的格点应满足13＜2a≤14，即＜a≤7，
①若＜a＜7，则即＜yE＜7，所以线段EF上的格点应该为（1，7），（1，8）……（1，19），
∴19＜3a≤20
∴＜a≤
∴＜a≤
②若a＝7，yE＝7，yF＝21，所以线段EF上的格点正好13个，
综上，＜a≤或a＝7．

5．（2021•益阳）已知函数y＝的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】（1）①x1＝2，x2＝﹣4；②﹣；（2）直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．
【解答】解：（1）①∵y＝，由x2＜x1且y2＝y1＝4时，
由y1＝x12＝4，
∴x1＝2（负值舍），
由y2＝﹣x2＝4，
∴x2＝﹣4，
②∵|x2|＝|x1|且x2＜x1．x1＞0，
∴x2＜0且x1＝﹣x2，
∴y1＝x12，y2＝﹣x2＝x1，
∴w＝y1﹣y2＝x12﹣x1＝（x1﹣）2﹣，
∴当x1＝时，w有最小值为﹣，
（2）如图，设直线AQ'交y轴于点M（0，b），连接QQ'，

∵AQ⊥x轴，
∴AQ∥y轴，
∴∠AP'M＝∠P'AQ，
∵点Q与Q'关于AP'对称，
∴AQ＝AQ'，AP'⊥QQ'，
∴∠P'AQ＝∠P'AQ'，
∴∠AP'M＝∠P'AQ'，
∴AM＝P'M，
∵点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
∴x1＞0，y1＝x12＞0，
∴x1＝，
∵AP⊥y轴，
∴P点的坐标为（0，y1），AP＝x1＝，
∵点P与P'关于x轴对称，
∴点P'的坐标为（0，﹣y1），
∴PM＝|y1﹣b|，AM＝P'M＝|y1+b|，
∵在Rt△APM中，由勾股定理得：
（）2+|y1﹣b|2＝|y1+b|2，
化简得：y1﹣4by1＝0，
∵y1＞0，
∴b＝，
∴直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．
6．（2022•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a＝2．
（2）m＝﹣．
（3）存在，G（0，﹣）．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），
∵点P在抛物线F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，
∴s＝yA﹣yB
＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2
＝﹣3t2+2mt+m2
＝﹣3（t﹣m）2+m2，
∵﹣3＜0，
∴当t＝m时，s的最大值为m2，
∵s的最大值为4，
∴m2＝4，解得m＝±，
∵m＜0，
∴m＝﹣．
（3）存在，理由如下：
设点M的横坐标为n，则M（n，2n2），
∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，
∴n＝﹣m，
∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，

∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK+∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．
∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，
∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2•QN
解得QN＝．
∴G（0，﹣）．
五．四边形综合题（共1小题）
7．（2022•益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？


【答案】（1）①△AFB∽△BCE，②△AFB∽△CGE，③△AFB∽△BGC（任意回答一个即可）；
（2）7.5；
（3）CE的长为或3．
【解答】解：（1）（任意回答一个即可）；
①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，理由如下：
∵CG⊥BE，
∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
（2）∵四边形AFCC'是平行四边形，
∴AF＝CC'，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴＝，即＝＝，
设AF＝5x，BG＝3x，
∴CC'＝AF＝5x，
∵CG＝C'G，
∴CG＝C'G＝2.5x，
∵△AFB∽△BCE∽△BGC，
∴＝，即＝，
∴CE＝7.5；
（3）分两种情况：
①当C'F＝BC'时，如图2，

∵C'G⊥BE，
∴BG＝GF，
∵CG＝C'G，
∴四边形BCFC'是菱形，
∴CF＝CB＝9，
由（2）知：AF＝5x，BG＝3x，
∴BF＝6x，
∵△AFB∽△BCE，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴CE＝；
②当C'F＝BF时，如图3，

由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴＝＝＝，
设BF＝5a，CG＝3a，
∴C'F＝5a，
∵CG＝C'G，BE⊥CC'，
∴CF＝C'F＝5a，
∴FG＝4a，
∵tan∠CBE＝＝，
∴＝，
∴CE＝3；
综上，当CE的长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
六．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．
（1）求∠ACB的度数；
（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若AC＝6，求的长．​

