高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课后作业题

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4 圆的方程 同步练习

一、单选题

1．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（       ）

A． B． C． D．

2．若方程表示一个圆，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（       ）

A． B．

C． D．

5．方程表示的曲线是（       ）．

A． B．

C． D．

6．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．

7．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（       ）

A． B．

C． D．

8．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

9．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（       ）

A． B．

C． D．

10．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（       ）

A． B．6

C． D．

11．当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角为（       ）．

A． B． C． D．

12．方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（       ）

A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)

C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]

二、填空题

13．顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．

14．已知点在圆外，则实数的取值范围为______．

15．圆过点，，则周长最小的圆的方程为______．

16．已知圆C过三点，，，则圆C的方程是___________.

17．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以的速度匀速直线飞向距月心的圆形轨道上的某一点，在点处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时_______________s.

三、解答题

18．圆C的圆心在x轴上，并且过和两点，求圆C的方程．

19．已知圆过点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．

20．已知圆C过点，圆心在直线上.

（1）求圆C的方程.

（2）判断点P(2，4)与圆C的关系

21．已知方程表示圆，其圆心为C.

（1）求该圆半径r的取值范围；

（2）求圆心C的轨迹方程；

（3）若，线段的端点A的坐标为，端点B在圆C上运动，求线段中点M的轨迹方程.

参考答案：

1．D

根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.

【详解】

解：由题意得：

由得

圆心为，半径为，

当且仅当时，半径最小，则面积也最小；

圆心为，半径为，

圆心到坐标原点的距离为，

即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.

故选：D.

2．C

将方程化为圆的标准形式，要使方程表示圆可得，即可求的取值范围.

【详解】

由题设，，

∴要使方程表示圆，则，即.

故选：C

3．B

由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.

【详解】

由于方程表示的曲线为圆，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：B.

本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.

4．A

根据圆心为直径两端点的中点，得到圆心坐标；再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的标准方程．

【详解】

直径两端点为       圆心坐标为

圆的半径，

圆的方程为：.

故选：A.

求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．

5．A

整理得，再根据圆的方程即可得答案.

【详解】

解：对两边平方整理得，

所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足.

故选：A

6．C

设出圆的一般式，根据求出，然后将点带入圆的方程即可求得结果.

【详解】

设圆的方程为，

由题意得，解得，

所以，

又因为点在圆上，所以，即.

故选：C.

7．A

先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．

【详解】

因为过点与，

所以线段AB的中点坐标为，，

所以线段AB的中垂线的斜率为，

所以线段AB的中垂线的方程为，

又因为圆心在直线上，

所以，解得，

所以圆心为，

所以圆的方程为.

故选：A

8．A

求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】

设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

9．A

先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.

【详解】

解：因为直线方程为，即，所以直线过定点，

所以圆方程为，即，

故选：A.

10．D

配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.

【详解】

根据题意，圆，

变形可得．

其圆心为，半径为，则，

当圆的面积最小时，必有，此时．

圆的方程为，

圆心到原点为距离，

则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．

故选：D．

11．B

先配方得圆的标准方程，再根据圆半径最大值时取法得的值，最后求直线倾斜角.

【详解】

方程可化为，

设圆的半径为，则，

∴当时，取得最大值，从而圆的面积最大．

此时，直线方程为，斜率，倾斜角为，

故选：B

本题考查圆的标准方程、直线倾斜角、圆面积最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

12．D

化x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0为，

由0求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案.

【详解】

由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，

若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则0，即﹣2＜k＜2.

∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，

而（0，1]⊂（﹣2，2），则D为充分不必要条件.

故选：D.

本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题.

13．

设圆的标准方程为，将，，代入计算即可得结果.

【详解】

设圆的标准方程为，因为过点，，

所以 解得

则圆的标准方程为

故答案为：

14．

由方程表示圆可得，再由点在圆外，可得，从而可求出实数的取值范围

【详解】

解：因为在圆外，

所以且，得，

解得或，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

15．

先判断为直径时，圆周长最小，进而求出圆心半径，写出圆的方程即可.

【详解】

显然当为直径时，圆周长最小，此时圆心为，即，半径为，

故圆的方程为，即.

故答案为：.

16．

根据题意，分析可得圆心在直线上，设圆心坐标，则有，解可得的值，即可得圆心坐标，求出圆的半径，由圆的标准方程可得答案．

【详解】

根据题意，因为圆过点，，故圆心在直线上，

设圆心坐标，圆过点，，

则，变形有，

解得，即圆心为，

故其半径,

故圆方程为：,

故答案为：

17．

设，飞行过程所用时间，再令，则问题转化为求两条线段最小即可作答.

【详解】

设，飞行过程所用时间，令，即，

设点C(0，m)在圆形轨道内，取点P坐标(0，2000)，而，由得， ，

即，设动点，当时，即，

化简整理得，即满足的动点M的轨迹就是给定的圆形轨道，

所以距月心的圆形轨道上的任意点均有成立，如图，连PC，

于是有，当且仅当P为线段AC与圆形轨道交点时取“=”，

即有，

所以这一过程最少用时s.

故答案为：

18．

由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可.

【详解】

设圆的圆心坐标为，半径为r，

则圆的标准方程为：，

有，解得，

所以圆的标准方程为：

19．（1） ；（2） ．

（1）先求线段的垂直平分线，再联立直线求解即可；

（2）分析向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可

【详解】

（1）因为直线的斜率为，

所以线段的垂直平分线的斜率为1．

又易知线段的中点坐标为，

所以直线的方程为，即．

因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．

由，解得．

所以圆心为，半径．

所以圆的标准方程是．

（2）由（1），知圆的圆心坐标为，

将点向上平移1个单位长度后得到点，

故圆的圆心坐标为，半径为，

故圆的标准方程为．

20．（1）；（2）P在圆C内部.

(1)由给定条件设出圆心、半径，进而写出圆的标准方程，再列出关于a，r的方程组即可得解

(2)求出点P与点C的距离，再将它与r比较即可得解.

【详解】

（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为，

由题意得，解得，

所以圆的标准方程为；

（2）由(1)知

        P(2，4)在圆C内.

21．（1）；（2），；（3）.

（1）由题可得，即求；

（2）利用圆心，消去参数即得；

（3）利用相关点法即求.

【详解】

（1）方程可变为，

由方程表示圆，

所以，即得，

∴.

（2）由（1）知，令，

消去可得，，又，

所以，

故圆心C的轨迹方程，.

（3）当时，圆C方程为：，

设，又M为线段的中点，A的坐标为则，

由端点B在圆C上运动，

∴即

∴线段中点M的轨迹方程为.