【答案】（1）30°；
（2）四边形ABCD是菱形，理由见解答过程；
（3）π．
【解答】解：（1）如图，连接OB，

∵线段AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠ACB＝∠OBC＝30°；
（2）四边形ABCD是菱形，理由如下；
连接BM，DM，

∵的中点为M，
∴∠DCM＝∠BCM＝30°，DM＝BM，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠CAB＝30°＝∠ACB＝∠DCM，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∵MC为⊙O的直径，
∴∠CDM＝∠CBM＝90°，
在Rt△CDM和Rt△CBM中，
，
∴Rt△CDM≌Rt△CBM（HL），
∴CD＝CB，
∴CD＝AB，
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）如图，连接OD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝120°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝120°，
∴OA＝2OD＝2OC，
∵AC＝OA+OC＝6，
∴OC＝2，
∴的长＝＝π．
9．（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF，
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，

②由（1）知，∠AEB＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠CEG，
∴∠AEB＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴，
∴BE•CE＝AE•EG，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，
∴BD2﹣DE2＝AE•EG，
即BD2＝DE2+AE•EG．

七．相似形综合题（共1小题）
10．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．
（1）求证：△ADE≌△A′DG；
（2）求证：AF•GB＝AG•FC；
（3）若AC＝8，tanA＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．​

【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）AD＝．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠AGA'＝90°，∠A'+∠AGA'＝90°，
∴∠A＝∠A'，
∵AD＝A'D，∠ADE＝∠A'DG＝90°，
∴△ADE≌△A′DG（ASA）；
（2）证明：∵∠AFG＝∠ACB＝90°，∠FAG＝∠CAB，
∴△AFG∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∵∠FAC＝∠GAB，
∴△FAC∽△GAB，
∴＝，
∴AF•GB＝AG•FC；
（3）解：∵tanA＝＝＝，AC＝8，
∴BC＝4，
∴S△ACB＝16，
设DE＝DG＝x，则AD＝A'D＝2x，AE＝A'G＝x，
∴A'E＝A'D﹣DE＝2x﹣x＝x，
∴S△ADE＝S△A′DG＝x2，
∵△A'FE∽△A'DG，
∴＝，
∴S△A'FE：S△A'DG＝1：5，
∴S四边形DGFE＝S△A'DG＝x2，
∵S△ACB＝S△ADE+S四边形DCBE，A′G平分四边形DCBE的面积，
∴S△ACB＝S△ADE+2S四边形DGFE，
∴16＝x2+x2，
∴x＝，
∴AD＝．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2021•益阳）“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

【答案】27米．
【解答】解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，cos∠BAC＝，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin13°≈50×0.22＝11（米）；
AC＝AB•cos∠BAC＝AB•cos13°≈50×0.97＝48.5（米）；
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，
∴CD＝AC•tan∠DAC＝AC•tan38°≈48.5×0.78＝37.83（米）；
∴BD＝CD﹣BC≈37.83﹣11＝26.83≈27（米），
答：宝塔BD的高约为27米．

九．扇形统计图（共1小题）
12．（2023•益阳）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意，根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：
等级
人数
A
72
B
108
C
48
D
m
​请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生人数是多少？
（2）求图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？

【答案】（1）240人；
（2）m＝12，n＝45%，
扇形统计图中A等级对应的圆心角度数＝108°；
（3）估计满意度为A，B等级的学生共有＝900人．
【解答】解：（1）根据条形图可知：C的人数是48人，所以本次被调查的学生人数是48÷20%＝240人；
（2）m＝240﹣72﹣108﹣48＝12，n＝108÷240＝45%，
扇形统计图中A等级对应的圆心角度数＝＝108°；
（3）∵该校共有学生1200人，
∴估计满意度为A，B等级的学生共有＝900人．
一十．条形统计图（共1小题）
13．（2022•益阳）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
【答案】（1）6人；
（2）8，9，8；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
【解答】解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知，a＝＝8；
b＝9；c＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．